2022届天津市部分区高三下学期5月质量调查（二）数学试题（PDF版）

天津市部分区2022年高三质量调查试卷（二）

数学参考答案

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．

二、填空题：本大题共6小题, 每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.

10．                  11．240                 12．

13．0.38，0.9              14．             15．1，

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（16）（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由，可得， ………………………………1分

在中，由正弦定理，……………………………………………2分

得，        ………………………………………………………3分

因为，所以 ，

因此          …………………………………………………………………4分

（Ⅱ）解：在中，由余弦定理，    ………………………5分

可得，    ……………………………………………………………6分

解得；       ……………………………………………………………7分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可得，…………………………………9分

， ………………………………………………………11分

故   ………………………12分

．………………………………………………14分

（17）（本小题满分15

解：依题意，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，, ，．设（），则．

………………………………1分

（Ⅰ）证明：依题意，，

又 ， ………………  2分

可得，即…………3分

所以．        ………………4分

（Ⅱ）解：依题意，点是中点,则

,，

，．

设为平面的法向量，

则即

不妨令，可得．      ……………………………………………6分

因此有．    ……………………………………………8分

所以，直线与平面所成角的大小为．     ……………………………9分

（Ⅲ）解：依题意，是平面的法向量  ……………………10分

（），．

设为平面的法向量，则即

不妨令，可得．………………………………………………12分

由题意，有，…………………………13分

又因为，解得． ………………………………………………14分

所以，线段的长为．……………………………………………………15分

（18）（本小题满分15分）

（Ⅰ）解：椭圆的左顶点为，由题意知 ……1分

记椭圆的半焦距为，离心率为，又因为 ………………3分

所以    ………………………………………………………4分

所以椭圆的方程为    ………………………………………………5分

（Ⅱ）解：依题意,，且,可得    .…………6分

设点的坐标为，点的坐标为．由已知有，，

故，可得，.  ………………………7分

由方程组可得，． …………………9分

易知直线的方程为，   …………………………………………10分

由方程组消去，

可得．…………………………………………………………………12分

由，可得，    …………………………………………13分

两边平方整理得，         …………………………………………14分

解得，因为．

   所以，．       ………………………………………………………15分

（19）（本小题满分15分）

（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，由等差数列的性质可得：，则：①，   ………………………………………………………1分

由，得：②，    ……………………………2分

由①②得，由于公差不为零，故：，    ………………3分

数列的通项公式为：.     ………………………………4分

（Ⅱ）证明：∵

∴   …………5分

∵   ………………………………………………6分

∴其首项为，公比为的等比数列.   …………………………7分

∴  ……………………………………………8分

∴   …………………………………………………9分

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得 ， ……………………………………12分

故

   …………………14分

所以.          …………………………………………………………15分

（20）（本小题满分16分）

（Ⅰ）解：因为，

所以．     ………………………………………………1分

即，则．……………2分

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

所以，的单调递增区间为，的单调递减区间为．  ……3分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，．   ……………………………………4分

当时，，则在上无零点．……………………5分

当时，，则在上有一个零点． …………………6分

当时，，因为，，，

所以，，，

故在上有两个零点． ………………………………………………8分

综上，当时，在上无零点；

当时，在上有一个零点；

当时，在上有两个零点．……………………………………9分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）及有两个极值点，且，

可得，， 在上有两个零点，且．

所以，     …………………………………………10分

两式相减得，即．………11分

因为，所以． …………………………………12分

下面证明，即证．

令，则即证．…………………………………………13分

令，，则，

所以在上单调递增，所以，

故．……………………………………………………………14分

又，

所以，

故．         ……………………………………………………………16分