北京市海淀区2022届高三下学期二模数学试题 （解析版）

北京市海淀区2022届高三下学期二模数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】直接由补集的概念求解即可.

【详解】由题意知：.

故选：D.

2．在的展开式中，的系数为（    ）

A． B．2 C． D．6

【答案】C

【分析】直接由二项展开式求含的项即可求解.

【详解】由题意知：含的项为，故的系数为.

故选：C.

3．已知双曲线的渐近线经过点，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】求出渐近线的方程，由点得，又即可求解.

【详解】易知双曲线的渐近线方程为，由渐近线经过点，可得，

故离心率为.

故选：D.

4．已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】取特殊值即可判断A、C、D选项，因式分解即可判断B选项.

【详解】对于A，令，显然，错误；

对于B，，

又不能同时成立，故，正确；

对于C，取，则，错误；

对于D，取，则，错误.

故选：B.

5．若是奇函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由为奇函数可得，代入相应解析式解方程即可.

【详解】易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得.

故选：C.

6．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（    ）

A．是等差数列 B．是等比数列

C．是等差数列 D．是等比数列

【答案】A

【分析】根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求解.

【详解】由题可知，抛物线的焦点为，准线为，

点在抛物线上，由抛物线的定义可知，

点到焦点的距离，即为点到准线的距离，故，同理；

所以，解得.

故数列是等差数列.

故选：A.

7．已知向量，.若，则可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据已知，以及，可确定，进而确定夹角，依次判断选项即可得解.

【详解】解：∵，，∴，

∴，又∵，

∴或，

对选项A，若，，

解得，此时不成立；

对选项B，若，，

解得，此时不成立；

对选项C，若，，

解得，此时成立；

对选项D，若，，且

，此时不成立.

故选：C

8．设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，无零点”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由是上的增函数得，即无零点，满足充分性；反之若对任意，，满足无零点，但不满足是上的增函数，不满足必要性，即可判断.

【详解】若是上的增函数，则对任意，显然，故，即无零点，满足充分性；

反之，若对任意，，即，满足无零点，但是上的减函数，不满足必要性，

故“是上的增函数”是“任意，无零点”的充分而不必要条件.

故选：A.

9．从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移与时间（单位：）的关系符合函数.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了张照片.已知连拍的间隔为，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（    ）

A．、 B．、 C．、、 D．、、

【答案】D

【分析】分析可知弹簧振子运动时的最小正周期为，求出的值，然后结合已知条件求出的值，令可求得的表达式，结合可求得结果.

【详解】因为仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，

则弹簧振子运动时的最小正周期为，则，

所以，，

由题意可得，

所以，，即，

所以，，则，则，

令可得，所以，，

令，则，由可得，

因为，则，

当时，，对应第张照片，

当时，，对应第张照片，

当时，，对应第张照片.

故选：D.

10．在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个

①；

②直线与平面所成角不变；

③点到直线的距离不变；

④点到四点的距离相等.

其中，所有正确结论的序号为（    ）

A．②③ B．③④

C．①③④ D．①②④

【答案】C

【分析】根据的变化情况并找出的轨迹就可判定①③④是否正确，作出直线与平面所成的角，就可判定②是否正确.

【详解】如下图，当在棱上运动时，始终在平面中，由，可得，所以，故①正确，

此时点的轨迹为线段，如下图可知，，过正方形中心且，故③④正确，

 如下图，延长与的延长线交于，连接，则即为直线与平面所成角，

当点在上运动时，不变而在变，所以不是定值，

故②错误.

故选：C.

【点睛】(1)判定和动点相关的问题时，只要找出动点的轨迹，就可以根据轨迹的特点进行判断；

(2)判定与动直线相关的位置关系问题时，可找出动直线所在的平面进行判定；

(3)根据定义作出线面角可用来解决运动型的问题.

二、填空题

11．已知均为实数.若，则_________．

【答案】0

【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.

【详解】，故，.

故答案为：0.

12．不等式的解集为_________．

【答案】

【分析】直接由指数函数的单调性解不等式即可.

【详解】由，可得，故解集为.

故答案为：.

13．在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：

①；

②；

③，使得当时，总有

④，使得当时，总有．

其中，所有正确结论的序号是_________

【答案】①②③

【分析】由得即可判断①正确；由，即可判断②正确；由，当时，，即可判断③正确；由，当时，，即可判断④错误.

【详解】因为，两式作差得，故为常数列，

即，故，①正确；

因为，又，为正实数数列，故，故，②正确；

由上知，，因为为常数，为单增数列，故当时，，

又，故，使得当时，总有，③正确；

，又，故，因为为常数，

为单增数列，故当时，，，故④错误.

故答案为：①②③.

三、解答题

14．如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，底面，，点是的中点.

(1)求证：面；

(2)求到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）直接由证得面即可；

（2）将到平面的距离转化为点到平面的距离，求出和，由等体积法即可求得到平面的距离.

（1）

由底面是菱形，可得，又面，面，故面；

（2）

由（1）知面，故到平面的距离即点到平面的距离，设为，连接，取中点，连接，

易得且，则底面，又，则，故，

又，故，

又，故，，

又因为，即，解得，即到平面的距离为.

15．在中，．

(1)若，求；

(2)若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.求的面积

条件①：；    条件②：

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）直接由正弦定理边化角，结合倍角公式即可求解；

（2）若选①：由正弦定理及倍角公式得，不存在；若选②：先判断，再由求出，由及余弦定理求得，再计算面积即可.

(1)

由正弦定理得：，又，故，又，故，；

(2)

若选①：由正弦定理得：，又，故，此时不存在；

若选②：由，又，则，，由余弦定理得，

即，解得或（舍去），故的面积为.

16．PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值做为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测

(1)现从制造业的10个观测组中任取一组，

（ⅰ）求组内三个PMI值至少有一个低于50．0的概率；

（ii）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好.设表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求的分布列与数学期望；

(2)用表示第月非制造业所对应的PMI值，表示非制造业12个月PMI值的平均数，请直接写出取得最大值所对应的月份．

【答案】(1)（ⅰ）；（ii）分布列见解析,；

(2)月份.

【分析】（1）（ⅰ）根据已知条件写出基本事件的个数，再利用古典概型的计算公式即可求解；

（ii）根据已知条件写出随机变量的取值求出对应的概率，进而得出分布列，根据分布列及数学期望的公式即可求解；

（2）根据已知条件求出，结合某年12个月的非制造业PMI值趋势图即可求解.

【详解】（1）（ⅰ）从制造业的10个观测组中任取一组的基本事件有

，共有10个，

设“组内三个PMI值至少有一个低于50．0”为事件，则事件包含的结果有共4个，

由古典概型的计算公式，得

（ii）的可能取值为，

，，.

的分布列为

所以随机变量的数学期望.

（2）月份，理由如下

由某年12个月的非制造业PMI值趋势图中的数据，得

根据某年12个月的非制造业PMI值趋势图，可知

当时，取得最大值为.

17．椭圆的左顶点为，离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平行四边形，求直线的方程.

【答案】(1)；

(2)或

【分析】（1）直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可；

（2）设，由表示出直线的斜率，进而写出直线的方程，联立椭圆求出弦长，由求出，即可求得直线的方程.

【详解】（1）由题意知：，则，故椭圆的方程为；

（2）

设，又，故，又直线经过点，故的方程为，

联立椭圆方程可得，显然，，

则，

又，由，可得，

解得或，

故直线的方程为或.

18．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的单调区间；

(3)当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2)的单增区间为，单减区间为；

(3)

【分析】（1）直接计算，求导计算，写出切线方程即可；

（2）直接求导确定导数的正负，写出单调区间即可；

（3）先根据必要性得到，再证明当时，，结合（2）中单调性证得，即满足充分性，即可求解.

【详解】（1），当时，，，，，

故曲线在点处的切线方程为，即；

（2）易得定义域为，当时，，令，或，

当或时，单调递减；当或时，单调递增；

故的单增区间为，单减区间为；

（3）“，即”是“当时，恒成立”的必要条件.

当，时，，令，

由（2）知，在单调递减，在单调递增，故，

即，所以的取值范围是.

19．已知有限数列共M项，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等.将数列的各项和记为．

(1)若，直接写出的值；

(2)若，求的最大值；

(3)若，求的最小值

【答案】(1)；

(2)8；

(3)50

【分析】（1）直接列举出数列，即可求得；

（2）先构造数列使，再说明不同的等腰三角形只有6个，故，即可求得的最大值；

（3）先构造数列使，再设T为数列的每一组连续三项的和的和，得，列举出不同的等腰三角形，使和最小，进而得到，即可求解.

【详解】（1）边长为1或2的等腰三角形只有1，1，1；1，2，2；2，2，2；若前三项为1，1，1，则该数列只有3项，不合题意；

若前三项为1，2，2，该数列只有4项，该数列只能为1，2，2，2；若前三项为2，2，2，该数列只有4项，该数列只能为2，2，2，1；

综上：；

（2）①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，1，此时.

②当存在连续三项为1，1，1时，本题中有两条边为1，1的等腰三角形仅有1，1，1，即数列只有3项，与矛盾，舍去.

③当不存在连续三项为1，1，1时，连续三项（不考虑这三项的顺序）共以下6种可能：

1，2，2；1，3，3；2，2，2；2，2，3；2，3，3；3，3，3.

又相邻的4项组成的2个等腰三角形中间2项是共用的，则总的项数为不同的等腰三角形的个数加上首尾2项，所以.

④由①②③，M的最大值为8.

（3）①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，5，5，5，3，3，1，此时.

②设T为数列的每一组连续三项的和的和，则

，即.

③连续三项（不考虑这三项的顺序）及这三项的和（标注在下面的括号内）有以下可能：

其中画横线的连续三项不能同时满足和前一项、后一项构成3个等腰三角形，故必为数列的首三项或尾三项，

故其对应的三角形在14个三角形中至多出现两个.

④由③，要使最小，则使和最小，在画横线的连续三项中取和最小的2组，

在没画横线的连续三项中取合最小的12组，同时令，

则，

，又由②，，

所以.

⑤由①④，S的最小值为50.

【点睛】本题关键点在于设T为数列的每一组连续三项的和的和，得，将最小，转化为和最小，列举出不同的等腰三角形，使和最小，进而得到，再构造数列使即可求解.

四、双空题

20．已知圆，则圆的半径为_________；若直线被圆截得的弦长为1，则_________．

【答案】     1；    

【分析】第一空：将一般方程化为标准方程即可求解；第二空：先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出的值.

【详解】第一空：将化为标准式得，故半径为1；

第二空：圆心到直线的距离为，由弦长为1可得，解得.

故答案为：1；.

21．已知的图象向右平移个单位后得到的图象，则函数的最大值为_________；若的值域为，则a的最小值为_________．

【答案】     ；    

【分析】第一空：先由辅助角公式写出，再结合平移变换写出，即可求得最大值；第二空：由值域为得恒成立，结合诱导公式可得，结合求出a的最小值即可.

【详解】第一空：由可得，易得的最大值为；

第二空：若的值域为，则恒成立，

即，又，故，

解得，又，故当时，a的最小值为.

故答案为：；.