2023周口恒大中学高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年高一上学期数学期末考试

数学试题

试卷考试时间：120分钟   满分：100

第I卷（选择题）

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合中所含元素的个数为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

3．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

4．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇而的面积为（    ）

A．704 B．352 C．1408 D．320

5．已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．下面四个命题：

①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；

③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.

其中真命题的个数为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

7．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

8．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：

①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）

9．下列说法中不正确的是（    ）

A．与表示同一个集合

B．集合＝与＝表示同一个集合

C．方程＝的所有解的集合可表示为

D．集合不能用列举法表示

10．已知集合，若，则的取值可以是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

11．设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的值可能是（    ）

A．0 B．1 C．99 D．100

12．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

三、填空题（每小题5分，共20分）

13．化简=________.

14．已知命题:“，使得”是真命题，则实数的最大值是____.

15．若函数是奇函数，则实数a的值为___________.

16．已知，则______．

四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）

17．判断下列函数的奇偶性：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

18．写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)正方形都是菱形；

(2)∃x∈R，使4x-3>x；

(3)∀x∈R，有x+1=2x；

(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．

19．已知函数求：

（1）画出函数的简图（不必列表）；

（2）求的值；

（3）当时，求取值的集合．

20．（1）已知，则取得最大值时的值为？

（2）已知，则的最大值为？

（3）函数 的最小值为？

21．如图，已知圆O的半径r为10，弦AB的长为10．

(1)求弦AB所对的圆心角的大小；

(2)求圆心角所对应的弧长l及阴影部分的面积S．

22．已知______，且函数.

①函数在定义域上为偶函数；

②函数在上的值域为.

在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.

(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；

(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.

参考答案：

一．单项选择题

1．B

【分析】求出集合后可求.

【详解】，故，

故选：B.

2．C

【分析】根据题意利用列举法写出集合，即可得出答案.

【详解】解：因为，

所以中含6个元素．

故选：C.

3．D

【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.

【详解】因为函数为减函数，所以

又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即

又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，

故选：D

4．A

【解析】设，，由题意可得：，解得，进而根据扇形的面积公式即可求解．

【详解】如图，设，，

由弧长公式可得：，

解得：，

所以，．

故选：．

5．C

【分析】先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.

【详解】命题p：因为，所以，解得，

命题q：，

因为p是q的充分不必要条件，

所以.

故选：C

6．D

【分析】对于①，计算判别式或配方进行判断；

对于②，当x2＝2时，只能得到x为，由此可判断；

对于③，方程x2＋1＝0无实数解；

对于④，作差可判断.

【详解】解：x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，

∴①为假命题.

当且仅当x＝时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.

对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.

4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.

∴①②③④均为假命题.

故选：D

【点睛】此题考查特称命题和全称命题真假的判断，特称命题要为真，只要有1个成立即可，全称命题要为假，只要有1个不成立即可，属于基础题.

7．A

【分析】根据图中阴影部分表示求解即可.

【详解】由题知：图中阴影部分表示，

，则.

故选：A

8．D

【分析】函数在区间是单调的，由，可得、是方程的两个同号的不等实数根，由，解不等式即可.

【详解】由题意可得若函数在区间是单调的，

所以，或，，

则，，

故、是方程的两个同号的不等实数根，

即方程有两个同号的不等实数根，注意到，

故只需，解得，

结合，可得.

故选：D

二．多项选择题

9．ABC

【分析】根据集合的概念，以及元素与集合的关系，以及元素的特征，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，是一个元素（数），而是一个集合，可得，所以A不正确；

对于B中，集合＝表示数构成的集合，集合＝表示点集，

所以B不正确；

对于C中，方程＝的所有解的集合可表示为，根据集合元素的互异性，可得方程＝的所有解的集合可表示为，所以C不正确；

对于D中，集合含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.

故选：ABC.

10．AB

【分析】根据并集的结果可得，即可得到的取值；

【详解】解：因为，所以，所以或；

故选：AB

11．BC

【分析】首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，从而得到，再根据函数单调性求解即可.

【详解】如图所示：

因为关于的方程有四个实数解，且，

所以.

的对称轴为，所以.

因为，所以，即，.

因为，所以.

所以，

因为，为减函数，

所以.

故选：BC

12．BD

【分析】分和两种情况讨论两个函数的单调性进行判断.

【详解】当时，在单调递增且其图象恒过点，

在单调递增且其图象恒过点，

则选项B符合要求；

当时，在单调递减且其图象恒过点，

在单调递减且其图象恒过点，

则选项D符合要求；

综上所述，选项B、D符合要求.

故选：BD.

三、填空题

13．a-1

【分析】根据根式的性质即可求解.

【详解】由知a-1≥0，a≥1.

故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.

故答案为：a-1

14．

【分析】根据任意性的定义，结合不等式的性质进行求解即可.

【详解】当时，，

因为“，使得”是真命题，所以.

故答案为：

15．1

【分析】利用奇函数的性质进行求解.

【详解】若是奇函数，则有.

当时，，则，

又当时，，所以，

由，得，解得a=1.

故答案为：1.

16．##

【分析】根据题意，由同角三角函数关系可得的值，而，最后利用齐次式化成关于的分式即可解.

【详解】解：由，得，

则

.

故答案为：.

四、解答题

17．(1)函数的单调递增区间有和；

(2)当时， 的解集为；当时，的解集为；当时， 的解集为1．（1）奇函数

（2）既不是奇函数也不是偶函数

（3）既是奇函数又是偶函数

（4）奇函数

【分析】根据函数奇偶性的概念，逐问判断即可.

【详解】（1）由，得，且，

所以的定义域为，关于原点对称，

所以.

又，所以是奇函数.

（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.

（3）对于函数，，其定义域为，关于原点对称.

因为对定义域内的每一个，都有，所以，，

所以既是奇函数又是偶函数.

（4）函数的定义域为，定义域关于原点对称.

①当时，，

所以，，所以；

②当时，，所以；

③当时，，所以.

综上，可知函数为奇函数.

18．

（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．

（2）命题的否定：∀x∈R，有4x-3≤x．因为当x=2时，4×2-3=5>2，所以“∀x∈R，有4x-3≤x”是假命题．

（3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题．

（4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．

19．（1）图象见解析；（2）11；（3）．

【分析】（1）根据函数的解析式，结合一次、二次函数的图象，即可求解；

（2）先求得，进而得到，即可求解；

（3）根据分段函数的解析式，分类讨论，分别求得各段上的值域，即可取值的集合．

【详解】（1）由分段函数可知，函数的简图为：

（2）因为，所以.

（3）当时，；

当时；

当时,，

所以一当时，取值的集合为．

20．（1）；（2）1；（3）

【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；

（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；

（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.

【详解】（1），

当且仅当，即时，取等号.

故所求的值为.

（2）因为，所以，

则.

当且仅当，即时，取等号.

故的最大值为1.

（3）

.

当且仅当，即时，取等号.

故函数的最小值为.

21．(1)

(2)；

【分析】（1）根据为等边三角形，可得，即可求解.

（2）利用扇形的弧长公式以及扇形的面积公式即可求解.

（1）由于圆O的半径r为10，弦AB的长为10，

所以为等边三角形，，所以．

（2）因为，所以，

．

又，

所以．

22. (1)选择条件见解析，a＝2，b＝0；为奇函数，证明见解析；

(2).

【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数；

若选择②，利用单调性得到关于的方程，求解即可；

将的值代入到的解析式中，再根据定义判断函数的奇偶性；

（2）将题中条件转化为“的值域是的值域的子集”即可求解.

（1）选择①.

由在上是偶函数，

得，且，所以a＝2，b＝0.

所以.

选择②.

当时，在上单调递增，则，解得，

所以.

为奇函数.

证明如下：的定义域为R.

因为，所以为奇函数.

（2）

当时，，因为，当且仅当，即x＝1时等号成立，所以；

当时，因为为奇函数，所以；

当x＝0时，，所以的值域为.

因为在上单调递减，所以函数的值域是.

因为对任意的，总存在，使得成立，

所以，所以,解得.

所以实数c的取值范围是.