2024周口恒大中学高一上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024周口恒大中学高一上学期12月月考试题数学含解析，共24页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

试卷考试时间：120分钟 满分：150
第I卷（选择题）
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
2. 若函数则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若集合A=，B={︳}，则=（ ）
A. B. C. D.
5. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在R上为“局部奇函数”，则实数a的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
6. 已知集合，则
A. B. C. D.
7. 已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数,,其中．若函数在区间上有且仅有一个零点,则实数的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数有3个单调区间B. 当时，
C. 函数有最小值D. 不等式的解集是
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数在上是增函数
C. 函数在上单调递增
D. 已知是定义在上的减函数，若，则
11. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 德国数学家黎曼（Ricmann）提出的黎曼函数r（x）在分析学中有着广泛的应用.黎曼函数r（x）的定义为，(p∈N*，q∈Z，q≠0且p，q互素），下列命题中，正确的有（ ）
A. 存在常数T > 0，使得对任意的x∈R，都有
B. 对任意的x∈R，有
C. 存在a，b，a + b∈[0，1]，使得
D. 给定正整数t，记S =，则S有个元素
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则使得成立的实数a的取值集合是______________；
14. 函数，的反函数为_______________.
15. 若不等式对一切恒成立，则实数的最大值为___________
16. 已知定义在上的奇函数与偶函数满足，则__________.
四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）
17 已知函数，.
（1）求解析式；
（2）当时，求的最值；
（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围.
18. 已知定义域均为的函数和，是偶函数，是奇函数，
（1）求解析式；
（2）判断在的单调性，并用定义证明；
（3）若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
19. 某市出租车的计价标准是4 km以内10元(含4 km)，超过4 km且不超过18 km的部分1.2元/千米，超出18 km的部分1.8元/千米．
(1)不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；
(2)如果某人乘车行驶了20 km，那么他要付多少车费？
20 已知函数.
(1)若函数对任意实数都有成立，求的解析式；
(2)当函数在区间[－1，1]上的最小值为－3时，求实数a的值．
21. 已知定义在上的函数是奇函数．
（1）求实数，的值；
（2）判断函数的单调性；
（3）若，不等式有解，求实数取值范围．
22. 定义在上的函数和二次函数满足：，，．
（1）求和的解析式；
（2）若对于、，均有成立，求取值范围；
（3）设，在（2）的条件下，讨论方程的解的个数．2023-2024学年高一上学期数学12月考试卷
数学试题
试卷考试时间：120分钟 满分：150
第I卷（选择题）
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求得的取值范围，根据不等式的基本性质可求得原函数的值域.
【详解】因为，所以，因此，函数的值域是.
故选：B.
【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题.
2. 若函数则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式,将自变量转换到对应的区间求解即可.
【详解】因为,
故.
故选：D
【点睛】本题主要考查了分段函数的求解以及对数的基本运算,需要根据题意将自变量转换到对应的区间上求解.属于基础题.
3. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集求出，根据并集计算即可.
【详解】，
，即，
，
即
故选：A
4. 若集合A=，B={︳}，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合后，利用集合的交集运算的定义即可得到答案.
【详解】,
,
故选：B
【点睛】本题考查了集合的交集运算的定义，理解交集的定义是关键，属于基础题.
5. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在R上为“局部奇函数”，则实数a的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】题意说明在R上有解，再转化为求函数的最小值可得．
【详解】为局部奇函数，则在R上有解，
即，∴，
∵，∴，即，∴，
故选：A．
6. 已知集合，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的交集的定义求出两集合的交集．
【详解】∵，
∴，
故选：C．
7. 已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件结合分段函数值域的意义可得在取尽一切负数，再列不等式求解即可作答.
【详解】函数，而函数是增函数，当时，，则当时，函数值域为，
因函数的值域为，因此，在当时，函数取尽一切负数，
当，即时，，不符合题意，当时，，也不符合题意，
从而有，解得，
所以实数的取值范围是：.
故选：D
8. 设函数,,其中．若函数在区间上有且仅有一个零点,则实数的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】由得，分别作出两个函数的图象，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．
【详解】解：．作函数的图象，如图所示：
函数零点的个数函数的图象与直线交点的个数．
当直线过点时，；当直线与曲线相切时，，
由
得，
即，
整理得，
则判别式，
即，
可求得或．
当时，不成立，
故此时，
根据图象可知当或时，函数在区间上有且仅有一个零点．
故选：C．
二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数有3个单调区间B. 当时，
C. 函数有最小值D. 不等式的解集是
【答案】BC
【解析】
【分析】利用奇偶性求出的表达式，再逐项求出单调区间、最值以及不等式的解集即可判断.
【详解】解：当时，，因为时，
所以，又因为是定义在上的偶函数
所以时，
即
如图所示：
对A，由图知，函数有个单调区间，故A错误；
对B，由上述分析知，当时，，故B正确；
对C，由图知，当或时，函数取得最小值，故C正确；
对D，由图知，不等式的解集是，故D错误.
故选：BC.
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数在上是增函数
C. 函数上单调递增
D. 已知是定义在上的减函数，若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性判断A，根据特值判断B，根据函数定义域判断C，根据函数的单调性及同向不等式的性质判断D.
【详解】因为函数的对称轴为，开口向下，故函数在上单调递减，A正确；
函数在上单调递增，但在上不单调递增，例如，，但，故B错误；
函数要有意义，则，解得，即函数定义域为，故在上单调递增错误，故C错误；
是定义在上的减函数，若中，则，又，
所以，所以，故D正确.
故选：AD
11. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】可根据已知条件，根据、的范围，分别表示出、的范围，然后再表示出、、、的范围，验证即可判断.
【详解】选项A，由，可得，故选项A正确；
选项B，由可得，而，所以，故选项B错误；
选项C，由，可得，故选项C正确；
选项D，由可得，而，所以，故选项D正确.
故选：ACD.
12. 德国数学家黎曼（Ricmann）提出的黎曼函数r（x）在分析学中有着广泛的应用.黎曼函数r（x）的定义为，(p∈N*，q∈Z，q≠0且p，q互素），下列命题中，正确的有（ ）
A. 存在常数T > 0，使得对任意的x∈R，都有
B. 对任意的x∈R，有
C. 存在a，b，a + b∈[0，1]，使得
D. 给定正整数t，记S =，则S有个元素
【答案】ABC
【解析】
【分析】本题中的，(p∈N*，q∈Z，q≠0且p，q互素）即取值为非零有理数，要考查新定义函数的周期性，对称性，根据函数解析式，分三段分别讨论，C选项可以取满足条件的来验证.D选项主要考查对定义的理解，取进行验证即可判断.
【详解】对选项A，考查函数的周期性，取，
若，则，
，所以满足，
若为无理数，则也是无理数，满足.
若为非零有理数，即，，互质，则与也互质，，满足，故A选项正确.
对选项B，若为无理数，则也无理数，所以.
若，满足.
若为非零有理数，，，互质，则与互质，也与互质，满足.B选项正确
对于选项C，因为存在a，b，a + b∈[0，1]，取，因为为无理数，，又，故，故 有.故选项C正确.
对于选项D，取，即，则或1，当时，，当时，，当时，，当时，，则，有7个元素，不满足=8个元素，故D错误.
故选：ABC
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则使得成立的实数a的取值集合是______________；
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的单调性，结合奇函数的性质求解即可.
【详解】由题意，当时，为减函数且，又是定义在R上的奇函数，故当时，为减函数且.
故则或或，解得或无解或.
综上有实数a的取值集合是.
故答案为：
14. 函数，的反函数为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数的值域，然后由函数解析式将用表示，即可得出结论.
【详解】函数，，，
，
所以反函数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查反函数的求法，要注意反函数的定义域不要遗漏，属于基础题.
15. 若不等式对一切恒成立，则实数的最大值为___________
【答案】
【解析】
【分析】参变分离可得，再根据函数的单调性求在上的最小值即可.
【详解】不等式对于一切恒成立，
即在上恒成立.
又对勾函数在上单调递增，
所以在上的最小值为,
所以实数的最大值为
故答案为：
16. 已知定义在上的奇函数与偶函数满足，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】结合已知条件可得，解方程组即可求解.
【详解】因为、分别为上的奇函数与偶函数，
所以，
又因为与满足，
所以，即，
解得，
故答案为：.
四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）
17 已知函数，.
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最值；
（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）最小值为0，无最大值
（3）
【解析】
【分析】（1）利用换元法求函数解析式；
（2）利用基本不等式求最值；
（3）将方程根的问题进行转化，
借助函数图像，建立满足题意的条件不等式解出即可.
【小问1详解】
由，
令，
所以
即函数.
【小问2详解】
，
当且仅当时取等，
所以最小值为0，无最大值.
【小问3详解】
方程可化为
，且，
令，
则方程化为，，
因为方程有三个不同的实数解，
由的图像知，
有两个根、，
且,或，
记，
即，
此时，
或 ，
得，此时无解
综上，关于的方程
有三个不同的实数解，则的取值范围.
18. 已知定义域均为的函数和，是偶函数，是奇函数，
（1）求解析式；
（2）判断在的单调性，并用定义证明；
（3）若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）在上是增函数；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据是偶函数，是奇函数，可得，再将其与联立，解方程即可求出解析式；
（2）根据单调性的定义即可判断并证明在的单调性；
（3）令，由（2）可知，再整理化简可得，设，将原问题转化为当，恒成立，再根据二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
解：因为，则
且是偶函数，是奇函数，所以，
，可得
【小问2详解】
解：任取，令，
因为，所以，，
则，即，所以在上是增函数．
【小问3详解】
解：令，
由（2）可知，单调递增，又为偶函数，，单调递减，
所以时，取得最大值，时，取得最小值，即
又
所以
设，所以当，恒成立，
即或或成立
又解得； 无解； 无解；
所以
19. 某市出租车的计价标准是4 km以内10元(含4 km)，超过4 km且不超过18 km的部分1.2元/千米，超出18 km的部分1.8元/千米．
(1)不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；
(2)如果某人乘车行驶了20 km，那么他要付多少车费？
【答案】（1）.
（2）乘车20 km，要付车费30.4元．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意可知此与的函数关系符合分段函数．根据的不同范围,可得相应的解析式．（2）因为可直接代入解析式中求．
试题解析：解：由题知，
（1）当时，元；当时，；
当时， 3
所以 5分
（2） 当时， 7分
答：他要付车费元 8分
考点：分段函数．
20. 已知函数.
(1)若函数对任意实数都有成立，求的解析式；
(2)当函数在区间[－1，1]上的最小值为－3时，求实数a的值．
【答案】(1)f(x)＝x2－2x＋3.(2)a＝7或a＝－7.
【解析】
【分析】(1)对任意实数都有成立，可得的对称轴为x＝1，即可得出a.
(2)由题意可得的对称轴为，分别讨论，，，综合结论，即可得到a的值.
【详解】(1)∵f(1＋t)＝f(1－t)，
∴函数f(x)图象的对称轴为x＝1，
∴，解得a＝－2.
∴函数的解析式为f(x)＝x2－2x＋3.
(2)由题意得函数f(x)＝x2＋ax＋3图象的对称轴为.
①当，即a≤－2时，f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴f(x)min＝f（1）＝1＋a＋3＝a＋4＝－3，
解得a＝－7，符合题意；
②当，即－2由题意得解得a2＝24，
∴或，又－2③当，即a≥2时，f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(－1)＝1－a＋3＝4－a＝－3，
解得a＝7，符合题意．
综上可知a＝7或a＝－7.
【点睛】本题考查二次函数的性质及在闭区间上的最值问题，需分别讨论对称轴在区间的左侧、中间、右侧三种情况，体现了分类讨论的数学思想，属中档题.
21. 已知定义在上的函数是奇函数．
（1）求实数，的值；
（2）判断函数的单调性；
（3）若，不等式有解，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）在上为减函数
（3）
【解析】
【分析】（1）由，求得，再由，求得，结合函数的奇偶性的定义，即可求解；
（2）化简，根据函数的单调性的定义及判定方法，即可求解；
（3）根据题意化简不等式为在有解，结合正弦函数和二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，定义在上的函数是奇函数，
可得，解得，即，
又由，可得，解得，所以，
又由，所以，.
【小问2详解】
解：由，
设，则，
因为函数在上是增函数且，
所以，即，
所以在上为减函数.
【小问3详解】
解：由函数在上为减函数，且函数为奇函数，
因为，
即，
可得，
又由对任意的，不等式有解，
即在有解，
因为，则，所以，
所以，即实数取值范围是.
22. 定义在上的函数和二次函数满足：，，．
（1）求和的解析式；
（2）若对于、，均有成立，求的取值范围；
（3）设，在（2）的条件下，讨论方程的解的个数．
【答案】（1），；（2）；（3）答案不唯一，具体见解析．
【解析】
【分析】（1）运用构造方程组法可求，运用待定系数法可求；
（2）原问题等价于对任意都成立，进而求得实数的取值范围；
（3）作出函数的图象，结合图象讨论即可．
详解】（1），，
由以上两式联立可解得，.
，所以，二次函数图象的对称轴为，
故设二次函数，则，解得，
所以，；
（2）由（1）知，在上为增函数，故，
∴对任意都成立，
即对任意都成立，
所以，，解得，故实数的取值范围为；
（3），作函数的图象如下，
令，，则，
①当时，，
由图象可知，此时方程有两个解，设为，，
则有个解，有个解，故方程共个解；
②当时，，
由图象可知，此时方程有一个解，设为，
则有个解，故方程共个解；
③当时，，
由图象可知，此时方程有一个解，
则有个解，故方程共个解；
④当时，，
由图象可知，此时方程有一个解，
则有个解，故方程共个解．
综上所述，当时，方程共个解；
当时，方程共个解；
当时，方程共个解；
当时，方程共个解．
【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.