精品解析：安徽省合肥市庐江三中2019-2020学年八年级下学期数学期中数学试题

庐江三中2019-2020学年度第二学期期中检测

八年级数学试题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 函数的自变量x的取值范围为　　

A.  B.  C.  D. 且

【答案】D

【解析】

【详解】试题解析：根据题意得：x+1≥0且x-1≠0，

解得：x≥－1且 x≠1．

故选D．

2. 在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（　　）

A. a=15，b=8，c=17 B. a=9，b=12，c=15 C. a=7，b=24，c=25 D. a=3，b=5，c=7

【答案】D

【解析】

【详解】解：A．152+82=172，是勾股数；

B．92+122=152，是勾股数；

C．72+242=252，是勾股数；

D．32+52≠72，不是勾股数．

故选D．

3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．

【详解】A选项：，与的被开方数不同，故不是同类二次根式，故A错误；

B选项：与的被开方数不同，故不是同类二次根式，故B错误；

C选项：与的被开方数相同，是同类二次根式，故C正确；

D选项：与的被开方数不相同，故不是同类二次根式，故D错误．

故选C．

【点睛】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

4. 如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（    ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

【答案】C

【解析】

【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，进而利用AAS可证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理求解即可．

【详解】解：如图，

∵a、b、c都是正方形，

∴AC=CD，∠ACD=∠ABC=∠DEC=90°，

∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，

在△ABC和△CED中，，

∴△ACB≌△CDE（AAS），

∴AB=CE，BC=DE；

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，

即Sb=Sa+Sc=1+9=10，

∴b的面积为10，

故选：C．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

5. 如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，，▱ABCD的周长（　　）

A. 11 B. 13 C. 16 D. 22

【答案】D

【解析】

【分析】根据平行四边形性质可得OE是三角形ABD的中位线，可进一步求解.

【详解】因为▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，

所以OE是三角形ABD的中位线，

所以AD=2OE=6

所以▱ABCD的周长=2（AB+AD）=22

故选D

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

6. 如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为(    )．

A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5

【答案】C

【解析】

【分析】由平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，可证得△BCE是等腰三角形，继而利用AE=BE-AB，求得答案．

【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC=5，

∴∠E=∠ECD，

∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE=∠ECD，

∴∠E=∠BCE，

∴BE=BC=5，

∴AE=BE-AB=5-3=2．

故选C．

【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．能证得△BCE是等腰三角形是解此题的关键．

7. 若正比例函数（的常数）的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致位置是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据正比例函数图象所经过的象限判定k＜0，由此可以推知一次函数y=2x+k的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限．

【详解】解：∵正比例函数（的常数）的图象在第二、四象限，

∴k＜0，

∴一次函数y=2x+k的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限．

观察选项，只有A选项正确．

故选：A．

【点睛】本题考查正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，解题时利用了“数形结合”的数学思想．

8. 在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（     ）

A. 10 B. 8 C. 6或10 D. 8或10

【答案】C

【解析】

【详解】分两种情况：

在图①中，由勾股定理，得

；

；

∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10．

图②中，由勾股定理，得

；

；

∴BC＝BD-CD＝8-2＝6．

故选C．

9. 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（    ）

A. 5 B. 4 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】如图所示，连接OD，先求出，然后利用勾股定理求解即可．

【详解】解：如图所示，连接OD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OD=OB，∠BAD=90°，

∵OM∥AB，

∴∠OMD=90°，

∴，

∴

故选：D．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．

10. 如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点，则下列说法：

①若，则四边形为矩形；

②若，则四边形为菱形；

③若四边形平行四边形，则与互相垂直平分；

④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等.

其中正确的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH是平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．

【详解】解：∵E、F分别是边AB、BC的中点，

∴EF∥AC，EF=AC，

同理可知，HG∥AC，HG=AC，

∴EF∥HG，EF=HG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

若AC=BD，则四边形EFGH是菱形，故①说法错误；

若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形，故②说法错误；

若四边形是平行四边形，AC与BD不一定互相垂直平分，故③说法错误；

若四边形是正方形，AC与BD互相垂直且相等，故④说法正确；

故选：A．

【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，掌握三角形中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为_______ ．

【答案】等腰直角三角形

【解析】

详解】∵，

∴c2－a2－b2=0，且a－b=0．

由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，

∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．

又由a－b=0得a=b，

∴△ABC为等腰直角三角形．

故答案为：等腰直角三角形．

12. 若，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，得到y的值，计算即可．

【详解】解：由题意得，≥0，≥0，

则x=，y=，

∴=，

故答案为：．

【点睛】本题考查二次根式有意义条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

13. 如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠AED等于__度．

【答案】65

【解析】

【分析】先由正方形的性质得到∠ABF的角度，从而得到∠AEB的大小，再证△AEB≌△AED，得到∠AED的大小

【详解】∵四边形ABCD是正方形

∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD

∵∠FBC=20°

∴∠ABF=70°

∴在△ABE中，∠AEB=65°

在△ABE与△ADE中

∴△ABE≌△ADE

∴∠AED=∠AEB=65°

故答案为：65°

【点睛】本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出∠AEB的大小.

14. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为___．

【答案】

【解析】

【详解】∵AB=12，BC=5，

∴AD=5，

∴，

根据折叠可得：AD=A′D=5，

∴A′B=13－5=8，

设AE=x，则A′E=x，BE=12－x，

在Rt△A′EB中：，

解得：．

故答案为：

三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）

15. 计算：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）0

【解析】

【分析】（1）首先化简二次根式进而计算得出答案；

（2）先利用平方差公式计算，然后化简后合并即可得出答案．

【详解】解：（1）原式；

（2）

.

【点睛】本题考查二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

16. 先化简，在求值：，其中，，.

【答案】，3

【解析】

【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将、的值代入计算可得．

【详解】解：原式

当，时，

∴原式

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．

四、解答题（本大题共7小题，共74.0分）

17. 如图所示，在四边形中，，，，的长分别为2，2，，2，且，求的度数.

【答案】

【解析】

【分析】连接，首先在直角中，运用勾股定理求出的长，然后由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则根据，即可求解．

【详解】解：连接，

于，

∴，

在中，

∵，

∴

又∵，

∴，，

∵，，

∴，，.

∴，

由勾股定理逆定理得：，

∴

【点睛】本题考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形及勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求证是直角三角形是解题的关键．

18. 如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．

（1）求出这个一次函数的解析式．

（2）根据函数图象，直接写出y＜2时x的取值范围．

【答案】（1）y＝x+1；（2）x＜2

【解析】

【分析】（1）将（﹣2，0）、（2，2）两点代入y＝kx+b，解得k，b，可得直线l的解析式；

（2）根据函数图象可以直接得到答案．

【详解】解：（1）将点（﹣2，0）、（2，2）分别代入y＝kx+b，得：，

解得．

所以，该一次函数解析式为：y＝x+1；

（2）由图象可知，当y＜2时x的取值范围是：x＜2．

【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用代入法是解答此题的关键．

19. 如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．

（1）求的面积；

（2）通过计算判断的形状；

（3）求AB边上的高．

【答案】；是直角三角形；边上的高．

【解析】

【分析】（1）由正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可；

（2）由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出结论；

（3）由三角形的面积即可得出结果．

【详解】解：（1）的面积；

（2）由勾股定理得：，

，

，

，

是直角三角形，，

是直角三角形；

（3），，是直角三角形，

边上的高．

【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．

20. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：

（1）AE＝CF；

（2）四边形AECF是平行四边形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）利用平行四边形的性质，结合已知条件，证明即可得到答案；

（2）证明，结合 可得结论．

【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠ADE＝∠CBF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AED＝∠CFB＝90°，

在△ADE和△CBF中，

，

∴（AAS），

∴AE＝CF．

（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE∥CF，

由（1）得AE＝CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．

21. 你一定玩过荡秋千的游戏吧，小明在荡秋千时发现：如图，当秋千在静止位置时，下端离地面0.5米，当秋千荡到位置时，下端距静止时的水平距离为4米，距地面2.5米，请你计算秋千的长.

【答案】秋千的长为．

【解析】

【分析】从图中得到，，根据勾股定理可求得的值．

【详解】解：∵，

，米，

由勾股定理得，

∴，

，

解得，

∴秋千的长为．

【点睛】本题利用了勾股定理求解，关键是运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

22. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OCED为菱形；

（2）连接AE、BE，AE与BE相等吗？请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）AE=BE，理由见解析．

【解析】

【分析】（1）先判断四边形OCDE是平行四边形，又因为四边形ABCD是矩形，两个结论联合起来，可知四边形OCDE是菱形；

（2）先证出∠ADE=∠BCE，再证明△ADE≌△BCE，从而得出AE=BE．

【详解】解：（1）四边形OCDE是菱形．理由如下：

∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形OCDE是平行四边形，

∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，

∴OC=AC=BD=OD，

∴四边形OCDE是菱形；

（2）AE=BE，理由是：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠ADC=∠BCD，

∵四边形OCDE是菱形，

∴ED=EC，∠EDC=∠ECD，

∴∠EDC+∠ADC =∠ECD+∠BCD，

即∠ADE =∠BCE

在△ADE和△BCE中，

∵，

∴△ADE≌△BCE，

∴AE=BE．

23. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AC的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．

（1）猜想：如图（1）线段OE与线段OF的数量关系为　   　；

（2）拓展：如图（2），若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于点F，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．

【答案】（1）;（2）成立.理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA，又因为AM⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，从而求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF.

（2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA，再根据已知条件求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF.

【详解】解：（1）正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AM⊥BE，

∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90°，

∵∠AFO=∠BFM（对顶角相等），

∴∠OAF=∠OBE（等角的余角相等），

又OA=OB（正方形的对角线互相垂直平分且相等），

∴△BOE≌△AOF（ASA），

∴OE=OF.

故答案为OE=OF；

（2）成立.理由如下：

证明：∵四边形是正方形，

∴，

又∵，

∴，，

又∵   

∴∴，

∴

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，并运用了类比的思想，两个问题都是证明解决问题.