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数学九年级上册24.1.1 圆练习题
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这是一份数学九年级上册24.1.1 圆练习题，文件包含人教版初三数学上册秋季班讲义第7讲圆的有关性质--尖子班教师版docx、人教版初三数学上册秋季班讲义第7讲圆的有关性质--尖子班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
第7讲 圆的有关性质
知识点1 垂径定理
①弦和直径：
(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。
②弧：
(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记作,读作弧AB.
(2)半圆、优弧、劣弧：
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如.
小于半圆的弧叫做劣弧，如。
（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。
③弦心距：
（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
④圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。
⑤垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夹的弧相等．
⑥同心圆与等圆
（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。
（图一）
（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的⊙O 1与⊙O 2的半径都是r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。
（图二）
（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。
【典例】
1.如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是
【答案】GH
【解析】解：∵AB是直径，AB⊥GH，
∴圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是GH
2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是
【答案】（﹣2，﹣1）
【解析】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，
则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）
3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为
【答案】18m
【解析】解：如图，连结OA，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD=AB=×24=12，
在Rt△OAD中，OA=5，OD==5，
∴CD=OC+CD=13+5=18m．
4.把宽为2cm的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm），求该圆的半径
【答案】3.25cm
【解析】解：如图，连接OA交BC于点E，
设OB=r，
∵AB=8﹣2=6cm，OD⊥AB，
∴BE=AB=×6=3cm，
在Rt△BOE中，
OE2+BE2=OB2，即（r﹣2）2+9=r2，
解得r==3.25cm．
【方法总结】
1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。
2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理复合运用。
【随堂练习】
1．（2018秋•镇海区期末）如图，是的直径，，是半径上的一动点，交于点，在半径上取点，使得，交于点，点，位于两侧，连接交于点，点从点出发沿向终点运动，在整个运动过程中，与的面积和的变化情况是
A．一直减小 B．一直不变 C．先变大后变小 D．先变小后变大
【解答】解：连接，，，．设，，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
二．解答题（共2小题）
2．（2018秋•云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米．
（1）求圆弧所在的圆的半径的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？
【解答】解：（1）连结，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得，；
（2）连结，
，
在△中，由勾股定理得：，即：，
解得：．
．
，
不需要采取紧急措施．
3．（2017•道外区一模）如图，为直径，点为下方上一点，点为弧中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点作于，交于，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长
【解答】解：（1）如图1，设，，
则，
点为弧中点，
，
，
，
连接，
为直径，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
知识点2 弧、弦、圆心角、圆周角的关系
与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。
在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。
（3）直径所对的圆周角是直角。
【典例】
1.如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于
【答案】40°
【解析】解：如图，连接BF，
∵的度数为30°，
∴的度数为150°，∠AFB=15°，
∵G是的三等分点，
∴的度数为50°，
∴∠GBF=25°，
∴∠GHF=∠GBF+∠AFB=40°，
2.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=38°，则∠AEO的度数是
【答案】57°
【解析】解：∵==，∠COD=38°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=38°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=66°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=×（180°﹣66°）=57°．
3.如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是
【答案】26°
【解析】解：如图，
由OC⊥AB，得
=，∠OEB=90°．
∴∠2=∠3．
∵∠2=2∠1=2×32°=64°．
∴∠3=64°，
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，
∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°
【方法总结】
1、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等，可进行角度转换。
2、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可进行角度倍数转换。
【随堂练习】
1．（2019•泸县模拟）如图，是的直径，，分别是上的两点，，，，则的半径是
A． B． C． D．
【解答】解：过点作，与圆交于点，过点作于点，过点作于点连接、、．
，，
，
，，
，，
，，
，，
，，
，
，四边形为等腰梯形，
，，，
，
同理
，
在中，，
，
故选：．
2．（2019•福建模拟）如图，是的直径，，点为弧的中点，交于点，，则的长为
A． B． C． D．
【解答】解：连接．
，
，
，
，
，
，设，则，
，
，
故选：．
3．（2019春•沙坪坝区校级月考）如图，在中，，若，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：．
二．填空题（共8小题）
4．（2019•海安县一模）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形，，的长分别是和，上部是圆心为的劣弧，圆心角．现欲以点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离，则的最大值为 ．
【解答】解：如图所示，过点作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点，交地面于点，
如图1，，的长分别是和，圆心角，
，，
，，
当点在线段上时，拱门上的点到地面的最大距离等于点到地面的距离，即点与点重合时，此时
，
如图2所示，当点在劣弧上时，拱门上的点到地面的最大距离等于的半径长与圆心到地面的距离之和，
易知，，
而，
当点与点重合时，取得最大值，
由图1可知，，，则，
的最大值为，即．
故答案为：．
5．（2019•晋江市二模）点、为直径是的圆周上两点，点为的中点，以线段、为邻边作菱形，顶点恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 6或 ．
【解答】解：过作直径，连接交于，
点为的中点，
，
如图①，
点恰在该圆直径的三等分点上，
，
，
四边形是菱形，
，
，
连接，
，
边；
如图②，，
同理可得，，，，
连接，
，
边，
故答案为6或．
6．（2019•下城区二模）已知是优弧的中点，若，，则 ．
【解答】解：如图，连接，延长交于．
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
7．（2019•崇明区二模）如图，在中，点为弧的中点，交弦于，如果，，那么的长为 3 ．
【解答】解：连接，
点为弧的中点，
，
，，
，
，
，
故答案为：3．
8．（2019•江岸区校级模拟）如图，已知四边形外接圆的半径为5，对角线与交于点，，，且，则四边形的面积为 10 ．
【解答】解：，，
，
，
又，
，
，
，
，
．
连接，交于，连接，
，
，
，
，
，．
，
是的中点，
，，
，
，
故答案为10．
9．（2019•浙江模拟）如图，已知半的直径为3，弦与弦交于点，，垂足为点，，则弦的长为 ．
【解答】解：，
，，
又，
，即，
，
，
，
，
，
，
则；
10．（2019•荆州一模）点、为半径是3的圆周上两点，点为弧的中点，以线段、为邻边作菱形，顶点恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 或 ．
【解答】解：过作直径，连接交于，
点为的中点，
，
如图①，
点恰在该圆直径的三等分点上，
，
，
四边形是菱形，
，
，
连接，
，
边；
如图②，，
同理可得，，，，
连接，
，
边，
故答案为或．
11．（2019•新城区校级模拟）点、为半径是4的圆周上两点，点为弧的中点，以线段、为邻边作菱形，顶点恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为 ．
【解答】解：如图，连接，设交于，交于．
四边形是菱形，
垂直平分线段，
是直径，
，，
，
，
在中，，
在中，，
故答案为
知识点3 圆周角定理及推论
圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
圆周角的推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
②90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
【典例】
1.如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，那么BC的长是
【答案】2
【解析】解：∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，
∵OD⊥弦BC，∴∠BOD=90°，
∵∠BOD=∠A=60°，∴OD=OB=1，
∴BD===，
∴BC=2BD=2
2.如图所示，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为
【答案】65°
【解析】解：如图连接AD，
∵OA=OD，∠AOD=50°，
∴∠ADO==65°．
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=50°，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115°，
∴∠B=180°﹣∠ADC=65°
【方法总结】
1、在圆中利用圆的半径处处相等，可迅速构造等腰三角形。
2、利用直径所对的圆周角是直角，可便捷构造直角三角形。
【随堂练习】
1．（2019•青山区模拟）已知的半径为2，为圆内一定点，．为圆上一动点，以为边作等腰，，，的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．则，，
，都是顶角为的等腰三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的最大值为，
故选：．
2．（2019•鹿城区模拟）如图，，是的弦，，点在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点．若的半径为2，则的长度的最大值是
A． B． C． D．
【解答】解：连接、、，作于．
，
，，
，，
，
，
，，
，
，，
，
当是直径时，的值最大，最大值为2，
的最大值为．
故选：．
二．解答题（共2小题）
3．（2019•苍南县模拟）如图，在中，，是边上一点，以为直径的经过点，并交于点，连结．
（1）判断的形状并证明．
（2）连结并延长交于点，若，求的长．
【解答】（1）证明：是等腰直角三角形．
是的直径
，
．
，
，
是等腰直角三角形．
（2）过点作于点，
则是等腰直角三角形，且．
，．
，
，
．
．
，
．
4．（2019•南开区一模）已知：如图1，在中，直径，，直线，相交于点．
（1）的度数为 ；
（2）如图2，与交于点，请补全图形并求的度数；
（3）如图3，弦与弦不相交，求的度数．
【解答】解：（1）如图1，连结，，，
为等边三角形，
为直径，
的度数为；
（2）①如图2，直线，交于点，连结，，．
，
为等边三角形，
，
，
，
为直径，
，
，
（3）如图3，连结，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
．
知识点4 圆内接四边形的性质
1.圆内接四边形的对角互补
2.外角等于它的内对角
【典例】
1.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠B+∠D的度数为 ．
【答案】155°
【解析】解：连接AB、DE，则∠ABE=∠ADE，
∵为50°，∴∠ABE=∠ADE=25°，
∵点A、B、C、D在⊙O上，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°，
∴∠B+∠D=180°﹣∠ABE=180°﹣25°=155°
2.如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F=70°，则∠A的度数是
【答案】55°
【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，
即2∠A=180°﹣（∠E+∠F）=110°，
∴∠A=55°
3.如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，∠ADC=90°，AB=7cm，CD=5cm，AE=4cm，CF=6cm，则阴影部分的面积为 cm2．
【答案】31
【解析】解：如图，连接AC．
∵∠ADC=90°，
∴AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∴CD⊥AE，AB⊥CF，
∵S阴=S△AEC+S△AFC=•AE•CD+•CF•AB=×4×5+×6×7=31（cm2）
【方法总结】
证明四点共圆的一般方法：
1、逆用同弦所对圆周角相等
2、逆用圆的内接四边形对角互补
【随堂练习】
1．（2019•雁塔区校级模拟）如图，四边形是的内接四边形，．若，，则下列等式成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：如图设交于．
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
2．（2019•岳麓区校级二模）如图，在圆的内接四边形中，，，，点为弧的中点，则的长是
A．4 B． C． D．
【解答】解：、、、四点共圆，，
，
，平分，
，
如图1，
将绕点逆时针旋转得，
则，，，
，
、、三点共线，
过作于，
，
，
在中，；
故选：．
3．（2019•碑林区校级三模）如图，四边形内接于圆，连接，，若，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：设，则，
，，
，
，
，
故选：．
4．（2019•德州）如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，若，则的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得到，作出圆，如图所示，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
故选：．
5．（2019•蓝田县一模）如图，点、、、在上，，，，则
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
，
，
，
．
故选：．
6．（2019•江北区一模）如图，点、、、在上，，点是弧的中点，则的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：连接，
点是的中点，
，
由圆周角定理得，，
故选：．
7．（2019•周村区一模）如图，四边形内接于，，，，弦平分，则的长是
A． B． C．12 D．13
【解答】解：
过作于，交延长线于，则，
平分，
，
由勾股定理得：，，
，
、、、四点共圆，
，，
，
，
平分，
，
在和中
，
，
，，
，
，
，，
，
，
解得：，
，
故选：．
8．（2019•行唐县模拟）如图，四边形内接于，，则的度数
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
9．（2019•雁塔区校级三模）如图，四边形为的内接四边形，，垂足为点，若，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：四边形为的内接四边形，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
综合运用：圆的有关性质
1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。
【解析】解：如图，设EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4cm，
设OF=x cm，则ON=OF，
∴OM=MN﹣ON=（4﹣x）cm，MF=2cm，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（4﹣x）2+22=x2
解得：x=2.5cm
答：球的半径为2.5cm。
2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求
（1）求半圆的半径长；
（2）BE的长度。
【解析】解：（1）设圆的半径为r，
∵D是弧AC中点，
∴OD⊥AC，AE=AC=4，
在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得，r=5，即圆的半径长为5；
答：圆的半径长为5。
（2）如图，连接BC，
∵AO=OB，AE=EC，
∴BC=2OE=6，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BE==2．
答：BE长为2。
3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径。
【解析】解：如图，连接OB，
设⊙O的半径为r，则Rt△AOB中，∵AC=5cm，∴AO=（5-r）cm，AB=3cm，OB=r，由勾股定理得：OB²=OA²+AB²，即：r²=（5-r）²+3²，解得：r=3.4cm。
答：⊙O的半径为3.4cm。
4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC，F为CD的中点，求EF的最大值。
【解析】解：由题意知∠BEC=90°，
∴点E在以BC为直径的⊙O上，如图所示：
由图可知，连接FO并延长交⊙O于点E′，
此时E′F最长，
∵CO=BC=6、FC=CD=，
∴OF===，
则E′F=OE′+OF=6+=
答：EF的最大值为。
5.如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD平分∠ACB．
（1）求AC与BD的长；
（2）求四边形ADBC的面积．
【解析】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∴AC==6（cm），
∵CD平分∠ACB，∴BD=AD=AB=5（cm）；
答：AC长6cm；BD长5cm。
（2）四边形ADBC的面积=△ABC的面积+△ADB的面积
=×6×8+×5×5=49（cm2）．
答;四边形ADBC的面积为49cm2 。
6.如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
【解析】解：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，
连接OP，如图1：
∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．
第7讲 圆的有关性质
知识点1 垂径定理
①弦和直径：
(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。
②弧：
(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记作,读作弧AB.
(2)半圆、优弧、劣弧：
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如.
小于半圆的弧叫做劣弧，如。
（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。
③弦心距：
（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
④圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。
⑤垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夹的弧相等．
⑥同心圆与等圆
（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。
（图一）
（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的⊙O 1与⊙O 2的半径都是r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。
（图二）
（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。
【典例】
1.如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是
【答案】GH
【解析】解：∵AB是直径，AB⊥GH，
∴圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是GH
2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是
【答案】（﹣2，﹣1）
【解析】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，
则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）
3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为
【答案】18m
【解析】解：如图，连结OA，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD=AB=×24=12，
在Rt△OAD中，OA=5，OD==5，
∴CD=OC+CD=13+5=18m．
4.把宽为2cm的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm），求该圆的半径
【答案】3.25cm
【解析】解：如图，连接OA交BC于点E，
设OB=r，
∵AB=8﹣2=6cm，OD⊥AB，
∴BE=AB=×6=3cm，
在Rt△BOE中，
OE2+BE2=OB2，即（r﹣2）2+9=r2，
解得r==3.25cm．
【方法总结】
1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。
2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理复合运用。
【随堂练习】
1．（2018秋•镇海区期末）如图，是的直径，，是半径上的一动点，交于点，在半径上取点，使得，交于点，点，位于两侧，连接交于点，点从点出发沿向终点运动，在整个运动过程中，与的面积和的变化情况是
A．一直减小 B．一直不变 C．先变大后变小 D．先变小后变大
【解答】解：连接，，，．设，，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
二．解答题（共2小题）
2．（2018秋•云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米．
（1）求圆弧所在的圆的半径的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？
【解答】解：（1）连结，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得，；
（2）连结，
，
在△中，由勾股定理得：，即：，
解得：．
．
，
不需要采取紧急措施．
3．（2017•道外区一模）如图，为直径，点为下方上一点，点为弧中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点作于，交于，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长
【解答】解：（1）如图1，设，，
则，
点为弧中点，
，
，
，
连接，
为直径，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
知识点2 弧、弦、圆心角、圆周角的关系
与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。
在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。
（3）直径所对的圆周角是直角。
【典例】
1.如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于
【答案】40°
【解析】解：如图，连接BF，
∵的度数为30°，
∴的度数为150°，∠AFB=15°，
∵G是的三等分点，
∴的度数为50°，
∴∠GBF=25°，
∴∠GHF=∠GBF+∠AFB=40°，
2.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=38°，则∠AEO的度数是
【答案】57°
【解析】解：∵==，∠COD=38°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=38°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=66°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=×（180°﹣66°）=57°．
3.如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是
【答案】26°
【解析】解：如图，
由OC⊥AB，得
=，∠OEB=90°．
∴∠2=∠3．
∵∠2=2∠1=2×32°=64°．
∴∠3=64°，
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，
∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°
【方法总结】
1、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等，可进行角度转换。
2、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可进行角度倍数转换。
【随堂练习】
1．（2019•泸县模拟）如图，是的直径，，分别是上的两点，，，，则的半径是
A． B． C． D．
【解答】解：过点作，与圆交于点，过点作于点，过点作于点连接、、．
，，
，
，，
，，
，，
，，
，，
，
，四边形为等腰梯形，
，，，
，
同理
，
在中，，
，
故选：．
2．（2019•福建模拟）如图，是的直径，，点为弧的中点，交于点，，则的长为
A． B． C． D．
【解答】解：连接．
，
，
，
，
，
，设，则，
，
，
故选：．
3．（2019春•沙坪坝区校级月考）如图，在中，，若，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：．
二．填空题（共8小题）
4．（2019•海安县一模）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形，，的长分别是和，上部是圆心为的劣弧，圆心角．现欲以点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离，则的最大值为 ．
【解答】解：如图所示，过点作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点，交地面于点，
如图1，，的长分别是和，圆心角，
，，
，，
当点在线段上时，拱门上的点到地面的最大距离等于点到地面的距离，即点与点重合时，此时
，
如图2所示，当点在劣弧上时，拱门上的点到地面的最大距离等于的半径长与圆心到地面的距离之和，
易知，，
而，
当点与点重合时，取得最大值，
由图1可知，，，则，
的最大值为，即．
故答案为：．
5．（2019•晋江市二模）点、为直径是的圆周上两点，点为的中点，以线段、为邻边作菱形，顶点恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 6或 ．
【解答】解：过作直径，连接交于，
点为的中点，
，
如图①，
点恰在该圆直径的三等分点上，
，
，
四边形是菱形，
，
，
连接，
，
边；
如图②，，
同理可得，，，，
连接，
，
边，
故答案为6或．
6．（2019•下城区二模）已知是优弧的中点，若，，则 ．
【解答】解：如图，连接，延长交于．
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
7．（2019•崇明区二模）如图，在中，点为弧的中点，交弦于，如果，，那么的长为 3 ．
【解答】解：连接，
点为弧的中点，
，
，，
，
，
，
故答案为：3．
8．（2019•江岸区校级模拟）如图，已知四边形外接圆的半径为5，对角线与交于点，，，且，则四边形的面积为 10 ．
【解答】解：，，
，
，
又，
，
，
，
，
．
连接，交于，连接，
，
，
，
，
，．
，
是的中点，
，，
，
，
故答案为10．
9．（2019•浙江模拟）如图，已知半的直径为3，弦与弦交于点，，垂足为点，，则弦的长为 ．
【解答】解：，
，，
又，
，即，
，
，
，
，
，
，
则；
10．（2019•荆州一模）点、为半径是3的圆周上两点，点为弧的中点，以线段、为邻边作菱形，顶点恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 或 ．
【解答】解：过作直径，连接交于，
点为的中点，
，
如图①，
点恰在该圆直径的三等分点上，
，
，
四边形是菱形，
，
，
连接，
，
边；
如图②，，
同理可得，，，，
连接，
，
边，
故答案为或．
11．（2019•新城区校级模拟）点、为半径是4的圆周上两点，点为弧的中点，以线段、为邻边作菱形，顶点恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为 ．
【解答】解：如图，连接，设交于，交于．
四边形是菱形，
垂直平分线段，
是直径，
，，
，
，
在中，，
在中，，
故答案为
知识点3 圆周角定理及推论
圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
圆周角的推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
②90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
【典例】
1.如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，那么BC的长是
【答案】2
【解析】解：∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，
∵OD⊥弦BC，∴∠BOD=90°，
∵∠BOD=∠A=60°，∴OD=OB=1，
∴BD===，
∴BC=2BD=2
2.如图所示，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为
【答案】65°
【解析】解：如图连接AD，
∵OA=OD，∠AOD=50°，
∴∠ADO==65°．
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=50°，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115°，
∴∠B=180°﹣∠ADC=65°
【方法总结】
1、在圆中利用圆的半径处处相等，可迅速构造等腰三角形。
2、利用直径所对的圆周角是直角，可便捷构造直角三角形。
【随堂练习】
1．（2019•青山区模拟）已知的半径为2，为圆内一定点，．为圆上一动点，以为边作等腰，，，的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．则，，
，都是顶角为的等腰三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的最大值为，
故选：．
2．（2019•鹿城区模拟）如图，，是的弦，，点在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点．若的半径为2，则的长度的最大值是
A． B． C． D．
【解答】解：连接、、，作于．
，
，，
，，
，
，
，，
，
，，
，
当是直径时，的值最大，最大值为2，
的最大值为．
故选：．
二．解答题（共2小题）
3．（2019•苍南县模拟）如图，在中，，是边上一点，以为直径的经过点，并交于点，连结．
（1）判断的形状并证明．
（2）连结并延长交于点，若，求的长．
【解答】（1）证明：是等腰直角三角形．
是的直径
，
．
，
，
是等腰直角三角形．
（2）过点作于点，
则是等腰直角三角形，且．
，．
，
，
．
．
，
．
4．（2019•南开区一模）已知：如图1，在中，直径，，直线，相交于点．
（1）的度数为 ；
（2）如图2，与交于点，请补全图形并求的度数；
（3）如图3，弦与弦不相交，求的度数．
【解答】解：（1）如图1，连结，，，
为等边三角形，
为直径，
的度数为；
（2）①如图2，直线，交于点，连结，，．
，
为等边三角形，
，
，
，
为直径，
，
，
（3）如图3，连结，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
．
知识点4 圆内接四边形的性质
1.圆内接四边形的对角互补
2.外角等于它的内对角
【典例】
1.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠B+∠D的度数为 ．
【答案】155°
【解析】解：连接AB、DE，则∠ABE=∠ADE，
∵为50°，∴∠ABE=∠ADE=25°，
∵点A、B、C、D在⊙O上，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°，
∴∠B+∠D=180°﹣∠ABE=180°﹣25°=155°
2.如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F=70°，则∠A的度数是
【答案】55°
【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，
即2∠A=180°﹣（∠E+∠F）=110°，
∴∠A=55°
3.如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，∠ADC=90°，AB=7cm，CD=5cm，AE=4cm，CF=6cm，则阴影部分的面积为 cm2．
【答案】31
【解析】解：如图，连接AC．
∵∠ADC=90°，
∴AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∴CD⊥AE，AB⊥CF，
∵S阴=S△AEC+S△AFC=•AE•CD+•CF•AB=×4×5+×6×7=31（cm2）
【方法总结】
证明四点共圆的一般方法：
1、逆用同弦所对圆周角相等
2、逆用圆的内接四边形对角互补
【随堂练习】
1．（2019•雁塔区校级模拟）如图，四边形是的内接四边形，．若，，则下列等式成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：如图设交于．
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
2．（2019•岳麓区校级二模）如图，在圆的内接四边形中，，，，点为弧的中点，则的长是
A．4 B． C． D．
【解答】解：、、、四点共圆，，
，
，平分，
，
如图1，
将绕点逆时针旋转得，
则，，，
，
、、三点共线，
过作于，
，
，
在中，；
故选：．
3．（2019•碑林区校级三模）如图，四边形内接于圆，连接，，若，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：设，则，
，，
，
，
，
故选：．
4．（2019•德州）如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，若，则的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得到，作出圆，如图所示，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
故选：．
5．（2019•蓝田县一模）如图，点、、、在上，，，，则
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
，
，
，
．
故选：．
6．（2019•江北区一模）如图，点、、、在上，，点是弧的中点，则的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：连接，
点是的中点，
，
由圆周角定理得，，
故选：．
7．（2019•周村区一模）如图，四边形内接于，，，，弦平分，则的长是
A． B． C．12 D．13
【解答】解：
过作于，交延长线于，则，
平分，
，
由勾股定理得：，，
，
、、、四点共圆，
，，
，
，
平分，
，
在和中
，
，
，，
，
，
，，
，
，
解得：，
，
故选：．
8．（2019•行唐县模拟）如图，四边形内接于，，则的度数
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
9．（2019•雁塔区校级三模）如图，四边形为的内接四边形，，垂足为点，若，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：四边形为的内接四边形，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
综合运用：圆的有关性质
1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。
【解析】解：如图，设EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4cm，
设OF=x cm，则ON=OF，
∴OM=MN﹣ON=（4﹣x）cm，MF=2cm，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（4﹣x）2+22=x2
解得：x=2.5cm
答：球的半径为2.5cm。
2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求
（1）求半圆的半径长；
（2）BE的长度。
【解析】解：（1）设圆的半径为r，
∵D是弧AC中点，
∴OD⊥AC，AE=AC=4，
在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得，r=5，即圆的半径长为5；
答：圆的半径长为5。
（2）如图，连接BC，
∵AO=OB，AE=EC，
∴BC=2OE=6，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BE==2．
答：BE长为2。
3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径。
【解析】解：如图，连接OB，
设⊙O的半径为r，则Rt△AOB中，∵AC=5cm，∴AO=（5-r）cm，AB=3cm，OB=r，由勾股定理得：OB²=OA²+AB²，即：r²=（5-r）²+3²，解得：r=3.4cm。
答：⊙O的半径为3.4cm。
4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC，F为CD的中点，求EF的最大值。
【解析】解：由题意知∠BEC=90°，
∴点E在以BC为直径的⊙O上，如图所示：
由图可知，连接FO并延长交⊙O于点E′，
此时E′F最长，
∵CO=BC=6、FC=CD=，
∴OF===，
则E′F=OE′+OF=6+=
答：EF的最大值为。
5.如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD平分∠ACB．
（1）求AC与BD的长；
（2）求四边形ADBC的面积．
【解析】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∴AC==6（cm），
∵CD平分∠ACB，∴BD=AD=AB=5（cm）；
答：AC长6cm；BD长5cm。
（2）四边形ADBC的面积=△ABC的面积+△ADB的面积
=×6×8+×5×5=49（cm2）．
答;四边形ADBC的面积为49cm2 。
6.如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
【解析】解：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，
连接OP，如图1：
∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．
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