初中数学人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程习题

第9讲 一元一次方程的应用一

 知识点1  一元一次方程的实际问题-日历问题

1、列方程解应用题的步骤：

①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系

②设：设未知数（一般求什么，就设什么为） 

③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系

④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程

⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值

⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）

2、日历问题要清楚未知数与其左面的数、右面的数、上面的数、下面的数的数量关系

【典例】

1.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个长方形圈出2×2个位置相邻的4个数，若圈出的4个数的和为52，则最大数与最小数的积为_____

【解析】解：设最小的数为，则另三个数分别是，，依题意有

，

解得

所以最小数是9，最大数是x+8=17

∴最大数与最小数的积为9×17=153．

【方法总结】

1、明确各个数在日历中的位置关系，设较简单的数为未知数

2、依据未知数与其左面的数、右面的数、上面的数、下面的数的关系，表示其他位置的数

【随堂练习】

1．（2017秋•松滋市期末）已知一个有50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（　　）

A．114 B．122 C．220 D．84

【解答】解：设最小的一个数为x，则另外三个数为x+8，x+10，x+12，

显然x的个位数字只可能是3，5，7，框住的四个数之和为x+（x+8）+（x+10）+（x+12）=4x+30．

当4x+30=114时，x=21，不合题意；

当4x+30=122时，x=23，符合题意；

当4x+30=220时，x=47.5，不合题意；

当4x+30=84时，x=13.5，不合题意；

故选：B．

2．（2017秋•东明县期末）在如图的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，下面列出的这三个数的和①24，②35，③51，④72，其中不可能的是（　　）

A．①② B．②④ C．②③ D．②③④

【解答】解：设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14

故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21

当x=16时，3x+21=69；

当x=10时，3x+21=51；

当x=2时，3x+21=27．

当x=1时，3x+21=24．

故任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是35、72．

故选：B．

3．（2017秋•顺义区期末）在如图所示的2018年1月的月历表中，任意框出表中竖列上的三个相邻的数，这三个数的和不可能是（　　）

A．27 B．51 C．65 D．72

【解答】解：设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14

故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21

当x=17时，3x+21=72；

当x=10时，3x+21=51；

当x=2时，3x+21=27．

故任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是65．

故选：C．

知识点2 一元一次方程的实际问题-年龄问题

在年龄问题中，两个人的年龄差始终不变

【典例】

1.已知：派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，派派的年龄为______岁．

【解析】解：设今年派派的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁，

根据题意得：（36﹣x）+5=4（x+5）+1，

解得：x=4，

所以可得，派派今年4岁，妈妈今年32岁，妈妈与派派的年龄差是28岁

当妈妈40岁时，派派的年龄是40-28=12岁

故答案为：12．

【方法总结】

1、在年龄问题中，两个人的年龄差始终不变

2、看清问题：是问谁的年龄？是现在的年龄还是几年前或几年后的年龄？　

【随堂练习】

1．（2016秋•泰山区期末）小强的年龄比妈妈小33岁，今年妈妈的年龄正好是小强的4倍，小强今年的年龄是（　　）

A．10岁 B．11岁 C．12岁 D．13岁

【解答】解：设小强今年的年龄是x岁，

依题意得：33+x=4x，

解得x=11．

即小强今年的年龄是11岁．

故选：B．

2．（2017秋•中江县期末）父亲和女儿现在年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，女儿年龄是父亲现在年龄的，女儿现在年龄是_____　岁．

【解答】解：设女儿现在年龄是x岁，则父亲现在的年龄是（91﹣x）岁，

根据题意得：91﹣x﹣x=2x﹣（91﹣x），

解得：x=28．

答：女儿现在的年龄是28岁．

故答案为：28．

知识点3 一元一次方程的实际问题-行程问题

1、基本量、基本数量关系：路程=速度×时间

2、相遇问题：常用的相等关系为：甲走的路程+乙走的路程=两地距离．

3、追及问题：寻找相等关系的方法有两种情况，

（1）同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；

（2）同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程

4、航行问题：

（1）顺水速度=静水速度+水流速度

（2）逆水速度=静水速度-水流速度

5、解题技巧：要熟练画线形示意图来表示数量关系

【典例】

1.A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后相遇，再过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度．

【解析】解：设甲的速度是千米/分钟，乙的速度是千米/分钟，由题意得：

解得，

所以加的速度是千米/分钟

乙的速度=．

答：甲的速度是千米/分钟，乙的速度是千米/分钟．

【方法总结】

1、行程问题：路程=速度×时间

2、相遇问题，要画线段图来表示和分析数量关系

该题的等量关系为：甲剩余路程=乙剩余路程×2，先用总路程、相遇时间表示出俩人的速度，再将各自的速度带入所列的等量关系中。遇到需要间接表示出来的量找准突破口是关键。

2.已知甲沿周长为300米的环形跑道上按逆时针方向跑步，速度为a米/秒，与此同时在甲后面100米的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步，速度为3米/秒．设运动时间为t秒．

（1）若a=5，求甲、乙两人第1次相遇的时间；

（2）当t=50时，甲、乙两人第1次相遇，求a的值；

【解析】解：（1）当a=5时，甲的速度为5米/秒，乙的速度为3米/秒，，是甲追乙，追击路程是（300﹣100）米，速度差是（5﹣3）米/秒，所以

t=（300﹣100）÷（5﹣3）=100秒．

答：甲、乙两人第1次相遇的时间是100秒。

（2）当t=50时，甲、乙两人第1次相遇，此时米/秒，米/秒

①当，是甲追乙，追击路程是200米，速度差是（a﹣3）米/秒，可得：

50（a﹣3）=200，

解得a=7；

②当，是乙追甲，追击路程是100米，速度差是（3﹣a）米/秒，可得：

50（3﹣a）=100，

解得a=1．

答：甲、乙两人第1次相遇时，a的值是7或1；

【方法总结】

1、环形跑道问题，首先判断谁的速度快，速度快的追击速度慢的，由此确定路程差和速度差 ，即可由“相遇时间=路程差÷速度差”确定相遇时间。

2、还需注意在环形跑道上，经常出现多次相遇的问题

3.某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用3小时，若水流速度为2km/h，船在静水中的速度为8km/h．已知甲、丙两地间的距离为2km，求甲、乙两地间的距离是多少千米？（注甲、乙、丙三地在同一条直线上）

【解析】解：由题意知：，，所以，，同时对丙的位置需要分类讨论：

（1）丙在甲地和乙地之间，设甲、乙两地距离为千米，

则

解得：x=12.5．

（2）丙不在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为千米，

则

解得：x=10．

答：甲乙两地间的距离为12.5km或10km．

【方法总结】

1、解题技巧：要熟练画线形示意图来表示数量关系

2、解该题的关键是找准等量关系，即甲到乙顺流所用时间+乙到丙逆流所用时间=3

找到等量关系以后带入相关的公式

对于题中丙的位置不确定，解题时要分情况讨论乙、丙的位置与甲、乙位置的关系。

4.有两列火车，客车长200米，每秒行30米，货车长300米，每秒行20米。

（1）两车在平行轨道上齐头同向行进，多少秒后客车超过货车？

（2）如果两车相向而行，从相遇到错车而过，需要多少秒？

【解析】解：（1）由题意得：速度差=（30-20）米/秒，路程差=客车长=200米

  设经过秒后客车超过货车，列方程得：

（30-20）x=200

解得x=20

答：两车在平行轨道上齐头同向行进，20秒后客车超过货车.

（2）由题意得：速度和=（30+20）米/秒，路程和=客车长+货车长=（200+300）米

设从相遇到错车而过，需要秒，列方程得：

（30+20）y=（200+300）

解得y=10

答：如果两车相向而行，从相遇到错车而过，需要10秒.

【方法总结】

1、在解决火车过定点（或动点）、火车过桥、火车与火车相遇等问题时，需要画线形示意图来表示数量关系，正确找出“路程和（差）”和“速度和（差）”

2、火车过桥常用公式：

火车速度×时间=车长+桥长

（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；

（桥长+列车长）÷过桥时间=速度

【随堂练习】

1．（2017秋•河西区期末）有m辆客车及n个乘客，若每辆客车乘坐40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10=43m﹣1；②40m+10=43m+1；③=；④=，其中正确的是（　　）

A．①② B．②④ C．②③ D．③④

【解答】解：根据总人数列方程，应是40m+10=43m+1，①错误，②正确；

根据客车数列方程，应该为=，③正确，④错误；

所以正确的是②③．

故选：C．

2．（2017秋•卢龙县期末）A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/小时，乙车速度为80千米/小时，经过t小时两车相距50千米．则t的值是（　　）

A．2 B．2或2.25 C．2.5 D．2或2.5

【解答】解：设经过t小时两车相距50千米，根据题意，得

120t+80t=450﹣50，或120t+80t=450+50，

解得t=2，或t=2.5．

答：经过2小时或2.5小时相距50千米．

故选：D．

3．（2017秋•罗平县期末）一环形跑道长400米，小明跑步每秒行5米，爸爸骑自行车每秒15米，两人同时同地反向而行，经过____秒两人首次相遇．

【解答】解：设经过x秒两人首次相遇，

根据题意得：15x+5x=400，

解得：x=20．

答：经过20秒两人首次相遇．

故答案为：20．

4．（2017秋•中江县期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上，且BC=4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过_____秒时线段PQ的长为5厘米．

【解答】解：设运动时间为t秒．

①如果点P向左、点Q向右运动，

由题意，得：t+2t=5﹣4，

解得t=；

②点P、Q都向右运动，

由题意，得：2t﹣t=5﹣4，

解得t=1；

③点P、Q都向左运动，

由题意，得：2t﹣t=5+4，

解得t=9．

④点P向右、点Q向左运动，

由题意，得：2t﹣4+t=5，

解得t=3．

综上所述，经过或1或3秒时线段PQ的长为5厘米．

故答案为或1或3或9．

综合运用

1.小明在日历的某月上圈出五个数，呈十字框形，它们的和是55，则中间的数是？

【解析】解：设中间的数是，则其它四个数字分别是，，，．

根据题意得：x﹣1+x+1+x+x﹣7+x+7=55，

解得：x=11．

答：则中间的数是11

【难度】易 

【结束】  

2.小明今年12岁，他爷爷60岁，经过多少年以后，爷爷的年龄是小明的4倍．

【解析】解：设经过年后，爷爷的年龄是小明的4倍．

根据题意得：60+x=4（12+x）．

解之得x=4．

答：经过年后，爷爷的年龄是小明的4倍

3.列方程解应用题

甲、乙两人同时从相距25千米的A地去B地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的3倍，甲到达B地停留40分钟，然后从B地返回A地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好3小时，求两人的速度各是多少？

【解析】解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时，依题意有

解得x=5，

3x=15

答：甲的速度为15千米/小时，乙的速度为5千米/小时．

4.如图所示，两人沿着边长为90m的正方形，按A→B→C→D→A…的方向行走，甲从A点以65m/min的速度、乙从B点以75m/min的速度行走，当乙第一次追上甲时，将在正方形的那条边上？

【解析】解：设乙x分钟后追上甲，

由题意得，75x﹣65x=270，

解得：x=27，

则乙27分钟后追上甲，此时乙走了75×27=2025米

因为正方形周长为90×4=360m

所以2025÷360=5……225，

当乙从B点出发，走225米后在AD边上

即乙第一次追上甲是在AD边上．

5.一轮船航行于两个码头之间，逆水航行需10小时，顺水航行需6小时，已知该船在静水中每小时航行8千米，则两码头间的距离为多少千米．

【解析】解：设静水的速度为x千米/时，则轮船的顺水速度为（x+8）千米/时，逆水航行速度为（x﹣8）千米/时，由题意，得

6（x+8）=10（x-8），

解得：x=32，

（8+32）×6=240（千米）．

答：两码头之间的距离为240千米．

6.在一段铁路上，两列火车相向驶过，若A列火车全长180m，B列火车全长160m，两列火车的错车时间为1.7秒，已知A列车的速度比B火车每秒快5m，则A、B两车的速度分别是？

【解析】解：设B车的速度是m/s，则A车的速度是m/s，依题意有

1.7（x+x+5）=180+160，

解得x=97.5，

x+5=102.5．

答：A、B两车的速度分别是102.5m/秒、97.5m/秒．

7.一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以相同的速度前进，突然，1号队员以每小时比其他队员快10千米的速度独自行进，行进了10千米后掉转车头，速度不变往回骑，直到与其他的队员会合．从1号队员离队开始到与其他队员重新会合，经过了15分钟．

（1）其他队员的行进速度是多少？

（2）1号队员从离队开始到与队员重新会合这个过程中，经过多长时间与其他队员相距1千米？

【解析】解：（1）设其他队员的行进速度是千米/小时，1号队员的速度是（+10）千米/小时，依题意有：

解得．

故其他队员的行进速度是35千米/小时．

（2）设经过y小时长时间与其他队员相距1千米，依题意有

①35y+1=（35+10）y，

解得：；

②35y+（35+10）y=10×2﹣1，

解得：．

答：经过小时或小时长时间与其他队员相距1千米．