北师大版九年级下册1 圆练习题

第15讲 与圆有关的位置关系及计算

 知识点1 点和圆的位置关系

点与圆的位置关系共有三种：圆内，圆上，圆外。

设点到圆心的距离为d，半径为r，

当d＜r时，点在圆内；

当d=r时，点在圆上；

当d＞r时，点在圆外。

【典例】

1.在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是            

2.如图，王大伯家屋后有一块长12m、宽8m的长方形空地，他在以较长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最长不超过            

3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为            

【方法总结】

在判定点与圆的位置关系时，先要确定两在要素：

1、点与圆心的距离

2、圆的半径

然后，通过两者的大小关系来判定点与圆的位置关系。

【随堂练习】

1．（2018秋•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，为上任意一点，是的中点，则的最小值是　　

A．1 B． C．2 D．

二．填空题（共1小题）

2．（2019•恩施市二模）如图，在中，，，，点是半径为2的上一动点，点是的中点，则的最大值是　　．

三．解答题（共3小题）

3．（2018•韶关一模）如图，的平分线交的外接圆于点，交于点，的平分线交于点．

（1）求证：

（2）若，，求外接圆的半径；

（3）若，，求的长

4．（2019•武汉模拟）如图，在等腰中，，是中线，为边的中点，过，，三点的交于另一点，连接．

（1）求证：；

（2）若，，求的直径．

5．（2019•河北模拟）如图是一块含（即角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边与量角器所在圆的直径重合，其量角器最外缘的读数是从点开始（即点的读数为，现有射线绕着点从顺时针以每秒2度的速度旋转到与外接圆相切为止．在旋转过程中，射线与量角器的半圆弧交于．

（1）当射线与的外接圆相切时，求射线旋转度数是多少？

（2）当射线分别经过的外心、内心时，点处的读数分别是多少？

（3）当旋转7.5秒时，连接，求证：．

知识点2 直线和圆位置关系

直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．
(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．
(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．
【典例】

1.已知圆的半径为4，一直线上有一点与此圆的圆心距离为5，则直线与圆的位置关系为           

2.已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是           

3.如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则CE2+BE2的最大值是           

【方法总结】

　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
　　
　   一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：　

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，

（1）d＜r直线l与⊙O相交；

（2）d=r直线l与⊙O相切；
　　 （3）d＞r直线l与⊙O相离.

【随堂练习】

1．（2018•湖北）如图，在中，为直径，为弦．过延长线上一点，作于点，交于点，交于点，是的中点，连接，．

（1）判断与的位置关系，并说明理由；

（2）若，，，求的长．

2．（2018•抚顺）如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；

（2）若，，求的长．

3．（2018•天桥区二模）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、．

（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；

（2）若，，求的半径．

4．（2017•阿坝州）如图，在中，，点在上，以为半径的交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；

（2）若，，，求线段的长．

 知识点3 切线的性质及判定定理

1.切线：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点。
2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直。

3.切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
注意：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可。

4.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

5.切线长定理推论：

1、圆的外切四边形的两组对边的和相等；

如图，ABCD为圆O的外切四边形，∵AL=AP，BL=BM，CM=CN，DN=DP，故：AB+CD=AD+BC，即有以上结论。

2、外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

【典例】

1.如图，∠ABC=80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转            

2.如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为4，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2⊥CD于点P，O1O2=5．现将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转180°，则在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现          次？

3.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是             .

【方法总结】

1、在遇有圆的切线问题时，经常添加过切点的半径作为辅助线。

2、遇有圆的直径时，通常在圆周上另找一点，从这一点分别向直径的两个端点连结线段，来构造一个直角三角形。

4.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．

判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由。

5.如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM,判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由.

6.如图所示，AB为⊙O的直径，AD平分∠CAB，AC⊥CD，垂足为C．

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：∠CDA=∠AED．

【方法总结】

在证明圆的切线问题中，主要有两种题型：

1、知半径，证垂直

2、知垂直，证半径

解决切线相关问题的技巧

①注意利用切线长定理进行线段转换。

②注意利用切线长定理的推论进行角度转换。

③见切线连半径是处理切线问题的“通法”。

【随堂练习】

1．（2019•莆田模拟）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点．

（1）求证：与相切．

（2）若正方形的边长为1，求的半径．

2．（2018•秦淮区二模）如图，在中，，以为直径作，分别交、于点、，点在的延长线上，且．

（1）求证：与相切．

（2）若，求的长度．

3．（2017•泉州模拟）如图，已知点在的直径延长线上，点为上，过作，与的延长线相交于，且．

（1）求证：为的切线；

（2）若，且时，求的长．

4．（2017•益阳）如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且．

（1）求证：是的切线；

（2）若的半径为3，，求的长．

 知识点4 弧长和扇形面积

1．相关名词

弧长：在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长。

扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。

圆锥：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高；

圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。

圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线÷2；没展开时是一个曲面。

圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。

2.圆中有关计算：

（1）圆的面积公式：，周长C＝2πR．

（2）弧长：圆心角为n°、半径为R， ．

（3）扇形的面积：圆心角为n°，半径为R，弧长为l， S

（4）弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．

（5）圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．

（6）圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．

【典例】

1.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为            

【题干】如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，已知正三角形的边长为10，则该餐盘的面积是            

2.如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是            

【方法总结】

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．

需根据不同的情况作出不同的处理： 
　　①当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S△
　　②当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+S△
　　③当弓形所含弧为半圆时，S弓=S圆

【随堂练习】

1．（2018•南宁）如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为　　

A． B． C． D．

2．（2019•沙坪坝区校级模拟）如图，在菱形中，以为直径画弧分别交于点，交对角线于点，若，为的中点，则图中阴影部分的面积为　　

A． B． C． D．

3．（2019•广阳区一模）如图，以为直径的半圆经过斜边的两个端点，交直角边于点；、是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为　　

A． B． C． D．

4．（2019•乐清市模拟）如图，半径为3的扇形，，以为边作矩形交弧于点，，且点，为弧的四等分点，矩形与弧形成如图所示的三个阴影区域，其面积分别为，，，则为　　取

A． B． C． D．

二．填空题（共2小题）

5．（2019•金水区校级模拟）如图所示，扇形中，，点为中点，，交于，以为半径画交于，则图中阴影部分面积为　　．

6．（2019•厦门一模）如图，在矩形中，，以点为圆心，的长为半径的圆分别交边于点，交边的延长线于点．若，的长为，则的长　　．

三．解答题（共1小题）

7．（2019•丹阳市一模）如图，已知中，，将斜边绕点顺时针方向旋转至，使，过点作于点．

（1）求证：；

（2）若，，求弧的长．

   综合运用：与圆有关的位置关系及计算

1.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人员需要跑到离爆破点120m以外的完全区域，已知这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？

2.如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：

（1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为　　．

（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧的长．

（3）有一点E（6，0），判断点E与⊙D的位置关系．

3.如图，△ABC是等腰三角形，且AC=BC，∠ACB=120°，在AB上取一点O，使OB=OC，以O为圆心，OB为半径作圆，过C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD．

（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；

（2）已知AC=6，求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径．

4.如图，正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，BF与AC交于点P．

（1）求证：四边形ABCF是菱形；

（2）求证：AC2+BF2=4AB2；

（3）若AB=2，求△CDF的周长．

5.如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．

（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若∠E=60°，⊙O的半径为5，求AB的长．