资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩55页未读，
继续阅读
所属成套资源：初三数学北师大版下册（春季班）讲义
成套系列资料，整套一键下载
初中2 二次函数的图像与性质练习题
展开
这是一份初中2 二次函数的图像与性质练习题，文件包含北师大版初三数学上册秋季班讲义第10讲二次函数的图像与性质--提高班教师版docx、北师大版初三数学上册秋季班讲义第10讲二次函数的图像与性质--提高班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共84页， 欢迎下载使用。
第10讲 函数的图象及其性质
知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式
一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数.
其中：x的最高次数为2且a≠0。
【典例】
1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（ ）
A. y=x（x﹣3） B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2
C. y=x2+ D. y=
【答案】A.
【解析】解：A、y=x（x﹣3）=x2﹣x，是以x为自变量的二次函数，故本选项正确；
B、y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2=x2﹣4﹣x2+2x﹣1=2x﹣5，是以x为自变量的一次函数，故本选项错误；
C、分母上有自变量x，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误；
D、二次三项式是被开方数，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误．
故选：A．
2.函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是______
【答案】-1
【解析】解：依题意得：a2+1=2且a﹣1≠0，
解得a=﹣1．
3.下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D. 正方形的周长C与边长a之间的关系
【答案】C.
【解析】解：A、由题意可得：t=是反比例函数，故此选项错误；
B、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，故此选项错误；
C、S=πR2，是二次函数，正确；
D、C=4a，是正比例函数，故此选项错误．
故选：C．
【方法总结】
1.本知识点需要掌握：
（1）知道二次函数的一般表达式.
（2）会利用二次函数的概念分析解题.
2. 注意：
“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。
3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【随堂练习】
1．（2019•资中县一模）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：函数是二次函数，
，即，
故选：．
2．（2019•镇江模拟）已知函数的图象是一条抛物线，则 3 ．
【解答】解：依题意得：，
解得．
故答案是：3．
3．（2019•施甸县模拟）若函数是二次函数，则的值是 1 ．
【解答】解：根据题意可得：，
解得：，
故答案为：1
4．如果是二次函数，那么需满足的条件是 ．
【解答】解：是二次函数，
，
解得：，
需满足的条件是：，
故答案为：．
5．（2019•奉贤区一模）如果函数是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ．
【解答】解：函数为常数）是二次函数，
，解得：，
故答案为：．
知识点2二次函数图象与基本性质
1.
2.二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中
3.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
4. 二次函数的性质
（1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
【典例】
1.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_______
【答案】y=（x﹣4）2﹣25
【解析】解：y=x2﹣8x﹣9
=x2﹣8x+16﹣25
=（x﹣4）2﹣25．
2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（2，6）
C. 抛物线的对称轴是直线x=6 D. 抛物线经过点（0，10）
【答案】D.
【解析】解：∵y=（x+2）2+6=x2+4x+10，
∴a=1，该抛物线的开口向上，故选项A错误，
抛物线的顶点坐标是（﹣2，6），故选项B错误，
抛物线的对称轴是直线x=﹣2，故选项C错误，
当x=0时，y=10，故选项D正确，
故选：D．
【方法总结】
1. 把一般形式化成顶点式有利于思考
2. 顶点式令(x-h)²中x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例y=（x+2）²顶点坐标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）.
【随堂练习】
1．（2019•海州区二模）已知二次函数的图象如图所示，那么一次函数在直角坐标系中的图象大致为
A． B．
C． D．
【解答】解：由二次函数的图象可知，
，，，
一次函数，
，，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，
故选：．
2．（2019•葫芦岛）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解：由二次函数图象，得出，，，
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故正确；
故选：．
3．（2019春•日照期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是
A． B． C． D．
【解答】解：当时，函数的图象经过一、二、三象限；函数的开口向上，对称轴在轴的左侧；
当时，函数的图象经过二、三、四象限；函数的开口向上，对称轴在轴的右侧，故正确．
故选：．
4．（2019•呼和浩特）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除、；
当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、三象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除；
故选：．
5．（2019•南沙区一模）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是
A． B．
C． D．
【解答】解：、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故正确；
、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向上，顶点的纵坐标大于零，故错误；
、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向上，故错误；
、由一次函数的图象可得：，，此时抛物线的顶点的纵坐标大于零，故错误；
故选：．
6．（2019•宜宾）已知抛物线与轴交于点，与直线为任意实数）相交于，两点，则下列结论不正确的是
A．存在实数，使得为等腰三角形
B．存在实数，使得的内角中有两角分别为和
C．任意实数，使得都为直角三角形
D．存在实数，使得为等边三角形
【解答】解：、如图1，可以得为等腰三角形，正确；
、如图3，，，可以得的内角中有两角分别为和，正确；
、如图2和3，，可以得为直角三角形，正确；
、不存在实数，使得为等边三角形，不正确；
本题选择结论不正确的，
故选：．
7．（2019•南浔区二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为，直线经过点，与抛物线的对称轴交于点，点是对称轴上的一个动点，若的值最小，则点的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点作轴于，作点关于抛物线对称轴的对称点’，
连接’， ’，过点作’交抛物线对称轴于点，此时点到’ 距离最小
抛物线
，
直线
，
当、、三点共线时最小．
．
故选：．
8．（2019•蓝田县一模）开口向下的抛物线的对称轴经过点，则的值为
A． B．1 C．或2 D．
【解答】解：开口向下的抛物线的对称轴经过点，
，
解得，，
故选：．
9．（2019•老河口市模拟）已知点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，，
，
解得，
故选：．
二．解答题（共3小题）
10．（2019•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线均经过点．直线在这两条抛物线的对称轴之间（不与对称轴重合）．函数的图象记为，函数的图象记为，图象与合起来得到的图形记为．
（1）求、的值．
（2）当时，求图形上随的增大而减小时的取值范围．
（3）当时，图形上最高点的纵坐标为2，求的值．
（4）当直线与图形有2个公共点时，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线与抛物线图象与均经过点
，，
解得，；
（2），
图象与的对称轴为直线，
，图象与的对称轴为直线，
当时，图形上随的增大而减小时的取值范围是或；
（3）当时， （如图
解得，（舍去）
当时， （如图
解得，（舍去）
（4）当直线与，相交时，
，
，；
当直线与，相交时，
，，
当时，，
当时，，
，，；
11．（2019•上城区一模）已知二次函数．
（1）当时，求该二次函数图象的对称轴．
（2）当时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．
（3）当时，随着增大而增大，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，二次函数的对称轴为．
（2）由题知二次函数与轴的交点坐标为，；
，，，且二次函数的开口方向向下；
二次函数的大致图象如图①：
所以二次函数的顶象限．
（3）当时，明显不符合题意；
；
由（2）知，二次函数的对称轴为直线，
当时，随着增大而增大，
当时，，解得；
当，，解得．
的取值范围为或．
12．（2019春•思明区校级月考）点为二次函数图象的顶点，直线分别交轴正半轴，轴于点，．
（1）判断顶点是否恒在某条直线上？若是，求出该直线解析式；若不是，说明理由．
（2）若二次函数图象也经过点，，且，借助图象，求出的取值范围．
（3）点坐标为，点在内时，若点，，，都在二次函数图象上，试比较与的大小．
【解答】解：（1），
为二次函数的顶点，
，
设，，
则，
点在直线上．
（2）如图1所示，
直线交轴于点，
，
又点在抛物线上，
，解得，
二次函数解析式为，
当时，，解得，，
，
由图象得当时，的取值范围是或．
（3）如图2所示，
直线与直线交于点，与轴交于点，
，，
可得直线的解析式为，
则有
解得
，，
点在内，
，
．
当点、关于抛物线的对称轴对称时，
，解得，
二次函数的开口方向向下，顶点在直线上，
综上：①当时，，
②当时，，
③当时，．
知识点3 二次函数图象与系数之间的关系
二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a>0,向下则a<0 ｜a｜越大，开口越小；
b:对称轴位置，与a联系一起，用“左同右异”判断，b=0时，对称轴是y轴；
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c>0；负半轴上则c<0；当c=0时，抛物点过原点。
【典例】
1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，
∴x=﹣＞1，
∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
故选：C．
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0
【答案】D.
【解析】解：（A）由图象开口可知：a＜0
由对称轴可知：＞0，
∴b＞0，
∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故A正确；
（B）由图象可知：x=﹣1，y＜0，
∴y=a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故B正确；
（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2，
∴＞2，a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，故C正确；
（D）对称轴x=＜1，a＜0，
∴2a+b＜0，故D错误；
故选：D．
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0
【答案】D.
【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；
故选：D．
【方法总结】
1、抛物线与轴的交点个数与一元二次方程的有关系，
①当时，抛物线与x轴有两个交点；
① 当时，抛物线与x轴有一个交点；
③当时，抛物线与x轴没有交点..
2、抛物线对称轴的位置与有关系。对称轴与x轴的交点横坐标等于.(“”的代数式多由此得到)
3、抛物线经过的特殊点与三者的关系式有关。判断时可将特殊点的坐标带入函数关系式，(例如的图象经过(1,0)，可以得到0=)
【随堂练习】
1．（2019•丹东二模）已知抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．以下结论：
①；
②；
③是大于1的实数）；
④
其中正确结论的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
，即，所以①错误；
对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，
抛物线与轴的一个交点在和之间，
时，，
，所以②错误；
时，有最小值，
是大于1的实数），所以③正确；
时，，
即，
把代入得，所以④错误．
故选：．
2．（2019•汇川区模拟）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：
①；
②；
③；
④若点，均在抛物线上，则；
⑤；
其中正确的个数有
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以①错误；
抛物线与轴有2个交点，
△，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
，所以③正确；
点到直线的距离比点到直线的距离小，
而抛物线开口向上，
；所以④错误；
，
，所以⑤错误．
故选：．
3．（2019春•天心区校级期末）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是．下列结论中：①； ②； ③方程有两个不相等的实数根； ④； ⑤若点在该抛物线上，则，其中正确的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由图象可得，
，，，
，故①错误，
，则，故，故②正确；
抛物线与轴有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故③正确；
抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，
该抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，故④正确；
当时，该函数取得最大值，此时，
点在该抛物线上，则，故⑤正确；
故选：．
4．（2019•碑林区校级一模）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论①，②，③④中正确的有
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：因为抛物线开口向上，可知，
对称轴在轴的左侧，、同号．故，
抛物线与轴的交点在负半轴，因此，
，故①正确；
把代入得，故②正确；
因为对称轴介在与0之间，因此，得，无法判断③④一定正确，
因此①②一定正确．
故选：．
5．（2019•碑林区校级三模）二次函数，经过点，对称轴如图所示，若，，，则，，中，值小于0的数有 个．
A．2 B．1 C．0 D．3
【解答】解：（1）二次函数，经过点，
，
又抛物线与轴交在轴的正半轴，
，故；
（2）抛物线开口向下，因此，对称轴在轴左侧，的右侧，
，
，故；
（3）抛物线开口向下，因此，对称轴在轴左侧，因此、同号，
，
，因此
综上所述：，，；
故选：．
6．（2019•桐梓县模拟）如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：①：②③④若点，，，为函数图象上的两点，则，其中正确结论是
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【解答】解：（1）由图象可知：抛物线与轴有两个交点，因此，故①不正确；
（2）对称轴是直线，即，，，故③不正确；
（3）对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点
抛物线与轴的另一个交点为
把代入得：，而，
，因此②是正确的；
（4）对称轴是直线，
点，在对称轴的左侧，点，在对称轴的右侧，且点离
对称轴比点离对称轴远，根据增减性可知，因此④是正确的；
综上所述：②④是正确的，①③是不正确的，
故选：．
7．（2019•红花岗区校级二模）如图是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线，以下结论：①；②；③为任意实数，则有；④若，是抛物线上的两点，则，正确的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①由图象可知：，，
由对称轴可知：，
，
，故①正确；
②由对称轴可知：，
，
当时，，
，
，
，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线，
当时，有最小值，
为任意实数），
为任意实数），
为任意实数），
，
，故④正确；
④点离对称轴要比点离对称轴要近，
，故④正确．
故选：．
8．（2019•铅山县一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列论正确的是
A．
B．
C．
D．若，在该函数图象上，则
【解答】解：二次函数的图象过点，代入得：
，①
对称轴是，即，
，②代入①得：，即
故选：．
9．（2019•随州）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以①正确；
，
，
，
，所以②错误；
，，
，
把代入得，
，所以③错误；
，对称轴为直线，
，
是关于的一元二次方程的一个根，所以④正确；
故选：．
10．（2019•巴中）二次函数的图象如图所示，下列结论①，②，③，④．其中正确的是
A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④
【解答】解：①抛物线与轴由两个交点，
，
即，
所以①正确；
②由二次函数图象可知，
，，，
，
故②错误；
③对称轴：直线，
，
，
，，
，，
，
故③错误；
④对称轴为直线，抛物线与轴一个交点，
抛物线与轴另一个交点，
当时，，
故④正确．
故选：．
知识点4二次函数图象变换
1.图象的平移变换
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
2．二次函数图象与对称变换
二次函数关于坐标轴对称式规律：
原式
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
【典例】
1.作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线A所对应的函数表达式是__________
【答案】 y=﹣2（x﹣1）2+2
【解析】解：易得抛物线C的顶点为（﹣1，﹣1），
∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C的，
∴抛物线B的坐标为（1，﹣2），
可设抛物线B的坐标为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x﹣1）2﹣2，
易得抛物线A的二次项系数为﹣2，顶点坐标为（1，2），
∴抛物线A的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2．
2.顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为______
【答案】1
【解析】解：当x=0时，y=3，所以A的坐标是（0，3），y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，
把它绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线是y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，x=0时，y=1，所以B的坐标是（0，1），P的坐标是（1，2），△PAB的面积=×2×（3﹣2）=1．
【方法总结】
1.理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.翻折和旋转：按照顶点的变化，进行变形。
【随堂练习】
1．（2019•资阳）如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线上方的图象沿直线向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则的取值范围是
A． B． C． D．或
【解答】解：如图1所示，当等于0时，
，
顶点坐标为，
当时，，
，
当时，，
，
当时，
，
此时最大值为0，最小值为；
如图2所示，当时，
此时最小值为，最大值为1．
综上所述：，
故选：．
2．（2019•玉环市一模）把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为
A．2 B．3 C．5 D．12
【解答】解：．则其顶点坐标是，，将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到，．
故原抛物线的解析式是：．
所以，．
所以．
故选：．
3．（2019•婺城区模拟）如图所示，抛物线与、轴分别交于、、三点，连结和，将沿与坐标轴平行的方向平移，若边的中点落在抛物线上时，则符合条件的平移距离的值有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由抛物线可知，令，则，
解得，
，
令，则，
解得，或6，
，，
点的坐标为，点的坐标为，点为线段的中点，
点的坐标为．
当时，，
解得：，，
平移的距离为或，
故选：．
4．（2019•新野县三模）如图，将抛物线的图象轴上方的部分沿轴折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．则新图象与直线的交点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，中，当时，，
抛物线与轴的解得为，将抛物线图象中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，
新图象与轴的交点坐标为，
新图象与直线的交点个数是4个，
故选：．
5．（2019•金水区校级一模）如图，点，是抛物线上的两点，将抛物线向左平移，得到抛物线，点，的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线的解析式是
A． B． C． D．
【解答】解：．
曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），点，
，
，
即将函数的图象沿轴向左平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
新图象的函数表达式是．
故选：．
6．（2019•金水区校级模拟）二次函数的图象与的图象形状相同，开口方向相反，且经过点，则该二次函数的解析式为
A． B． C． D．
【解答】解：二次函数的图象与的图象形状相同，开口方向相反，
，
二次函数是，
二次函数经过点，
，
，
抛该二次函数的解析式为；
故选：．
7．（2019•西青区二模）作抛物线关于轴对称的抛物线，再将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线的函数解析式是，则抛物线所对应的函数表达式是
A． B． C． D．
【解答】解：易得抛物线的顶点为，
是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线的，
抛物线的坐标为，
可设抛物线的坐标为，代入得：，
易得抛物线的二次项系数为，顶点坐标为，
抛物线的解析式为．
故选：．
二．填空题（共2小题）
8．（2019•慈溪市模拟）把抛物线（其中是常数）向上平移，使平移后的抛物线与直线只有一个公共点，则需平移 2 个单位．
【解答】解：设抛物线（其中是常数）向上平移个单位，
．
把抛物线（其中是常数）向上平移个单位后抛物线解析式为：．
依题意得：，即，
△．
解得．
故答案是：2．
9．（2019•吴兴区一模）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后，得到新曲线．
（1）如图①已知点、在函数的图象上，若、是、旋转后的对应点，连结、，则 9 ；
（2）如图②，曲线与直线相交于点、，则 ．
【解答】解：（1）当时，，
，
当时，，
，
，
如图1所示，
直线的解析式为，
，
，
故答案为：9
（2）如图2所示，
将直线逆时针旋转，
过点作垂直，
，
，，
直线的解析式为，
，
解得，，
．
．
故答案为：．
知识点5二次函数的解析式
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
【典例】
1.将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为_____ 将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ．
【答案】y=2（x+1）2+1；y=2（x﹣1）2﹣1
【解析】解：抛物线y=﹣2（x+1）2+1的顶点坐标为（﹣1，1），由于抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则所得抛物线解析式为y=2（x+1）2+1；
抛物线y=﹣2（x+1）2+1的顶点坐标为（﹣1，1），由于抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），并且开口方向相反，则所得抛物线解析式为y=2（x﹣1）2﹣1．
故答案为y=2（x+1）2+1；y=2（x﹣1）2﹣1．
2.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为 ．
【答案】y=4x2+5x
【解析】解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
∵二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，
∴代入得：
解得：a=4，b=5，c=0，
即二次函数的解析式是y=4x2+5x，
故答案为：y=4x2+5x．
3.已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为 ．
【答案】y=x2+x﹣2
【解析】解：由于二次函数经过（﹣1，﹣2）、（0，﹣2）、（1，0），则有：
，
解得；
∴该二次函数的解析式为：y=x2+x﹣2．
故答案为：y=x2+x﹣2
【方法总结】
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
【随堂练习】
1．（2019•北京模拟）写出经过点，的一个二次函数的解析式 （答案不唯一） （写一个即可）
【解答】解：抛物线过点，，
可设此二次函数的解析式为，
把代入，得．
故答案为（答案不唯一）．
2．（2019•台安县一模）一抛物线和另一抛物线的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是，则该抛物线的解析式为 ．
【解答】解：设抛物线的解析式为，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线相同，
，
，
顶点坐标是，
，
这个函数解析式为，
故答案为：．
二．解答题（共5小题）
3．如图一，抛物线过，、三点
（1）求该抛物线的解析式；
（2），、两点均在该抛物线上，若，求点横坐标的取值范围；
（3）如图二，过点作轴的平行线交抛物线于点，该抛物线的对称轴与轴交于点，连结、，点为线段的中点，点、分别为直线和上的动点，求周长的最小值．
【解答】解：（1）抛物线过，、三点
解得：，，；
抛物线的解析式为：．
（2）抛物线的对称轴为，抛物线上与相对称的点
，在该抛物线上，，根据抛物线的增减性得：
或
答：点横坐标的取值范围：或．
（3），，，
，，，
是的中点，
，
当点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，直线与、交点为、，此时的周长最小，周长为的长，由对称可得到：，，即点，
，
即：的周长最小值为3，
4．（2019•安阳二模）如图，直线与轴，轴分别交于点，，点在轴负半轴上，且，抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是第一象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，过点作，垂足为，用含的代数式表示线段的长，并求出线段的最大值．
【解答】解：（1）由，当时，；当时，，
，，
，
，
，
把，代入抛物线中，得
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）点在二次函数图象上且横坐标为，
，
过作轴，交于，则，
，
于点，
在中，，
，
轴，
，
，
，，
当时，最大，最大值为．
5．（2019•滨海新区二模）在平面直角坐标系中，为原点，抛物线经过点，，对称轴为直线，点关于直线的对称点为点．过点作直线轴，交轴于点．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；
（Ⅱ）点在轴上，当的值最小时，求点的坐标；
（Ⅲ）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）经过点，，
，解得，
抛物线的解析式为，
，
抛物线的对称轴为直线，
（Ⅱ）点，对称轴为，
点关于对称轴的对称点点坐标为，，
作点关于轴的对称点，得，，
设直线的解析式为，
把点，，点，代入得，
解得，
直线的解析式为，
直线与轴的交点即为点．
令得，
点坐标为．
（Ⅲ），，轴，
，，
，
又，
，
设点坐标为，
作，交延长线于点，
，
．，
化简整理得，
解得，，
点坐标为，或，，
抛物线上存在点，使得．
6．（2019•瓯海区二模）已知抛物线的对称轴为，且过点，．
（1）求抛物线的表达式．
（2）已知点和点在此抛物线上，其中，请判断关于的方程是否有实数根，并说明理由．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为，且过点，
解得，，
抛物线；
（2）点，在此抛物线上，
，是关于直线的对称点，
即
此方程有两个不相等的实数根．
7．（2019•芜湖二模）如图，抛物线经过点和点．
（1）求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线落在第一象限，连接，，求的面积的最大值及此时点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线经过点和点，
，解得，
抛物线的函数表达式是；
设直线，
根据题意得，解得，
直线的函数表达式是；
（2）如图，过点作于，交直线于，设点横坐标为，则点的坐标为，点的坐标是，
又点，在第一象限，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
此时点坐标为，．
知识点6二次函数的最值
1. 一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当时，二次函数有最小（大）值；
2. 当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定；
【典例】
1.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为________
【答案】3+或1﹣
【解析】解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最大值﹣5，
可得：﹣（1﹣h）2+1=﹣5，
解得：h=1﹣或h=1+（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最大值﹣5，
可得：﹣（3﹣h）2+1=﹣5，
解得：h=3+或h=3﹣（舍）．
综上，h的值为1﹣或3+，
2.已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为_______
【答案】1或﹣3
【解析】解：∵y=x2+2x+m2+2m﹣1=（x+1）2+m2+2m﹣2，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
根据题意，当x=1时，有m2+2m+2=5，
解得：m=1或m=﹣3，
【方法总结】
a＞0，离对称轴越远值越大
a＜0，离对称轴越远值越小
点与对称轴距离
【随堂练习】
1．（2019•怀柔区二模）在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是
A． B． C． D．
【解答】解：由图象可知：
抛物线的顶点为，与轴的交点为，根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为，与轴的一个交点为，根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为，与轴的交点为，根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为，与轴的交点为且，根据待定系数法求得；
综上，二次项系数绝对值最小的是
故选：．
2．（2019•拱墅区二模）二次函数的图象经过坐标原点和点，直线交轴于点，动点在直线上，且，过点作轴的垂线交抛物线于点，则的最值情况是
A．有最小值9 B．有最大值9 C．有最小值8 D．有最大值8
【解答】解：二次函数的图象经过坐标原点和点，
，解得，
二次函数为，
，，
直线为：，
设，则，
，
范围内，有最大值9，
故选：．
3．（2019•邯郸模拟）对于题目“二次函数，当时，的最小值是1，求的值．”甲的结果是，乙的结果是，则
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【解答】解：二次函数的对称轴为直线，
①时，即，的最小值是当时的函数值，
此时，
因为方程无解，故值不存在；
②当时，即时，二次函数有最小值1，
此时，，
③当时，即，的最小值是当时的函数值，
此时，，
解得，
所以甲、乙的结果合在一起也不正确，
故选：．
4．（2019•玉州区一模）已知二次函数为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为0，则的值为
A．和6 B．2和6 C．和3 D．2和3
【解答】解：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
①若，时，取得最大值0，
可得：，
解得：或（舍；
②若，当时，取得最大值0，
可得：，
解得：或（舍．
综上，的值为或6，
故选：．
5．（2019•下城区一模）已知二次函数，其中，为常数．下列说法正确的是
A．若，，则二次函数的最大值小于0
B．若，，则二次函数的最大值大于0
C．若，，则二次函数的最大值小于0
D．若，，则二次函数的最大值大于0
【解答】解，
当时，函数最大值为，
则当，时，则二次函数的最大值大于0．
故选：．
6．（2019•江北区一模）已知点，在抛物线的图象上，且，则线段长的最大值、最小值分别是
A．，2 B．， C．，2 D．，
【解答】解：点，在抛物线的图象上
，
与是二次函数的关系，由抛物线性质可知：
当时，取得最小值，，
当时，取得最大值，，
故选：．
7．（2019•河北模拟）对于题目“当时，二次函数有最大值4，求实数的值．”：甲的结果是2或，乙的结果是或，则
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【解答】解：二次函数的对称轴为直线，
①时，时二次函数有最大值，
此时，
解得，与矛盾，故值不存在；
②当时，时，二次函数有最大值，
此时，，
解得，（舍去）；
③当时，时二次函数有最大值，
此时，，
解得，
综上所述，的值为2或．
所以甲、乙的结果合在一起也不正确，
故选：．
8．（2019春•江都区校级月考）已知二次函数为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为4，则的值为
A．2 B．2或 C．2或 D．2或或
【解答】解：二次函数为常数）的对称轴为，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
①若，时，函数值的最小值为4，
可得：，
解得：（舍去）；；
②若，时，函数值的最小值为4，
可得：，
解得：；
的值为2或．
故选：．
9．（2019•白水县一模）若二次函数的最高点在轴上，则的值为
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：二次函数的最高点在轴上，
△，即，
解得：，，
当时，，此时图象有最低点，不合题意舍去，
则的值为：．
故选：．
10．（2018秋•和平区期末）当时，函数的最小值为4，则的值为
A． B．4 C．4或3 D．或3
【解答】解：当时，有，
解得：，．
当时，函数有最小值4，
或，
或，
故选：．
综合运用: 函数的图象及其性质
1.写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式 （写一个即可）
【答案】y=x2+2x
【解析】解：∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），
∴可设此二次函数的解析式为y=ax（x+2），
把a=1代入，得y=x2+2x．
故答案为y=x2+2x（答案不唯一）．
2.已知反比例函数y=的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y=ax2+bx+有最 值，这个值是 ．
【答案】大, 1
【解析】解：根据反比例函数y=的图象经过点P（2，2），
得k=2×2=4；
根据函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，得到a=﹣1；
根据经过反比例函数图象上一点Q（1，m），
首先得到m=4，再进一步得到b=5，则二次函数的解析式是y=﹣x2+5x﹣．
根据顶点公式求得它的顶点坐标是（，1），
因为a＜0，
所以它有最大值是1．
3.将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为 ；若将原抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为 ．
【答案】y=x2；y=﹣x2﹣1
【解析】解：将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为y=x2+1﹣1=x2；
∵原抛物线的顶点坐标为（0，1）
∴将原抛物线绕原点O旋转180°后顶点是（0，﹣1），而a=﹣1，
∴旋转后的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣1．
故答案为y=x2；y=﹣x2﹣1．
4.已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【解析】解：（1）把（0，5）代入y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2得m+2=5，
解得m=3
所以二次函数解析式为y=x2+6x+5；
（2）因为y=x2+6x+5=（x+3）2﹣4，
所以此二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴为直线x=﹣3．
5.已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3
（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；
（3）当x为何值时，函数值y＜0．
【解析】解：（1）y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣3﹣1=（x﹣1）2﹣4；
（2）函数的图象如图所示：
（3）当y＜0时，函数图象上的点都在x轴的下方，
此时﹣1＜x＜3．
6.如图是y=a（x+m）2的图象
（1）求二次函数的解析式；
（2）把抛物线y=﹣x2经过怎样的平移才能得到此抛物线；
（3）请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴及函数具有的性质；
（4）将（1）中所求的抛物线绕顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．
【解析】解：（1）由图象可知，顶点坐标为（2，0），所以可设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2，
将（0，﹣1）代入，得﹣1=4a，
解得a=﹣，
所以二次函数的解析式为y=﹣（x﹣2）2；
（2）将抛物线y=﹣x2向右平移2个单位长度即可得到抛物线y=﹣（x﹣2）2；
（3）∵y=﹣（x﹣2）2，
∴顶点坐标为（2，0），对称轴为x=2，
抛物线开口向下，当x=2时有最大值0，
当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小；
（4）将（1）中所求抛物线绕顶点旋转180°，旋转后的抛物线的解析式为y=（x﹣2）2．
第10讲 函数的图象及其性质
知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式
一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数.
其中：x的最高次数为2且a≠0。
【典例】
1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（ ）
A. y=x（x﹣3） B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2
C. y=x2+ D. y=
【答案】A.
【解析】解：A、y=x（x﹣3）=x2﹣x，是以x为自变量的二次函数，故本选项正确；
B、y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2=x2﹣4﹣x2+2x﹣1=2x﹣5，是以x为自变量的一次函数，故本选项错误；
C、分母上有自变量x，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误；
D、二次三项式是被开方数，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误．
故选：A．
2.函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是______
【答案】-1
【解析】解：依题意得：a2+1=2且a﹣1≠0，
解得a=﹣1．
3.下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D. 正方形的周长C与边长a之间的关系
【答案】C.
【解析】解：A、由题意可得：t=是反比例函数，故此选项错误；
B、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，故此选项错误；
C、S=πR2，是二次函数，正确；
D、C=4a，是正比例函数，故此选项错误．
故选：C．
【方法总结】
1.本知识点需要掌握：
（1）知道二次函数的一般表达式.
（2）会利用二次函数的概念分析解题.
2. 注意：
“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。
3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【随堂练习】
1．（2019•资中县一模）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：函数是二次函数，
，即，
故选：．
2．（2019•镇江模拟）已知函数的图象是一条抛物线，则 3 ．
【解答】解：依题意得：，
解得．
故答案是：3．
3．（2019•施甸县模拟）若函数是二次函数，则的值是 1 ．
【解答】解：根据题意可得：，
解得：，
故答案为：1
4．如果是二次函数，那么需满足的条件是 ．
【解答】解：是二次函数，
，
解得：，
需满足的条件是：，
故答案为：．
5．（2019•奉贤区一模）如果函数是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ．
【解答】解：函数为常数）是二次函数，
，解得：，
故答案为：．
知识点2二次函数图象与基本性质
1.
2.二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中
3.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
4. 二次函数的性质
（1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
【典例】
1.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_______
【答案】y=（x﹣4）2﹣25
【解析】解：y=x2﹣8x﹣9
=x2﹣8x+16﹣25
=（x﹣4）2﹣25．
2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（2，6）
C. 抛物线的对称轴是直线x=6 D. 抛物线经过点（0，10）
【答案】D.
【解析】解：∵y=（x+2）2+6=x2+4x+10，
∴a=1，该抛物线的开口向上，故选项A错误，
抛物线的顶点坐标是（﹣2，6），故选项B错误，
抛物线的对称轴是直线x=﹣2，故选项C错误，
当x=0时，y=10，故选项D正确，
故选：D．
【方法总结】
1. 把一般形式化成顶点式有利于思考
2. 顶点式令(x-h)²中x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例y=（x+2）²顶点坐标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）.
【随堂练习】
1．（2019•海州区二模）已知二次函数的图象如图所示，那么一次函数在直角坐标系中的图象大致为
A． B．
C． D．
【解答】解：由二次函数的图象可知，
，，，
一次函数，
，，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，
故选：．
2．（2019•葫芦岛）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解：由二次函数图象，得出，，，
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故正确；
故选：．
3．（2019春•日照期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是
A． B． C． D．
【解答】解：当时，函数的图象经过一、二、三象限；函数的开口向上，对称轴在轴的左侧；
当时，函数的图象经过二、三、四象限；函数的开口向上，对称轴在轴的右侧，故正确．
故选：．
4．（2019•呼和浩特）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除、；
当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、三象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除；
故选：．
5．（2019•南沙区一模）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是
A． B．
C． D．
【解答】解：、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故正确；
、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向上，顶点的纵坐标大于零，故错误；
、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向上，故错误；
、由一次函数的图象可得：，，此时抛物线的顶点的纵坐标大于零，故错误；
故选：．
6．（2019•宜宾）已知抛物线与轴交于点，与直线为任意实数）相交于，两点，则下列结论不正确的是
A．存在实数，使得为等腰三角形
B．存在实数，使得的内角中有两角分别为和
C．任意实数，使得都为直角三角形
D．存在实数，使得为等边三角形
【解答】解：、如图1，可以得为等腰三角形，正确；
、如图3，，，可以得的内角中有两角分别为和，正确；
、如图2和3，，可以得为直角三角形，正确；
、不存在实数，使得为等边三角形，不正确；
本题选择结论不正确的，
故选：．
7．（2019•南浔区二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为，直线经过点，与抛物线的对称轴交于点，点是对称轴上的一个动点，若的值最小，则点的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点作轴于，作点关于抛物线对称轴的对称点’，
连接’， ’，过点作’交抛物线对称轴于点，此时点到’ 距离最小
抛物线
，
直线
，
当、、三点共线时最小．
．
故选：．
8．（2019•蓝田县一模）开口向下的抛物线的对称轴经过点，则的值为
A． B．1 C．或2 D．
【解答】解：开口向下的抛物线的对称轴经过点，
，
解得，，
故选：．
9．（2019•老河口市模拟）已知点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，，
，
解得，
故选：．
二．解答题（共3小题）
10．（2019•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线均经过点．直线在这两条抛物线的对称轴之间（不与对称轴重合）．函数的图象记为，函数的图象记为，图象与合起来得到的图形记为．
（1）求、的值．
（2）当时，求图形上随的增大而减小时的取值范围．
（3）当时，图形上最高点的纵坐标为2，求的值．
（4）当直线与图形有2个公共点时，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线与抛物线图象与均经过点
，，
解得，；
（2），
图象与的对称轴为直线，
，图象与的对称轴为直线，
当时，图形上随的增大而减小时的取值范围是或；
（3）当时， （如图
解得，（舍去）
当时， （如图
解得，（舍去）
（4）当直线与，相交时，
，
，；
当直线与，相交时，
，，
当时，，
当时，，
，，；
11．（2019•上城区一模）已知二次函数．
（1）当时，求该二次函数图象的对称轴．
（2）当时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．
（3）当时，随着增大而增大，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，二次函数的对称轴为．
（2）由题知二次函数与轴的交点坐标为，；
，，，且二次函数的开口方向向下；
二次函数的大致图象如图①：
所以二次函数的顶象限．
（3）当时，明显不符合题意；
；
由（2）知，二次函数的对称轴为直线，
当时，随着增大而增大，
当时，，解得；
当，，解得．
的取值范围为或．
12．（2019春•思明区校级月考）点为二次函数图象的顶点，直线分别交轴正半轴，轴于点，．
（1）判断顶点是否恒在某条直线上？若是，求出该直线解析式；若不是，说明理由．
（2）若二次函数图象也经过点，，且，借助图象，求出的取值范围．
（3）点坐标为，点在内时，若点，，，都在二次函数图象上，试比较与的大小．
【解答】解：（1），
为二次函数的顶点，
，
设，，
则，
点在直线上．
（2）如图1所示，
直线交轴于点，
，
又点在抛物线上，
，解得，
二次函数解析式为，
当时，，解得，，
，
由图象得当时，的取值范围是或．
（3）如图2所示，
直线与直线交于点，与轴交于点，
，，
可得直线的解析式为，
则有
解得
，，
点在内，
，
．
当点、关于抛物线的对称轴对称时，
，解得，
二次函数的开口方向向下，顶点在直线上，
综上：①当时，，
②当时，，
③当时，．
知识点3 二次函数图象与系数之间的关系
二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a>0,向下则a<0 ｜a｜越大，开口越小；
b:对称轴位置，与a联系一起，用“左同右异”判断，b=0时，对称轴是y轴；
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c>0；负半轴上则c<0；当c=0时，抛物点过原点。
【典例】
1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，
∴x=﹣＞1，
∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
故选：C．
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0
【答案】D.
【解析】解：（A）由图象开口可知：a＜0
由对称轴可知：＞0，
∴b＞0，
∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故A正确；
（B）由图象可知：x=﹣1，y＜0，
∴y=a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故B正确；
（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2，
∴＞2，a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，故C正确；
（D）对称轴x=＜1，a＜0，
∴2a+b＜0，故D错误；
故选：D．
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0
【答案】D.
【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；
故选：D．
【方法总结】
1、抛物线与轴的交点个数与一元二次方程的有关系，
①当时，抛物线与x轴有两个交点；
① 当时，抛物线与x轴有一个交点；
③当时，抛物线与x轴没有交点..
2、抛物线对称轴的位置与有关系。对称轴与x轴的交点横坐标等于.(“”的代数式多由此得到)
3、抛物线经过的特殊点与三者的关系式有关。判断时可将特殊点的坐标带入函数关系式，(例如的图象经过(1,0)，可以得到0=)
【随堂练习】
1．（2019•丹东二模）已知抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．以下结论：
①；
②；
③是大于1的实数）；
④
其中正确结论的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
，即，所以①错误；
对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，
抛物线与轴的一个交点在和之间，
时，，
，所以②错误；
时，有最小值，
是大于1的实数），所以③正确；
时，，
即，
把代入得，所以④错误．
故选：．
2．（2019•汇川区模拟）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：
①；
②；
③；
④若点，均在抛物线上，则；
⑤；
其中正确的个数有
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以①错误；
抛物线与轴有2个交点，
△，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
，所以③正确；
点到直线的距离比点到直线的距离小，
而抛物线开口向上，
；所以④错误；
，
，所以⑤错误．
故选：．
3．（2019春•天心区校级期末）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是．下列结论中：①； ②； ③方程有两个不相等的实数根； ④； ⑤若点在该抛物线上，则，其中正确的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由图象可得，
，，，
，故①错误，
，则，故，故②正确；
抛物线与轴有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故③正确；
抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，
该抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，故④正确；
当时，该函数取得最大值，此时，
点在该抛物线上，则，故⑤正确；
故选：．
4．（2019•碑林区校级一模）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论①，②，③④中正确的有
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：因为抛物线开口向上，可知，
对称轴在轴的左侧，、同号．故，
抛物线与轴的交点在负半轴，因此，
，故①正确；
把代入得，故②正确；
因为对称轴介在与0之间，因此，得，无法判断③④一定正确，
因此①②一定正确．
故选：．
5．（2019•碑林区校级三模）二次函数，经过点，对称轴如图所示，若，，，则，，中，值小于0的数有 个．
A．2 B．1 C．0 D．3
【解答】解：（1）二次函数，经过点，
，
又抛物线与轴交在轴的正半轴，
，故；
（2）抛物线开口向下，因此，对称轴在轴左侧，的右侧，
，
，故；
（3）抛物线开口向下，因此，对称轴在轴左侧，因此、同号，
，
，因此
综上所述：，，；
故选：．
6．（2019•桐梓县模拟）如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：①：②③④若点，，，为函数图象上的两点，则，其中正确结论是
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【解答】解：（1）由图象可知：抛物线与轴有两个交点，因此，故①不正确；
（2）对称轴是直线，即，，，故③不正确；
（3）对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点
抛物线与轴的另一个交点为
把代入得：，而，
，因此②是正确的；
（4）对称轴是直线，
点，在对称轴的左侧，点，在对称轴的右侧，且点离
对称轴比点离对称轴远，根据增减性可知，因此④是正确的；
综上所述：②④是正确的，①③是不正确的，
故选：．
7．（2019•红花岗区校级二模）如图是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线，以下结论：①；②；③为任意实数，则有；④若，是抛物线上的两点，则，正确的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①由图象可知：，，
由对称轴可知：，
，
，故①正确；
②由对称轴可知：，
，
当时，，
，
，
，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线，
当时，有最小值，
为任意实数），
为任意实数），
为任意实数），
，
，故④正确；
④点离对称轴要比点离对称轴要近，
，故④正确．
故选：．
8．（2019•铅山县一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列论正确的是
A．
B．
C．
D．若，在该函数图象上，则
【解答】解：二次函数的图象过点，代入得：
，①
对称轴是，即，
，②代入①得：，即
故选：．
9．（2019•随州）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以①正确；
，
，
，
，所以②错误；
，，
，
把代入得，
，所以③错误；
，对称轴为直线，
，
是关于的一元二次方程的一个根，所以④正确；
故选：．
10．（2019•巴中）二次函数的图象如图所示，下列结论①，②，③，④．其中正确的是
A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④
【解答】解：①抛物线与轴由两个交点，
，
即，
所以①正确；
②由二次函数图象可知，
，，，
，
故②错误；
③对称轴：直线，
，
，
，，
，，
，
故③错误；
④对称轴为直线，抛物线与轴一个交点，
抛物线与轴另一个交点，
当时，，
故④正确．
故选：．
知识点4二次函数图象变换
1.图象的平移变换
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
2．二次函数图象与对称变换
二次函数关于坐标轴对称式规律：
原式
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
【典例】
1.作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线A所对应的函数表达式是__________
【答案】 y=﹣2（x﹣1）2+2
【解析】解：易得抛物线C的顶点为（﹣1，﹣1），
∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C的，
∴抛物线B的坐标为（1，﹣2），
可设抛物线B的坐标为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x﹣1）2﹣2，
易得抛物线A的二次项系数为﹣2，顶点坐标为（1，2），
∴抛物线A的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2．
2.顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为______
【答案】1
【解析】解：当x=0时，y=3，所以A的坐标是（0，3），y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，
把它绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线是y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，x=0时，y=1，所以B的坐标是（0，1），P的坐标是（1，2），△PAB的面积=×2×（3﹣2）=1．
【方法总结】
1.理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.翻折和旋转：按照顶点的变化，进行变形。
【随堂练习】
1．（2019•资阳）如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线上方的图象沿直线向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则的取值范围是
A． B． C． D．或
【解答】解：如图1所示，当等于0时，
，
顶点坐标为，
当时，，
，
当时，，
，
当时，
，
此时最大值为0，最小值为；
如图2所示，当时，
此时最小值为，最大值为1．
综上所述：，
故选：．
2．（2019•玉环市一模）把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为
A．2 B．3 C．5 D．12
【解答】解：．则其顶点坐标是，，将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到，．
故原抛物线的解析式是：．
所以，．
所以．
故选：．
3．（2019•婺城区模拟）如图所示，抛物线与、轴分别交于、、三点，连结和，将沿与坐标轴平行的方向平移，若边的中点落在抛物线上时，则符合条件的平移距离的值有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由抛物线可知，令，则，
解得，
，
令，则，
解得，或6，
，，
点的坐标为，点的坐标为，点为线段的中点，
点的坐标为．
当时，，
解得：，，
平移的距离为或，
故选：．
4．（2019•新野县三模）如图，将抛物线的图象轴上方的部分沿轴折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．则新图象与直线的交点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，中，当时，，
抛物线与轴的解得为，将抛物线图象中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，
新图象与轴的交点坐标为，
新图象与直线的交点个数是4个，
故选：．
5．（2019•金水区校级一模）如图，点，是抛物线上的两点，将抛物线向左平移，得到抛物线，点，的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线的解析式是
A． B． C． D．
【解答】解：．
曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），点，
，
，
即将函数的图象沿轴向左平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
新图象的函数表达式是．
故选：．
6．（2019•金水区校级模拟）二次函数的图象与的图象形状相同，开口方向相反，且经过点，则该二次函数的解析式为
A． B． C． D．
【解答】解：二次函数的图象与的图象形状相同，开口方向相反，
，
二次函数是，
二次函数经过点，
，
，
抛该二次函数的解析式为；
故选：．
7．（2019•西青区二模）作抛物线关于轴对称的抛物线，再将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线的函数解析式是，则抛物线所对应的函数表达式是
A． B． C． D．
【解答】解：易得抛物线的顶点为，
是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线的，
抛物线的坐标为，
可设抛物线的坐标为，代入得：，
易得抛物线的二次项系数为，顶点坐标为，
抛物线的解析式为．
故选：．
二．填空题（共2小题）
8．（2019•慈溪市模拟）把抛物线（其中是常数）向上平移，使平移后的抛物线与直线只有一个公共点，则需平移 2 个单位．
【解答】解：设抛物线（其中是常数）向上平移个单位，
．
把抛物线（其中是常数）向上平移个单位后抛物线解析式为：．
依题意得：，即，
△．
解得．
故答案是：2．
9．（2019•吴兴区一模）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后，得到新曲线．
（1）如图①已知点、在函数的图象上，若、是、旋转后的对应点，连结、，则 9 ；
（2）如图②，曲线与直线相交于点、，则 ．
【解答】解：（1）当时，，
，
当时，，
，
，
如图1所示，
直线的解析式为，
，
，
故答案为：9
（2）如图2所示，
将直线逆时针旋转，
过点作垂直，
，
，，
直线的解析式为，
，
解得，，
．
．
故答案为：．
知识点5二次函数的解析式
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
【典例】
1.将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为_____ 将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ．
【答案】y=2（x+1）2+1；y=2（x﹣1）2﹣1
【解析】解：抛物线y=﹣2（x+1）2+1的顶点坐标为（﹣1，1），由于抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则所得抛物线解析式为y=2（x+1）2+1；
抛物线y=﹣2（x+1）2+1的顶点坐标为（﹣1，1），由于抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），并且开口方向相反，则所得抛物线解析式为y=2（x﹣1）2﹣1．
故答案为y=2（x+1）2+1；y=2（x﹣1）2﹣1．
2.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为 ．
【答案】y=4x2+5x
【解析】解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
∵二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，
∴代入得：
解得：a=4，b=5，c=0，
即二次函数的解析式是y=4x2+5x，
故答案为：y=4x2+5x．
3.已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为 ．
【答案】y=x2+x﹣2
【解析】解：由于二次函数经过（﹣1，﹣2）、（0，﹣2）、（1，0），则有：
，
解得；
∴该二次函数的解析式为：y=x2+x﹣2．
故答案为：y=x2+x﹣2
【方法总结】
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
【随堂练习】
1．（2019•北京模拟）写出经过点，的一个二次函数的解析式 （答案不唯一） （写一个即可）
【解答】解：抛物线过点，，
可设此二次函数的解析式为，
把代入，得．
故答案为（答案不唯一）．
2．（2019•台安县一模）一抛物线和另一抛物线的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是，则该抛物线的解析式为 ．
【解答】解：设抛物线的解析式为，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线相同，
，
，
顶点坐标是，
，
这个函数解析式为，
故答案为：．
二．解答题（共5小题）
3．如图一，抛物线过，、三点
（1）求该抛物线的解析式；
（2），、两点均在该抛物线上，若，求点横坐标的取值范围；
（3）如图二，过点作轴的平行线交抛物线于点，该抛物线的对称轴与轴交于点，连结、，点为线段的中点，点、分别为直线和上的动点，求周长的最小值．
【解答】解：（1）抛物线过，、三点
解得：，，；
抛物线的解析式为：．
（2）抛物线的对称轴为，抛物线上与相对称的点
，在该抛物线上，，根据抛物线的增减性得：
或
答：点横坐标的取值范围：或．
（3），，，
，，，
是的中点，
，
当点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，直线与、交点为、，此时的周长最小，周长为的长，由对称可得到：，，即点，
，
即：的周长最小值为3，
4．（2019•安阳二模）如图，直线与轴，轴分别交于点，，点在轴负半轴上，且，抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是第一象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，过点作，垂足为，用含的代数式表示线段的长，并求出线段的最大值．
【解答】解：（1）由，当时，；当时，，
，，
，
，
，
把，代入抛物线中，得
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）点在二次函数图象上且横坐标为，
，
过作轴，交于，则，
，
于点，
在中，，
，
轴，
，
，
，，
当时，最大，最大值为．
5．（2019•滨海新区二模）在平面直角坐标系中，为原点，抛物线经过点，，对称轴为直线，点关于直线的对称点为点．过点作直线轴，交轴于点．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；
（Ⅱ）点在轴上，当的值最小时，求点的坐标；
（Ⅲ）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）经过点，，
，解得，
抛物线的解析式为，
，
抛物线的对称轴为直线，
（Ⅱ）点，对称轴为，
点关于对称轴的对称点点坐标为，，
作点关于轴的对称点，得，，
设直线的解析式为，
把点，，点，代入得，
解得，
直线的解析式为，
直线与轴的交点即为点．
令得，
点坐标为．
（Ⅲ），，轴，
，，
，
又，
，
设点坐标为，
作，交延长线于点，
，
．，
化简整理得，
解得，，
点坐标为，或，，
抛物线上存在点，使得．
6．（2019•瓯海区二模）已知抛物线的对称轴为，且过点，．
（1）求抛物线的表达式．
（2）已知点和点在此抛物线上，其中，请判断关于的方程是否有实数根，并说明理由．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为，且过点，
解得，，
抛物线；
（2）点，在此抛物线上，
，是关于直线的对称点，
即
此方程有两个不相等的实数根．
7．（2019•芜湖二模）如图，抛物线经过点和点．
（1）求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线落在第一象限，连接，，求的面积的最大值及此时点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线经过点和点，
，解得，
抛物线的函数表达式是；
设直线，
根据题意得，解得，
直线的函数表达式是；
（2）如图，过点作于，交直线于，设点横坐标为，则点的坐标为，点的坐标是，
又点，在第一象限，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
此时点坐标为，．
知识点6二次函数的最值
1. 一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当时，二次函数有最小（大）值；
2. 当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定；
【典例】
1.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为________
【答案】3+或1﹣
【解析】解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最大值﹣5，
可得：﹣（1﹣h）2+1=﹣5，
解得：h=1﹣或h=1+（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最大值﹣5，
可得：﹣（3﹣h）2+1=﹣5，
解得：h=3+或h=3﹣（舍）．
综上，h的值为1﹣或3+，
2.已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为_______
【答案】1或﹣3
【解析】解：∵y=x2+2x+m2+2m﹣1=（x+1）2+m2+2m﹣2，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
根据题意，当x=1时，有m2+2m+2=5，
解得：m=1或m=﹣3，
【方法总结】
a＞0，离对称轴越远值越大
a＜0，离对称轴越远值越小
点与对称轴距离
【随堂练习】
1．（2019•怀柔区二模）在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是
A． B． C． D．
【解答】解：由图象可知：
抛物线的顶点为，与轴的交点为，根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为，与轴的一个交点为，根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为，与轴的交点为，根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为，与轴的交点为且，根据待定系数法求得；
综上，二次项系数绝对值最小的是
故选：．
2．（2019•拱墅区二模）二次函数的图象经过坐标原点和点，直线交轴于点，动点在直线上，且，过点作轴的垂线交抛物线于点，则的最值情况是
A．有最小值9 B．有最大值9 C．有最小值8 D．有最大值8
【解答】解：二次函数的图象经过坐标原点和点，
，解得，
二次函数为，
，，
直线为：，
设，则，
，
范围内，有最大值9，
故选：．
3．（2019•邯郸模拟）对于题目“二次函数，当时，的最小值是1，求的值．”甲的结果是，乙的结果是，则
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【解答】解：二次函数的对称轴为直线，
①时，即，的最小值是当时的函数值，
此时，
因为方程无解，故值不存在；
②当时，即时，二次函数有最小值1，
此时，，
③当时，即，的最小值是当时的函数值，
此时，，
解得，
所以甲、乙的结果合在一起也不正确，
故选：．
4．（2019•玉州区一模）已知二次函数为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为0，则的值为
A．和6 B．2和6 C．和3 D．2和3
【解答】解：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
①若，时，取得最大值0，
可得：，
解得：或（舍；
②若，当时，取得最大值0，
可得：，
解得：或（舍．
综上，的值为或6，
故选：．
5．（2019•下城区一模）已知二次函数，其中，为常数．下列说法正确的是
A．若，，则二次函数的最大值小于0
B．若，，则二次函数的最大值大于0
C．若，，则二次函数的最大值小于0
D．若，，则二次函数的最大值大于0
【解答】解，
当时，函数最大值为，
则当，时，则二次函数的最大值大于0．
故选：．
6．（2019•江北区一模）已知点，在抛物线的图象上，且，则线段长的最大值、最小值分别是
A．，2 B．， C．，2 D．，
【解答】解：点，在抛物线的图象上
，
与是二次函数的关系，由抛物线性质可知：
当时，取得最小值，，
当时，取得最大值，，
故选：．
7．（2019•河北模拟）对于题目“当时，二次函数有最大值4，求实数的值．”：甲的结果是2或，乙的结果是或，则
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【解答】解：二次函数的对称轴为直线，
①时，时二次函数有最大值，
此时，
解得，与矛盾，故值不存在；
②当时，时，二次函数有最大值，
此时，，
解得，（舍去）；
③当时，时二次函数有最大值，
此时，，
解得，
综上所述，的值为2或．
所以甲、乙的结果合在一起也不正确，
故选：．
8．（2019春•江都区校级月考）已知二次函数为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为4，则的值为
A．2 B．2或 C．2或 D．2或或
【解答】解：二次函数为常数）的对称轴为，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
①若，时，函数值的最小值为4，
可得：，
解得：（舍去）；；
②若，时，函数值的最小值为4，
可得：，
解得：；
的值为2或．
故选：．
9．（2019•白水县一模）若二次函数的最高点在轴上，则的值为
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：二次函数的最高点在轴上，
△，即，
解得：，，
当时，，此时图象有最低点，不合题意舍去，
则的值为：．
故选：．
10．（2018秋•和平区期末）当时，函数的最小值为4，则的值为
A． B．4 C．4或3 D．或3
【解答】解：当时，有，
解得：，．
当时，函数有最小值4，
或，
或，
故选：．
综合运用: 函数的图象及其性质
1.写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式 （写一个即可）
【答案】y=x2+2x
【解析】解：∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），
∴可设此二次函数的解析式为y=ax（x+2），
把a=1代入，得y=x2+2x．
故答案为y=x2+2x（答案不唯一）．
2.已知反比例函数y=的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y=ax2+bx+有最 值，这个值是 ．
【答案】大, 1
【解析】解：根据反比例函数y=的图象经过点P（2，2），
得k=2×2=4；
根据函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，得到a=﹣1；
根据经过反比例函数图象上一点Q（1，m），
首先得到m=4，再进一步得到b=5，则二次函数的解析式是y=﹣x2+5x﹣．
根据顶点公式求得它的顶点坐标是（，1），
因为a＜0，
所以它有最大值是1．
3.将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为 ；若将原抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为 ．
【答案】y=x2；y=﹣x2﹣1
【解析】解：将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为y=x2+1﹣1=x2；
∵原抛物线的顶点坐标为（0，1）
∴将原抛物线绕原点O旋转180°后顶点是（0，﹣1），而a=﹣1，
∴旋转后的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣1．
故答案为y=x2；y=﹣x2﹣1．
4.已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【解析】解：（1）把（0，5）代入y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2得m+2=5，
解得m=3
所以二次函数解析式为y=x2+6x+5；
（2）因为y=x2+6x+5=（x+3）2﹣4，
所以此二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴为直线x=﹣3．
5.已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3
（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；
（3）当x为何值时，函数值y＜0．
【解析】解：（1）y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣3﹣1=（x﹣1）2﹣4；
（2）函数的图象如图所示：
（3）当y＜0时，函数图象上的点都在x轴的下方，
此时﹣1＜x＜3．
6.如图是y=a（x+m）2的图象
（1）求二次函数的解析式；
（2）把抛物线y=﹣x2经过怎样的平移才能得到此抛物线；
（3）请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴及函数具有的性质；
（4）将（1）中所求的抛物线绕顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．
【解析】解：（1）由图象可知，顶点坐标为（2，0），所以可设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2，
将（0，﹣1）代入，得﹣1=4a，
解得a=﹣，
所以二次函数的解析式为y=﹣（x﹣2）2；
（2）将抛物线y=﹣x2向右平移2个单位长度即可得到抛物线y=﹣（x﹣2）2；
（3）∵y=﹣（x﹣2）2，
∴顶点坐标为（2，0），对称轴为x=2，
抛物线开口向下，当x=2时有最大值0，
当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小；
（4）将（1）中所求抛物线绕顶点旋转180°，旋转后的抛物线的解析式为y=（x﹣2）2．
相关试卷
北师大版九年级下册1 圆习题： 这是一份北师大版九年级下册1 圆习题，文件包含北师大版初三数学上册秋季班讲义第15讲与圆有关的位置关系及计算--提高班教师版docx、北师大版初三数学上册秋季班讲义第15讲与圆有关的位置关系及计算--提高班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
初中数学北师大版九年级下册1 圆课后练习题： 这是一份初中数学北师大版九年级下册1 圆课后练习题，文件包含北师大版初三数学上册秋季班讲义第14讲圆的有关性质--提高班教师版docx、北师大版初三数学上册秋季班讲义第14讲圆的有关性质--提高班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。
北师大版九年级下册1 二次函数课堂检测： 这是一份北师大版九年级下册1 二次函数课堂检测，文件包含北师大版初三数学上册秋季班讲义第12讲二次函数与方程不等式综合--提高班教师版docx、北师大版初三数学上册秋季班讲义第12讲二次函数与方程不等式综合--提高班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
