人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理综合训练题

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专题17.4勾股定理的应用大题培优
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
1．（2020秋•莱州市期中）某工厂为扩大生产，购置一大型机械，其外包装高2.7米，长2米，宽1.8米，车间门的形状如图，问这个大型机械能否通过车间大门？

【分析】根据勾股定理得出CD的长，进而得出CH的长，即可判定．
【解析】点D在车门中线0.9米处，且CD⊥AG，与地面交于H，
OC＝OG=12AG＝1米，OD＝0.9米，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD2＝OC2﹣OD2＝12﹣0.92＝0.19，
∴CH＝CD+DH=0.19+2.3≈2.8＞2.7，
∴这个大型机械能通过车间大门．
2．（2020秋•荥阳市期中）郑州市CBD如意湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．
求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．

【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【解析】（1）因为△ABC是直角三角形，
所以由勾股定理，得AC2＝BC2+AB2．
因为AC＝50米，BC＝30米，
所以AB2＝502﹣302＝1600．
因为AB＞0，
所以AB＝40米．
即A，B两点间的距离是40米．
（2）过点B作BD⊥AC于点D．
因为S△ABC=12AB•BC=12AC•BD，
所以AB•BC＝AC•BD．
所以BD=AB⋅BCAC=30×4050=24（米），
即点B到直线AC的距离是24米．
3．（2020秋•太原期中）如图是一块四边形木板，其中AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝∠C＝90°．李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．

【分析】根据勾股定理解答即可．
【解析】∵点P为BC中点，
∴BP＝CP=12BC＝12（cm），
∵∠B＝90°，
在Rt△ABP中，根据勾股定理可得：AB2+BP2＝AP2，
162+122＝AP2，
解得：AP＝20（cm），
同理可得：DP＝15（cm），
∵152+202＝252，
∴AP2+DP2＝AD2，
∴△APD是直角三角形，∠APD＝90°．
4．（2020秋•渝中区校级月考）一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底瑞B离墙7m．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？

【分析】应用勾股定理求出AO的高度，以及B′O的距离即可解答．
【解析】（1）由题意，得AB2＝AO2+BO2，
所以：AO=AB2−BO2=252−72=24（米）．
（2）由A′B′2＝A′O2+OB′2，得
B′O=A'B'2−A'O'2=252−(24−4)2=45×5=15（米）．
∴BB′＝B′O﹣BO＝15﹣7＝8（米）．
答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．
5．（2020秋•碑林区校级月考）我们学校有一块四边形空地，如图所示，现计划在这块空地上种植草皮，经测量∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．若每平方米草皮需要200米，则共需要投入多少钱？

【分析】利用勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°即可解决问题．
【解析】连接AC，
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC=AB2+BC2=202+152=25（米）．
在△ADC中，∵CD＝7，AD＝24，AC＝25，
∴AD2+CD2＝242+72＝625＝AC2．
∴△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°．
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC=12×15×20+12×7×24＝234（平方米）．
∴四边形空地ABCD的面积为234平方米．
∴200×234＝46800（元）．
答：学校共需投入46800元．
6．（2020秋•青羊区校级月考）如图，有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响．已知有一台拖拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒．
（1）该小学是否受到噪声的影响，并说明理由．
（2）若该小学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？

【分析】过点A作AC⊥ON于点C，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第二台到B点时第一台已经影响小学50米，直到第二台到D点噪音才消失．
【解析】如图所示：
过点A作AC⊥ON于点C，
∵∠MON＝30°，OA＝160米，
∴AC=12OA＝80米，
∵80m＜100m，
∴该小学会受到噪声影响；
（2）以A为圆心，半径长为100m画圆与ON交B，D两点，连接AB，AD，在B到D范围内，小学都会受到影响，
∴AB＝AD＝100米，
由勾股定理得：BC=AB2−AC2=1002−802=60（米），
∴BD＝2BC＝120米，CD＝60米
∴影响的时间应是：t=1205=24（秒）；
答：拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是24秒．

7．（2020春•荔湾区月考）一架梯子AB长2.5m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙0.7m．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了0.4m．那么梯子底部在水平方向滑动了0.4m吗？为什么？

【分析】（1）直接根据勾股定理求出AC的长即可；
（2）根据梯子的顶端下滑了0.4米可求出CA′的长，再由勾股定理求出CB′的长，进而可得出BB′的长．
【解析】（1）∵AB＝2.5米，BC＝0.7米，
∴AC=AB2−BC2=2．52−0．72=2.4（米）．
答：这个梯子的顶端距地面有2.4米；

（2）在Rt△A′CB′中，
∵A′C＝AC﹣0.4＝24﹣0.4＝2（米），A′B′＝2.5米，
∴CB′=A'B'2−CA'2=2．52−22=1.5（米），
∴BB′＝CB′﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（米）．
答：梯子底部在水平方向滑动了0.8米．
8．（2020秋•山西月考）（1）求满足4x2＝25的未知数x的值．
（2）如图，为修铁路需要通隧道AC，测得∠A+∠B＝90°，AB＝5km，BC＝4km，若每天凿0.2km，则需要几天才能把隧道AC凿通？

【分析】（1）根据平方根解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解析】（1）x2＝25，
x=±254=±52；
（2）因为∠A+∠B＝90°，
所以∠ACB＝90°．
又因为在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2＝9，
所以AC＝3km
需要的时间：t=30.2=15（天），
9．（2020秋•卢龙县期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）

【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【解析】在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；
根据勾股定理可得：
BC=AB2−AC2=502−302=40（m）
∴小汽车的速度为v=402=20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
10．（2020秋•重庆期末）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？

【分析】（1）作AB⊥MN于B，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=12PA＝60m，由于这个距离小于100m，所以可判断拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，根据垂径定理得到BC＝BD，再根据勾股定理计算出BC＝80m，则CD＝2BC＝160m，根据速度公式计算出拖拉机在线段CD上行驶所需要的时间．
【解析】（1）学校受到噪音影响．理由如下：
作AB⊥MN于B，如图1，
∵PA＝120m，∠QPN＝30°，
∴AB=12PA＝60m，
而60m＜100m，
∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；

（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图，
∵AB⊥CD，
∴CB＝BD，
在Rt△ABC中，AC＝100m，AB＝60m，
CB=AC2−AB2=80m，
∴CD＝2BC＝160m，
∵拖拉机的速度5m/s，
∴拖拉机在线段CD上行驶所需要的时间＝160÷5＝32（秒），
∴学校受影响的时间为32秒．

11．（2020秋•内江期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解析】（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；

（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；

（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED=EC2−CD2=70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．

12．（2020秋•海勃湾区期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：2=1.41，3=1.73）．

【分析】解直角三角形得到AB＝OA﹣OB＝73米，求得此车的速度≈86千米/小时＞80千米/小时，于是得到结论．
【解析】此车超速，
理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，
∴△POB是等腰直角三角形，
∴OB＝OP＝100米，
∵∠APO＝60°，
∴OA=3OP＝1003≈173米，
∴AB＝OA﹣OB＝73米，
∴733≈24米/秒≈86千米/小时＞80千米/小时，
∴此车超速．
13．（2020秋•南山区期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．

【分析】设AB＝x，则AC＝x+1，依据勾股定理即可得到方程x2+52＝（x+1）2，进而得出风筝距离地面的高度AB．
【解析】设AB＝x，则AC＝x+1，
由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5，
∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
14．（2020秋•惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？

【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解析】（1）根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：AO=AB2−OB2=2（米）；
（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5（米），
根据勾股定理：OB′=A'B'2−OA'2=2（米），
所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5（米），
答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．
15．（2020春•武汉期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．

【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解析】设AE＝x，则BE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距A点13.3km．

16．（2020春•无为县期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝6.5千米，CD＝6千米，AD＝2.5千米．
（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线BC的长．

【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明CD⊥AB，根据垂线段最短可得答案；
（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，利用勾股定理列出方程，再解即可．
【解析】（1）是，
理由：∵62+2.52＝6.52，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，
∴CD⊥AB，
∴CD是从村庄C到河边最近的路；

（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，
∵CD⊥AB，
∴62+（x﹣2.5）2＝x2，
解得：x＝8.45，
答：路线BC的长为8.45千米．
17．（2020春•云梦县期中）如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝80km，AD＝50km，BC＝30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？

【分析】可以设AE＝xkm，则BE＝（80﹣x）km，在直角△ADE中根据勾股定理可以求得DE2，在直角△BCE中根据勾股定理可以求得CE2，根据DE＝CE可以求得x的值，即可求得AE的值．
【解析】设AE＝xkm，则BE＝（80﹣x）km，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴△ADE和△BCE都是直角三角形，
∴DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，
又∵AD＝50，BC＝30，DE＝CE，
∴502+x2＝（80﹣x）2+302，
解得x＝30．
答：5G信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方．
18．（2020春•硚口区期中）如图，一根直立于水中的芦苇BD高出水面AC1米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝3米，求芦苇BD的长度为多少米？

【分析】设芦苇BD的长度为x米，则水深（x﹣1）米，利用勾股定理列出方程，再解即可．
【解析】设芦苇BD的长度为x米，则水深（x﹣1）米，由题意得：
x2﹣32＝（x﹣1）2，
解得：x＝5，
答：芦苇BD的长度为5米．
19．（2020秋•成都期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解析】（1）海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB
∴300×400＝500×CD
∴CD=300×400500=240（km）
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响．

（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED=EC2−CD2=70（km），
∴EF＝140km
∵台风的速度为25km/h，
∴140÷25＝5.6（小时）
即台风影响该海港持续的时间为5.6小时．

20．（2020秋•盐湖区期中）如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．

【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．
【解析】（1）在Rt△MNB中，BN=BM2−MN2=1502−1202=90（m），
∴AN＝AB﹣BN＝250﹣90＝160（m），
在Rt△AMN中，AM=AN2+MN2=1602+1202=200（m），
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝200+150＝350（m）；
（2）∵AB＝250m，AM＝200m，BM＝150m，
∴AB2＝BM2+AM2，
∴△ABM是直角三角形，
∴BM⊥AC，
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150m．