2023年陕西省西安市秦汉中学九年级下学期第二次模考数学试题（含详细答案）

2023年陕西省西安市秦汉中学九年级下学期第二次模考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．计算：（　　）

A． B． C． D．1

2．如图，，FG平分，则的度数是（　　）

A． B． C． D．

3．计算：（　　）

A． B． C． D．

4．下列条件中，能判定为菱形的是（　　）

A． B． C． D．

5．如图，在中，，则的面积是（　　）．

A．12 B．16 C． D．20

6．若一次函数的图象中y值随x值的增大而增大，则a的值可以是（　　）

A．4 B．2 C． D．

7．如图，是的弦，点在弦上，连接并延长交于点已知，，则的度数是（　　）

A． B． C． D．

8．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：

下列说法正确的是（    ）A．抛物线的开口向上 B．当时，y随x的增大而增大

C．二次函数的最大值是2 D．抛物线与x轴只有一个交点

二、填空题

9．比较大小： _____．（填“＞”“＝”或“＜”）

10．如图，在正六边形中，延长，交于点，则的度数为______．

11．如图，该数轴表示的不等式的解集为___________．

12．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，，则反比例函数的表达式为_________．

13．如图，在矩形中，，点E是边上一点，点H是边上一点，点G、F在对角线上，四边形是正方形，则的长为___________．

三、解答题

14．计算：．

15．解方程组：

16．化简：．

17．如图，已知，请用尺规作图法，在AC边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

18．如图，在中，于点F，于点E，BE、AF交于点O，且．求证：．

19．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，将先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到．

(1)请画出平移后的；

(2)点B、之间的距离是___________．

20．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．

(1)小明从中随机抽取一张邮票是“立春”的概率是________．

(2)小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．

21．华山是陕西著名的景点之一，西峰是华山最秀丽险峻的山峰，峰顶翠云宫前有巨石状如莲花，故又名莲花峰．游客可以从山底乘坐索道车到达西峰，小明要测量峰顶翠云宫的高度，他在索道A处测得翠云宫底部B的仰角约为，测得翠云宫顶部C的仰角约为，索道车从A处运行到B处的距离约为300米．请你利用小明测量的数据，求翠云宫的高度．（结果保留整数．参考数据：）

22．某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过时，计价器保持在元；当行驶里程超过时，计价器开始变化，行驶里程x（）与车费y（元）之间的关系如图所示．

(1)当行驶里程超过时，求y与x之间的函数关系式；

(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为元，求这位乘客乘车的里程．

23．新学期开始，为降低校园疫情传播风险，更加精准做好防控工作，避免发生聚集性疫情，学校举行了“学习防护知识，预防新型冠状病毒肺炎”活动．为了解全校1200名学生此次学习情况，随机抽取了三个年级部分学生参加竞赛，对参赛学生的成绩（百分制）整理并绘制出如下不完整的统计表和扇形统计图．

知识竞赛成绩统计表

扇形统计图

根据上述信息，解答下列问题：

(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为___________，表中m的值为___________；

(2)所抽取的参赛学生的成绩的中位数在___________组；

(3)若本次竞赛成绩达到80分算合格，请你估计学校竞赛成绩合格的学生有多少人？

24．如图，在中，，以FB为直径作，与直角边AC相切，切点为E．

(1)求证：；

(2)若，求的长．

25．初三的学生丽丽和兰兰一起去大棚摘草莓，她们看到草莓棚其横截面顶部为抛物线型，商家告诉她们大棚的一端固定在离地面高的墙体A处，另一端固定在离地面高的墙体B处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度与其离墙体A的水平距离之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)丽丽的身高是1.65m，若她在草莓大棚中直立，当她的头顶刚好触碰到大棚时，求她与墙体A之间的距离．

26．【问题提出】

（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________；

【问题解决】

（2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离；

【问题探究】

（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离．

参考答案：

1．D

【分析】根据0指数幂的法则计算即可．

【详解】解：．

故选：D．

【点睛】本题考查了0指数幂法则，熟知该法则是解题的关键．

2．B

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，得到的度数，再根据角平分线的性质，求得，最后利用两直线平行，同位角相等，得到的度数．

【详解】解：，

,

平分，

，

．

故选：B．

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

3．C

【分析】先计算乘方，再计算除法，即可求解．

【详解】解：．

故选：C

【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式法则是解题的关键．

4．A

【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可．

【详解】∵四边形是平行四边形，

∴当时，平行四边形是菱形．

故选：A

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．

5．D

【分析】如图：过A作，再利用正弦函数和等腰直角三角形的性质可得，然后利用正切函数可得，进而可得，最后根据三角形的面积公式即可解答．

【详解】解：如图：过A作

∵

∴,,即：

∴

∵

∴,即

∴

∴

∴的面积是．

故选D．

【点睛】本题主要考查了三角函数、解直角三角形、三角形的面积等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．

6．A

【分析】根据一次函数增减性，可解此题．

【详解】解：当一次函数的系数大于0时，y值随x值的增大而增大，

，

，A选项符合题意．

故选：A．

【点睛】本题考查了一次函数的增减性质，熟知一次函数的系数大于0时，y值随x值的增大而增大的性质是解题的关键．

7．C

【分析】由根据圆周角定理可得从而得出

进而得出在中，根据三角形内角和定理即可求出．

【详解】解：如图，

在中，

故选：

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，邻补角，外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握这些性质定理是解此题的关键．

8．C

【分析】利用表格中的数据可求得二次函数的解析式，再化为顶点式，根据函数图象性质逐一判断即可得解．

【详解】解：∵当时，；当时，；时，

∴

∴

∴二次函数的解析式为：

∴；对称轴是：直线；顶点坐标是；当时，、

∴抛物线的开口向下；当时，y随x的增大而减小；二次函数的最大值是；抛物线与轴有两个交点

∴选项中只有C是正确的．

故选：C

【点睛】本题主要考查了待定系数法、二次函数一般式转化为顶点式、二次函数的图象性质、抛物线与轴交点情况等，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．

9．

【分析】利用平方运算比较 与的大小，即可解答．

【详解】解：，， ，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，不等式的基本性质，掌握二次根式的大小比较的基本方法是解题的关键.

10．60°

【分析】由正六边形的外角和为360°，可求出每个外角60°再根据三角形内角和即可得出答案．

【详解】解：∵ABCDEF是正六边形，

∴正六边形的外角和为360°，

∴每个外角为60°．

∴

∴=60°

故答案为：60°

【点睛】本题考查正六边形的性质、熟知正六边形外角是解答本题的关键，属于中考常考题型

11．

【分析】根据不等式的解集在数轴上表示方法，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示．

【详解】解：数轴所表示的不等式的解集是．

故答案为：．

【点睛】本题考查不等式的解集，解题的关键是熟练掌握数轴得表示方法．

12．

【分析】过点C作平行于x轴，延长交于点D，设，那么，，因为，所以，即可得到反比例函数的表达式．

【详解】过点C作平行于x轴，延长交于点D，如图所示：

设，那么，，因为，所以，

那么，即，所以反比例函数的表达式，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查的是一次函数与反比例函数的综合内容，设适当的未知数列出面积的式子是解题的关键．

13．##

【分析】先根据勾股定理求出，再由正方形的性质可得，，从而得到，进而得到，再由，即可求解．

【详解】解：在矩形中，，

∵，

∴，

∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得：，

即．

故答案为：

【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

14．

【分析】根据实数的混合运算法则，二次根式的化简，即可求解．

【详解】解：原式                   

【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简，熟练掌握相关法则是解题的关键．

15．

【分析】通过代入消元法解答即可．

【详解】解：

由①得，③

将③代入②，得，解得．                   

将代入①，得．                         

所以，原方程组的解为．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．

16．

【分析】根据分式的化简法则，完全平方公式，即可解答.

【详解】解：原式                     

．

【点睛】本题考查了分式的化简法则，完全平方公式，熟练运用法则计算是解题的关键.

17．见解析

【分析】根据，可以得到D点为的中点，则作的垂直平分线与的交点即为D点．

【详解】解：如图，点D为所求作的点．

【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，熟知三角形的中线可将三角形面积等分是解题的关键．

18．见解析

【分析】利用垂直的性质和三角形内角和定理，证明，再通过证明，根据全等三角形的性质可求解．

【详解】证明：，

，

，                     

，

在和中，

，                          

．

【点睛】本题考查了全等的判定，根据垂直的性质，利用等量代换证明是解题的关键．

19．(1)见解析

(2)5

【分析】（1）根据题意将移动后的对应三点画出连接，即可得到移动后的三角形．

（2）根据勾股定理，即可解答．

【详解】（1）解：如图所示，即为所求．

（2）解：，，

．

【点睛】本题考查了平移，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键．

20．(1)

(2)小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率

【分析】（1）直接根据概率公式计算即可得到答案；

（2）根据树状图法或列表法求出所有可能出现的结果，共9种结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种结果，再根据概率公式计算即可．

【详解】（1）解：根据题意得：

一共有3种可能，抽到“立春”的概率为：，

故答案为：；

（2）解：根据题意，列出表格为：

共有9种结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种结果，

所以两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为：，

答：小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率．

【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题时要注意是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率＝所求情况数÷总情况数．

21．45米

【分析】利用正弦、余弦的概念，在中，得到，的长，再根据的长，解出在中的长，最后得到．

【详解】解：在中，米，

（米），（米）．            

在中，，

（米）．

（米）．

翠云宫的高度约为45米．

【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰角俯角问题，熟练运用直角三角形中正弦、余弦、正切的概念是解题的关键．

22．(1)

(2)

【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；

（2）把代入（1）中解析式，即可求解．

【详解】（1）解：由图象得出租车的起步价是元．

当时，设y与x之间的函数关系式为，

由函数图象过点，

得解得

故当行驶里程超过时，y与x之间的函数关系式为．

（2）解：，

令，即，解得．

答：这位乘客乘车的里程是．

【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．

23．(1)60，9

(2)丙

(3)1020人

【分析】（1）根据扇形统计图图中丙组人数的占比和表格中丙组的人数，可以算得总人数，再用总人数减去乙组和丙组的人数，即为m的值．

（2）根据（1）中求得的总人数，按照中位数的概念，即可解答．

（3）用总人数乘以成绩达到80分以上（含80分）的学生占比的百分比即可．

【详解】（1）解：本次接受随机抽样调查的学生人数为：人，人．

（2）解：处于中间的是第30、31个数，所以抽取的参赛学生的成绩的中位数落在丙组．

（3）解：根据题意得：人．

答：学校竞赛成绩合格的学生约有1020人.

【点睛】本题考查了扇形统计图，从统计图中得到必要得信息是解题得关键．

24．(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，可以根据与直角边AC相切得到，利用平行线的性质及等腰三角形的性质，即可得出结论．

（2）连接，证明，根据平行线的性质和同弧所对圆周角相等，得到，根据（1）中的结论判断出，根据相似三角形的性质求解．

【详解】（1）

证明：如图，连接．

是的切线，切点为，

，

．

．                                        

．

，

．

．

（2）解：如图，连接．

是直径，

．

．

．

，

．                                   

由（1）可知，

．

．

，

．

【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，正确的画出辅助线是解题的关键．

25．(1)

(2)

【分析】（1）将分别代入建立方程组，解方程组即可得到答案；

（2）当时求出的值，即可求出她与墙体A之间的距离．

【详解】（1）解：由题意得点A的坐标为，点B的坐标为，

把分别代入，

得，

解得

该抛物线的函数表达式为．

（2）解：∵丽丽的身高是，

∴，

解得．

∵，

∴当丽丽的头顶刚好触碰到大棚时，她与墙体A之间的距离为．

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数的解析式．

26．（1）；（2）；（3）小明的说法正确，见解析，

【分析】（1）连接BD，交AC于点E，根据题意BD是AC的垂直平分线，通过解直角三角形解出BE与DE的长，两者相加即可解题．

（2）结合图形，可知B，O，D三点共线时，BD有最大值，根据解直角三角形解出BO的长，加上半圆的半径，即可解答．

（3）作辅助线如图，证明，即说明小明的说法正确；可知弓形的圆心在上，当通过勾股定理求出半径的长度，再算出的长，即可解答．

【详解】解：（1）

如图，连接BD交AC于点E ，

是等腰直角三角形，为等边三角形，

，,

在与中，

     ，

，

，，

根据三线合一，可得垂直平分，

，

，

，

，，

．

（2）如图②，连接BO并延长交于点D，则此时BD最大．

在上取一点异于点D的点，连接、．

在中，，

，

，即．

最大

在等腰直角中，，O为AC的中点，

且．

．

．

点B、D之间的最大距离为．                                 

（3）小明的说法正确．                         

如图③，过点A作BC的平行线AF，延长DE交AF于点F．

点E为BC中点，，

所在的圆的圆心O在直线DF上．

设圆O半径为r，连接BO．

在中，，

且，

，得．

连接AO并延长交于点，则为最大距离．

在中，，且，

小明的说法正确．                                  

在中，．

．

．

点A到的最大距离为．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．