2022年陕西省西安市雁塔区曲江二中中考数学一模试卷（含详细答案）

这是一份2022年陕西省西安市雁塔区曲江二中中考数学一模试卷（含详细答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．
2．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是（ ）
A．24B．18C．16D．6
3．已知，则=（ ）
A．B．C．D．17
4．如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，，则∠BCA的度数为（ ）
A．25°B．50°C．65°D．75°
5．若方程的两根为、，则的值为( )
A．-3B．3C．D．
6．在同坐标系中，函数（k≠0）与y=kx+k（k≠0）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：（1）点D到直线l的距离为，（2）A、C两点到直线l的距离相等，则符合题意的直线l的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．如图，已知A是双曲线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：
①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．已知双曲线经过点（2，﹣3），则的值是___________．
12．等腰一腰上的高为，这条高与底边的夹角为，则的面积是_____．
13．如图，直线y=x﹣1与坐标轴交于A，B两点，点P是曲线y=（x＞0）上一点，若△PAB是以∠APB=90°的等腰三角形，则k= _________．
14．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3.5 cm，则此光盘的直径是 __________cm.
15．如图，是的直径，点M是内的一定点，是内过点M的一条弦，连接，若的半径为4，，则的最大值为 _____．
三、解答题
16．（1）计算：
（2）解方程：．
17．在某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分，汤老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．
小知识：难度系数的计算公式为：，其中为难度系数，为样本平均数，为试题满分值．《考试说明》指出：在0.7以上的题为容易题；在之间的题为中档题；在之间的题为较难题．
解答下列问题：
(1) ， ，并补全条形统计图；
(2)在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为2分的概率；
(3)根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？
18．某中学九年级学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度，如图，他们先在点C测得教学楼的顶点A的仰角为，然后向教学楼前进20米到达点D，又测得点A的仰角为，请根据这些数据，求这幢教学楼的高度．（最后结果精确到1米，参考数据）
19．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：AB=DF；
（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．
20．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
（3）在（2）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
21．（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．求证：；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，求的长．
22．如图①，已知二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
(1)求的面积．
(2)点M在边上以每秒1个单位的速度从点O向点B运动，点N在边上以每秒个单位得速度从点B向点C运动，两个点同时开始运动，同时停止．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，以B、M、N为顶点的三角形与相似？
(3)如图②，点P为抛物线上的动点，点Q为对称轴上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、B为顶点的四边形是平行四变形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】根据特殊角的三角函数值得出答案即可．
【详解】解：，
故选D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键．
2．C
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数．
【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，
∴摸到白球的频率为，
∴口袋中白色球的个数可能是个．
故选：C．
【点睛】大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．
3．A
【分析】根据比例的性质，由，得，则设，得到，，然后把，，代入中进行分式的运算即可．
【详解】解：∵，
∴，
设，得到，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质：常用的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．
4．D
【分析】根据证明，可得，根据三角形内角和定理即可求得的度数．
【详解】解：在与中，
，
，
，
．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
5．A
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=-1，然后利用整体代入得方法计算．
【详解】∵方程x2-3x-1=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=3，x1x2=-1，
∴=-3，
故选A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．
6．C
【分析】首先由四个图象中一次函数的图象与y轴的交点在正半轴上，确定k的取值范围，然后根据k的取值范围得出反比例函数y＝（k≠0）的图象．
【详解】由一次函数的图象与y轴的交点在正半轴上可知k＞0，故函数y=kx+k的图象过一、二、三象限，反比例函数y＝经过第一、三象限，所以可以排除A，B，D．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，掌握它们的性质是解题的关键．
7．A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
∴小灯泡发光的概率为：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
8．B
【分析】连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答．
【详解】如图，连接AC与BD相交于O，
∵正方形ABCD的对角线BD长为，
∴OD=，
∴直线l∥AC并且到D的距离为，
同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，
故共有2条直线l．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线互相垂直平分，点D到O的距离小于是本题的关键．
9．C
【分析】首先根据、点所在位置设出、两点的坐标，再利用勾股定理表示出，以及的长，再表示出，进而可得到．
【详解】
解：点在双曲线上一点，
设，，
轴，在双曲线上，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及勾股定理的应用，关键是表示出、两点的坐标．
10．C
【分析】
由抛物线的开口方向，抛物线与轴交点的位置、对称轴即可确定、、的符号，即得的符号；由抛物线与轴有两个交点判断即可；由抛物线的对称轴为直线，可得，然后把代入方程即可求得相应的的符号；根据对称轴和图可知，抛物线与轴的另一交点在3和4之间，所以当时，，即可得．
【详解】
解：由开口向上，可得，又由抛物线与轴交于负半轴，可得，然后由对称轴在轴右侧，得到与异号，则可得，，故①错误；
由抛物线与轴有两个交点，可得，故②正确；
由抛物线的对称轴为直线，可得，再由当时，即，，故③正确；
根据对称轴和图可知，抛物线与轴的另一交点在3和4之间，所以当时，，即可得，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定．
11．﹣6
【分析】把点（2，﹣3）代入即可求出k的值．
【详解】把点（2，﹣3）代入，得，
解得：．
故答案为：﹣6．
【点睛】本题考查求反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数（k是常数，k≠0）的图像是双曲线，图像上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即．
12．
【分析】如图，，，得到，得到，过点作，利用三线合一，求出的长，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：如图，，，
则：．
∵，
∴，
过点作，
则：，
∴
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形．解题的关键是根据题意，正确的画出图形．
13．4
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得AD=BC，DP=CP，根据AD=BC，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，根据待定系数法，可得函数解析式．
【详解】解：作PC⊥x轴，PD⊥y轴，如图
，
∴∠COD=∠ODM=∠OCM=90°，
∴四边形OCPD是矩形．
在△APD和△BPC中，
，
∴△APD≌△BPC（AAS），
∴AD=BC，DP=CP，
∴四边形OCPD是正方形，
∴OC=OD，
∵OA=1，OB=5，
设OD=x，
则AD=x+1，BC=5﹣x，
∵AD=BC，
∴x+1=5﹣x，
解得：x=2，
即OD=OC=2，
∴点P的坐标为：（2，2），
∴k=xy=4，
故答案为4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握以上性质.
14．
【详解】解：设圆心为O，连接OB，OA，OC．
∵AC，AB与⊙O相切，∠CAB=120°，
∴∠OAB=×120°=60°，∠OBA=90°，
在Rt△AOB中，∵AB=3.5，
∴OB=ABtan60°=，
∴圆的直径是cm．
故答案为．
【点睛】此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理以及锐角三角函数的知识．
15．
【分析】如图，连接，过点A作交于点H，根据圆周角定理得到，，则可判断，利用相似比得到，然后利用的最大值为，确定的最大值．
【详解】解：如图，连接，过点A作交于点H．
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为4，
∴，
∴，
∴当点H与点M重合时，有最大值，
即时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质．
16．（1）；（2），
【分析】
（1）分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）原式
；
（2），
∴，，，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】本题考查的是实数的运算，解一元二次方程，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
17．(1)25，20，补画条形统计图见解析
(2)
(3)中档题
【分析】（1）首先根据条形统计图和扇形统计图中的信息求得抽取的总人数是60人，进而得到和的值，从而可以得到得1分的人数并将条形统计图补充完整；
（2）根据简单概率公式求解即可；
（3）据题意可以算出的值，从而可以判断试题的难度系数．
【详解】（1）解：由条形统计图可知0分的同学有6人，由扇形统计图可知，0分的同学占，
则抽取的总人数是：（人），
故得1分的学生数是：（人），
则，即；
，即．
故答案为：25，20；
补全统计图如下：
（2）抽中的成绩为2分的概率是；
（3）平均数为（分），
．
因为0.58在中间，所以这道题为中档题．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、简单概率计算、平均数等知识，解题关键是读懂条形统计图与扇形统计图，并获取有用的信息．
18．27米
【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边及构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．
【详解】
解：由已知，可得：，，
在中，．
又在中，
，
，即．
，
，
即，
米．
答：教学楼的高度为27米．
【点睛】本题考查了仰角与俯角--解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
19．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）由矩形性质得到∠B=∠DFA,AE=BC,AD=BC，证得△AEB≌△DAF；
（2）由（1）可知：DF=AB=6，AE=AD=10. 在Rt△AFD中，求出AF和EF.
【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC,AD∥BC，∠B=90°.
∵AD∥BC，
∴∠BEA=∠FAD
∵DF⊥AE，
∴∠DFA=90°
∴∠B=∠DFA
∵AE=BC，AD=BC，
∴AE=AD
∴△AEB≌△DAF
∴AB=DF
（2）解：由（1）可知：AB=DF=6，AE=AD=10.
在Rt△AFD中，∠DFA=90°，
∴AF===8
∴EF=AE-AF=10-8=2
在Rt△DFE中，∠DFE=90°
∴tan∠EDF===
【点睛】矩形性质，求正切.
20．（1）10%；（2）每件商品应降价2.5元；（3）每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可；
（3）设每件商品应降价y元，获得利润为W，根据题意得到函数解析式，即可得到最大值．
【详解】解：（1）设每次降价的百分率为x．
40×（1﹣x）2＝32.4，
解得x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）．
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为10%；
（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得
（40﹣30﹣y）（4×+48）＝510，
解得：y1＝1.5，y2＝2.5，
∵有利于减少库存，
∴y＝2.5．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元；
（3）设每件商品应降价y元，获得利润为W，
由题意得，W＝（40﹣30﹣y）（4×+48）＝﹣8y2+32y+480＝﹣8（y﹣2）2+512，
故每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
21．（1）证明见详解；（2），理由见详解；（3）．
【分析】（1）先证△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．再证四边形DQFG是平行四边形，即可解决问题．
（2）过G作GM⊥AB于M．证明，即可解决问题．
（3）过P作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM，即可解决问题．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ，
∴∠QAO+∠OAD＝90°，
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠QAO＝∠ADO，
∴，
∴AE＝DQ，
∵DQ⊥AE，GF⊥AE，
∴DQ∥GF，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴GF＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴AE＝FG；
（2）结论：．理由如下：
如图2中，过G作GM⊥AB于M，
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴，
∴，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴，
（3）解：如图3中，过点P作PM⊥BC交BC的延长线于M．
∵，，
∴∠CGP＝∠BFE，
∴，
∴设，，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∴或（不合题意，舍去），
∴，，，，
∵，
∴BC＝4，
∴，，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴，
∴，
∴，
∴解之得：，，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟悉相关知识点，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键．
22．(1)6
(2)或
(3)存在，，，
【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得、、的坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（2）根据两角相等的两个三角形相似，可得与的关系，根据相似三角形的性质，可得关于的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得①或②；根据，，可得点坐标；根据，可得关于的方程，根据解方程，可得的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标．
【详解】（1）解：当时，，即，
当时，，解得，，即，；
；
（2）若，如图1，
，，，
，
，即．
∴，解得；
若时，如图2，
，，，
，
，即，
，解得；
综上所述：或；
（3）如图3，
，
若为对角线，
即，，，
；
若为边，即，，
设，，．
，即，
化简，得．
解得或．
当时，，
即；
当时，，
即；
综上所述：，，．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，（1）利用自变量与函数值的对应关系得出、、的坐标是解题关键；（2）利用相似三角形的性质得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；（3）利用平行四边形的对边相等得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．