湘教版八年级上册5.1 二次根式教学课件ppt

教学目标

1.了解二次根式的概念，理解被开方数必须是非负数.

2.利用二次根式（a≥0）有意义的条件，会求被开方数中字母的取值

范围.

3.掌握二次根式的两条重要性质，并应用性质化简二次根式.

教学重难点

重点：二次根式的概念和相关性质.

难点：运用二次根式的性质进行计算.

教学过程

导入新课

问题：（1）已知x2 ＝a，那么a是x的　　 　　；x是a的　 　　　，记为

　　　　，a一定是　　　　数.

（2） 4的算术平方根为2，用式子表示为＝　　　　；正数a的算术平方根为　　　　，0的算术平方根为　　　　；式子≥0（a≥0）的意义是　　　　.

师生活动：学生代表独立回答，教师提示总结.

教师总结：根据我们学习的平方根和算术平方根的知识，上述问题的答案是：（1）平方，平方根，x＝±，非负；（2）2，，0，表示a的算术平方根，它有双重非负性.今天我们在此基础上继续探究二次根式的知识.

探究新知

教师：请思考下列问题：

（1）5的平方根是　　　　，算术平方根是　　　　.

（2）正实数a的平方根是　　　　，算术平方根是　　　　.

（3）如果一个正方形的的面积是 S，那么它的边长是　　　　.

（4）如图1，运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v2＝gR，其中重力加速度g≈9.8 m/s2.若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？

师生活动：学生思考，并完成上面问题.

师生共同归纳：

上面问题的结果分别表示一些正数的算术平方根.

回顾：一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.

一、二次根式的概念

总结：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.

师生活动：学生联系所学知识，独立思考解决问题；教师总结二次根式的概念，并强调怎样的式子是二次根式.

注意：a可以是数，也可以是式子.具有两个特征：

①外貌特征：含有“”.

②内在特征：被开方数a ≥0.

新知应用

例1　下列各式是不是二次根式？

（1）；　（2）；　（3）；　（4）；

（5）.

师生活动：（1）小题教师与学生一起分析解决.（2）小题学生尝试解决.（3）小题请学生认真思考后解答.(4)(5)两小题需要分情况讨论，教师引导，学生分组讨论，然后请学生代表回答.

解：（1）∵ m2≥0，∴ m2+1>0，

∴ 是二次根式.

（2）∵ a2≥0，∴是二次根式.

（3）∵ n2≥0，∴ -n2≤0，

∴ 当n＝0时，才是二次根式.

（4）当a-2≥0，即a≥2时，是二次根式.

当a-2<0，即a<2时，不是二次根式.

（5）当x-y≥0，即x≥y时，是二次根式.

当x-y<0，即x<y时，不是二次根式.

二、二次根式有、无意义的条件

教师提出让学生小组合作讨论：二次根式表示什么意义？

此算术平方根的被开方式是什么？被开方式必须满足什么条件时二次根式才有意义？其中字母a需要满足什么条件？为什么？

师生活动：学生先独立思考，讨论后，由小组代表回答，并让其他的学生点评.

教师总结强调：

二次根式有意义的条件：被开方数（式）为非负数，（a≥0）.

二次根式无意义的条件：被开方数（式）为负数， （a<0）.

例2　当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？

师生活动：学生联系二次根式的定义，尝试解决问题.

教师板演：

解：由x-1≥0，得x≥1.当x≥1时，在实数范围内有意义.

练一练

当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

（1）；　　　　　（2）.

师生活动：学生独立思考，解决问题；教师讲评统一答案.

解：（1）由题意，得x-2＞0，解得x＞2.

所以当x＞2时，在实数范围内有意义.

（2）由题意，得3+x≥0，解得x≥-3.

　　　　　　　x-1≠0，解得x≠1.

所以当x≥-3 且x≠1时，在实数范围内有意义.

归纳：要使二次根式在实数范围内有意义，即需被开方数≥0，列不等式求解即可.当二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.

三、二次根式的重要性质

1.的性质

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.

对于任意一个二次根式，我们知道：

（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；

（2）表示一个数或式的算术平方根，可知a≥0. 

归纳：

2.（）2（a ≥0）的性质

探究：根据算术平方根的意义填空：

（）2＝ 　　　　；（）2＝　　　　；

＝　　　　；＝　　　　.

追问1：根据以上规律，猜想：（）2＝ 　　　　.

追问2：（）2中a的取值范围是　　　　.

归纳：

（）2 ＝a（a ≥0）. 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.

3.的性质

探究：填空：

＝　　　　；＝　　　　；

＝　　　　；＝　　　　.

追问1：以上几个题，它们在结构上有什么规律？

追问2：根据你的观察，请猜想＝　　　　.

思考：表示什么意义？结果等于-3还是3？为什么？

师生活动：学生独立思考；师生总结.

探究：表示（-3）2的算术平方根，等于3.

归纳：

任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.

应用：

例3  计算：（1）；　　（2）.

解：（1）；

（2）.

课堂练习

1.下列式子中，不属于二次根式的是（    ）

A.          B.          C.            D.

2.式子有意义的条件是（    ）

A.x＞2   　    B.x≥2    　 　　C.x＜2       　   D.x≤2

3.下列运算中不正确的是（    ）

A.     B.     　　C.6＝  　  D.

4.当x＝       时，二次根式取得最小值，其最小值为       .

5.计算：（1）（）2　（2）（）2；

（3）（）2；（4）；

（5）；（6）.

6.（1）若二次根式有意义，求m的取值范围.

（2）无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围.

7.（1）已知a为实数，求代数式的值.

（2）已知a为实数，求代数式的值.

参考答案

1.C　2.A　3.D　4.-1  0　

5.解：（1）1.7；（2）a2+1；（3）20；（4）5；（5）2；（6）0.

6.解：（1）由题意，得m-2≥0且m2-m-2≠0，

解得m≥2且m≠-1，m≠2，

∴ m＞2.

（2）由题意，得x2+6x+m≥0，即（x+3）2+m-9≥0.

∵ （x+3）2≥0，∴ m-9≥0，即m≥9.

7.解：（1）由题意，得a+2≥0，-4-2a≥0，

∴ a＝-2，

∴ .

（2）由题意，得-a2≥0.

又∵a2≥0，∴a2＝0，∴a＝0，

∴ .

课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？说说看.

1.什么是二次根式？

2.二次根式有意义的条件是什么？

布置作业

教材第157页练习.

板书设计

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