第03讲 极值点偏移：平方型（学生及教师版）

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第03讲 极值点偏移:平方型参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．（2021•广州一模）已知函数．（1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点；（2）若有两个零点，，且，证明：．【解答】证明：（1），（1），又（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，即，当时，，故直线过定点，；（2），是的两个零点，且，，可得，，令，，构造函数，，令，则，则在上单调递增，而（2），，则在上单调递增，（2），可得，则，即，则．2．（2021•浙江开学）已知，（其中为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，函数有两个零点，，求证：．【解答】解：，，时，，，时，增区间为：，减区间为：；时，，时，增区间为：；时，，，时，增区间为：，减区间为：；综上：时，增区间为：，减区间为：；时，增区间为：；时，增区间为：，减区间为：；（Ⅱ）证法一：由（1）知，时，增区间为：，减区间为：；且时，，，函数的大致图像如下图所示：因为时，函数有两个零点，，所以，即，不妨设，则，先证：，即证：，因为，所以，又在单调递增，所以即证：又，所以即证：，，令函数，，则，因为，所以，，故，函数在单调递增，所以，因为，所以，，即，所以．（Ⅱ）证法二：因为时，函数有两个零点，，则两个零点必为正实数，，问题等价于有两个正实数解；令则，在单调递增，在单调递减，且，令，，则，所以在单调递增，，又，故，，又，所以，又，所以，，又在单调递增，所以，所以．3．（2021秋•泉州月考）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若是自然对数的底数），且，，，证明：．【解答】解：（1）函数，则，令，解得，若，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减；若，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：因为，两边取对数，可得，即，所以，此时当时，存在且，，，满足；由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，不妨设，所以，，①若，，则成立；②若，则，记，，则，所以在上单调递增，则（1），即，所以，因为，所以，又，在上单调递减，所以，即，又，，以上两式左右分别相加，可得，即，综合①②可得，．4．（2021•开封三模）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，对于任意，证明：．【解答】解：（1）的定义域为，，当时，，此时在上单调递增，，此时在上单调递减，当时，，此时在上单调递增，，此时在上单调递减；综上可知：当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是．（2）证明：由，，，由于，所以．设，故：，令，则，由于，故，则在上单调递增，故（1），即：所证不等式成立．5．（2021•浙江模拟）函数．（1）若，求函数在处的切线；（2）若函数有两个零点，，且，（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：．【解答】解：（1）设，，（1），且（1），切线方程：．（2）函数，，若，则单调，至多一个零点；若，则，在上是增函数，上是减函数，，．证明：函数有两个零点，，且，由极值点可得，，只需证，即证，即证，即证，即证成立．6．（2021春•渝中区校级期中）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，，函数的唯一极小值点为，点，和，是曲线上不同两点，且，求证：．【解答】（1）的定义域为，，当时，，所以在上单调递增；当时，由，得，当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）由题意得，不妨设，由，得，即，且，所以，要证，即证，显然在上是增函数，故只需证，即证，即证，即证，又由于，故只需证，即证，令，则，所以即证．令，则，所以在上为减函数，从而（1），即有，从而成立．7．（2021•成都模拟）已知函数，其中，，．（Ⅰ）当时，求函数的值域；（Ⅱ）若函数在，上恰有两个极小值点，，求的取值范围；并判断是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）当时，，则，设，则在上恒成立，在上单调递增，又，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，函数的值域为；（Ⅱ），在上为偶函数，函数在上恰有两个极小值点等价于函数在上恰有一个极小值点，设，则，①当时，，则在上单调递减，，则，在上单调递减，无极小值；②当时，，则在上单调递增，，则，在上单调递增，无极小值；③当时，存在，使得，且当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，，又，当，即时，，，此时在上单调递减，无极小值；当，即时，，则存在，使得，且当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，函数在上恰有一个极小值点，此时是函数的极大值点，当函数在上恰有两个极小值点时的取值范围为；，若，则，由知，，，整理可得，又，，存在，使得成立．8．（2021•潮州二模）已知函数，．（1）讨论函数的极值点；（2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：．【解答】解：（1），，令，△，当时，△，，无极值点，当时，令，解得：，当，，时，，递增，，时，，递减，故极大值点是，极小值点是；综上：时，无极值点，时，极大值点是，极小值点是；（2）由，即，令，，令，得，当时，，当时，，在递减，在，上递增，又有2个零点，，即，解得：，且，两式相减得：，设，，，要证明，即证明，，，即证明，令，，在上单调递减，（1），即．9．（2021•攀枝花模拟）已知函数有最小值，且．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，，证明：．【解答】解：（Ⅰ）有题意，当时，，在上单增，此时显然不成立，当时，令，得，此时在上单减，在上单增，（b），即，所以，．所以的最大值为1．（Ⅱ）证明：当取得最大值时，，，的两个零点为，，则，即，，不等式恒成立等价于，两式相减得，带入上式得，令，则，，所以函数在上单调递增，（1），得证．