第01讲 极值点偏移：加法类型（学生及教师版）

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第01讲 极值点偏移:加法类型
参考答案与试题解析
一．解答题（共27小题）
1．（2021•浙江期中）已知函数有两个不同的零点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．
【解答】解：（1）函数
，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
故当时，函数取最小值，
若函数有两个不同的零点，．
则，即；
证明：（2）若函数有两个不同的零点，．不妨设，
则，且，
若证．即证，
构造函数，，
所以，
所以，，
令，则，所以单调递增，
所以（1），
所以，所以（1），
即，，
又，所以
因为在区间上单调递增，
所以，故原不等式得证．
2．（2021•汕头一模）已知函数有两个相异零点，．
（1）求的取值范围；
（2）求证：．
【解答】解：（1），
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
要使函数有两个相异零点，必有（1），，
当时，，且，函数在有一个零点
，，函数在有一个零点，
的取值范围为．
（2）由（1）知，，
，，
要证，，
故构造函数，，
则，所以在单调递减，（1）．
，，
构造函数，
，
下面证明，即证明，
构造函数，．
在上恒成立，
因此在递增，从而（1），
，在递增，
（1），

，
时，，单调递增，
，
即．
3．（2016秋•海淀区校级月考）已知函数，．
（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若，求的零点个数；
（Ⅲ）若有两个零点，，证明：．
【解答】解：（Ⅰ），
（1），（1），
故切线方程是：；
（Ⅱ）由已知，
，，单调递减，
，，单调递增，
（1），
当时，
，
，
当时，，
故函数有2个零点；
（Ⅲ）由（Ⅱ），，
使得，
，
要证，即证，
，，
又且在上单调递减，
需证，
即证，
，
即证，
由（Ⅱ）知时，
，
得证，
．
4．（2021•江门一模）已知函数，是常数．
（Ⅰ）求曲线在点，（2）处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点；
（Ⅱ）证明：时，设、是的两个零点，且．
【解答】（Ⅰ）解：根据题意，函数，
当，则，则，
（2），（2），
则切线的方程为，
变形可得：，
联立，得．
切线经过定点；
（Ⅱ）证明：函数的定义域为且，
曲线在在各定义域区间内是连续不断的曲线，
当时，在区间上，
（2），，在区间，上有零点，
在区间上，，，函数单调递减，
又，
若，且，则，
在区间，内有零点，
由单调递减知，在区间内有唯一零点．
，，
则，
由单调递减知，，即．
5．（2021•汕尾一模）已知函数．
（1）若曲线在，处的切线方程为，求，的值；
（2）当，时，证明：函数有两个零点，，且．
【解答】解：（1），所以．
又，
则，所以，得．
（2）当时．，
则
已知，所以，故得．
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减．在上单调递增．
又（1），，
当时，，，
所以（3）；
当，．不妨没，
则．
二次函数的对称轴为
所以（3），
由零点存在性定理，函数存在两个零点，，设，
由，得，
由函数在上单调递增，只需证即可．又，
所以只需证即可．
，，
只需证，
化简得，

设，则．
当时，；
当时，．而（1），
故当时，．
而恒成立．
故，
即，则，
即，成立．
6．（2021•临沂期中）已知函数，其中为常数，且．
当时，若在，上的最大值为1，求实数的值；
若，且函数有两个不相等的零点，，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为，

①当，函数在，上单调递增，其最大值为（e），不符合题意；
②当，即时，函数在，，上单调递增，在单调递减，
（1），（e），，不符合题意；
③当，即时，函数在，，在，单调递减，其最大值为（1），不符合题意；
④当，即时，函数在，，上单调递增，在，单调递减，
，（e），，符合题意；
综上所述，实数的值为．
（Ⅱ）证明：，
令，得，
当时，函数在，递减，在单调递增，
函数有两个不相等的零点，，（不妨设，则，
构造函数，，则（1），

，
在单调递减，（1），，恒成立．
，恒成立．
即，
，，且函数在单调递增，
，．
7．（2021•贵州模拟）已知函数，．
（1）求函数在，的最小值；
（2）设，证明：；
（3）若存在实数，使方程有两个实根，，且，证明：．
【解答】解：（1）由，
在，单调递增，
又（1），
（1），
证明：（2）由（1）知，，即，
由，得，进而，化简得，
，
证明：（3）由，可得，
即，
即，，
由（2）知，，
把上式代入化简可得，即
8．（2021•南开区三模）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，分别解答下面两题：
若不等式对任意的恒成立，求的取值范围；
若，是两个不相等的正数，，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）函数．
的定义域为，，
令，，，
①当时，在恒成立，
递增区间为．
②当时，，
，
又，的递增区间是，递减区间是，．
（Ⅱ）设，
，
，在上恒成立，
在上单调递减，
，
，即的取值范围是，．
证明：（1），在上单调递增．
①若，，则，，
则与已知矛盾；
②若，，则，，
则与已知矛盾；
③若，则，又，，
，与矛盾；
④不妨设，
则由（Ⅱ）知当时，，
令，则，
，
又在上单调递增，
，．
9．（2021•红河州一模）已知函数．
（Ⅰ）若函数在，（1）处的切线与直线平行，求实数的值；
（Ⅱ）若时，函数恰有两个零点，，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）因为，且切线与直线平行，
可得（1），
所以；
（Ⅱ）证明：当时，，
由题意知，
②─①得：，
即，③
令，则，且，
又因为，由③知：，
所以，
要证，
只需证，
即证，
即，
令，则，
所以在上单调递增且（1），
所以当时，，
即．
10．（2021•苏州期末）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当函数与函数图象的公切线经过坐标原点时，求实数的取值集合；
（3）证明：当时，函数有两个零点，，且满足．
【解答】解：（1）对求导，得，
令，解得，
当时，，单调递增．
当，时，，单调递减．
（2）设公切线与函数的切点为，，则公切线的斜率，
公切线的方程为：，将原点坐标代入，得，解得．
公切线的方程为：，将它与联立，整理得．
令，对之求导得：，令，解得．
当时，，单调递减，值域为，
当时，，单调递增，值域为，
由于直线与函数相切，即只有一个公共点，因此．
故实数的取值集合为．
（3）证明：，要证有两个零点，只要证有两个零点即可．（1），
即时函数的一个零点．
对求导得：，令，解得．当时，，单调递增；
当时，，单调递减．当时，取最小值，，
，必定存在使得二次函数，
即．因此在区间上必定存在的一个零点．
综上所述，有两个零点，一个是，另一个在区间上．
下面证明．
由上面步骤知有两个零点，一个是，另一个在区间上．
不妨设，则，下面证明即可．
令，对之求导得，
故（a）在定义域内单调递减，，即．
证明完毕．
11．（2021•浙江模拟）已知函数，其中．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，若，为函数的两个零点，试证明：．
【解答】解：（1），
极值点即为 的变号零点，
即，
记，，
令，解得；令，解得，
故 在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则（1），当，，当，，
①当 时，在区间 上恒成立，所以函数在区间和 上单调递减；

②当时，则方程有两个根，记为，，不妨设，

因为，故，
当或时，；当或时，，
所以函数在，，上单调递增，在，，，上单调递减．
③当时，则方程有一个根，记为，

当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在，上单调递减．
（2），
即，
当时，左边右边（舍；
当时，，，
当时，，，
即当时，，
于是，
即将时，，
由（1）知，当 时， 在上单调递减，
所以，
由于与 在 处相切，且．为下凹函数，
故，，．
（3），
即，
，，
由知：当 时， 先增后减，不妨设，
，
构造函数，
，
，
即，
两式相减得：，
即，
，
，
即，
两式相减得：，
即，
，即，
综上所述：．
12．（2021•启东市校级开学）已知函数，．
（1）若，求函数在为自然对数的底数）上的零点个数；
（2）若方程恰有一个实根，求的取值集合；
（3）若方程有两个不同的实根，，求证：．
【解答】解：（1）当时，，，
，令得，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
当时，（1），
函数在上恒小于0，所以函数在，上无零点．
（2）令，则，令，得．
当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，
故（1），
①当，即时，因最大值点唯一，故符合题设；
②当，即时，恒成立，不符合题设；
③当，即时，一方面，，；另一方面，，（易证：，于是，有两零点，不合题设．
综上所述，的取值集合为．
（3）证明：先证，
依题设，有，于是，
记，，则，故，
于是，，
记函数，，
因，故在上单调递增，
于是，时，（1），
又，所以，，
再证，
，故，也是的两个零点，
由，得（记，
仿（1）知，是的唯一最大值点，故有，
作函数，则，故单调递增，
当时，；当时，，
于是，，
整理，得，
即，
同理，
故，
即，
于是，
综上，．
13．（2016•河南模拟）已知函数，其中为常数．
（Ⅰ）若恰有一个解，求的值；
（Ⅱ）若函数，其中为常数，试判断函数的单调性；
若恰有两个零点，，求证：．
【解答】解：（Ⅰ），令，解得：，
当时，，在递增，
当时，，在递减，
（1），
①当，解得：，此时最大值点唯一，符合题意，
②当，即时，恒成立，不符合题意，
③当，即时，，，，
，（易证，
有2个零点，不符合题意，
综上：；
（Ⅱ）由，
得：，
函数的定义域是，且，
，
在单调递增；
，故，也是的两个零点．
由，得（记．
可知，是的唯一最大值点，故有，
作函数，则，故单调递增．
当时，；当时，．
于是，．
整理，得，
即．
同理．
故，
即，
于是．
14．（2021•青州市三模）已知．
（1）求的单调区间；
（2）设，，为函数的两个零点，求证：．
【解答】解：（1），，
当时，，
即的单调递增区间为，无减区间；
当时，，
由，得，
时，，
时，，
时，易知的单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）证明：由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为．
不妨设，由条件知，即，
构造函数，与图象两交点的横坐标为，，
由可得：，
而，，
知在区间上单调递减，在区间上单调递增．
可知，
欲证，只需证，
即证，
考虑到在上递增，
只需证
由知，只需证
令，
则，
即单增，又，
结合知，
即成立，
即成立．
15．（2015秋•天津期末）已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且曲线在点，（1）处的切线与直线垂直．
当时，试比较与的大小；
若对任意，，且，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，
若，则，，
若，则，，
综上，在递增，在递减；
（Ⅱ）曲线在点，（1）处的切线与直线垂直，
且，（1），
故，令，
则，，，
（1），，方程有唯一解，
当时，
令，
则，
在时递增，即，
故时，，
若对任意，，且，
由（Ⅰ）得：，必一正一负，
不妨设，由得：，
而由（Ⅰ）得：时，函数在递减，
，即．
16．（2021•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．
【解答】（1）解：由函数的解析式可得，
，，单调递增，
，，单调递减，
则在单调递增，在单调递减．
（2）证明：由，得，
即，
由（1）在单调递增，在单调递减，
所以（1），且（e），
令，，
则，为 的两根，其中．
不妨令，，则，
先证，即证，即证，
令，
则在单调递减，
所以（1），
故函数在单调递增，
（1）．，，得证．
同理，要证，
（法一）即证，
根据（1）中单调性，
即证，
令，，
则，令，
，，单调递增，
，，，单调递减，
又时，，且（e），
故，
（1）（1），
恒成立，
得证，
（法二），，
又，故，，
故，，
令，，，
在上，，单调递增，
所以（e），
即，所以，得证，
则．
17．（1）已知，证明不等式；；
（2）已知函数，且，证明：．
【解答】证明：（1）先证，即证，
设，设，则，
在上单调递减，
又（1），
当时，恒成立，即成立；
再证，即证，
设，令，则，
在上单调递增，
又（1），
当时，恒成立，即成立，
综上，原命题得证；
（2），易知函数在单调递增，在单调递减，且时，，
依题意，不妨设，
令，，则，
函数在上单调递增，
（1），即在上恒成立，
又，
，
又，
，
又，
，
又函数在单调递增，
，
，即得证．
18．（2021•青岛模拟）已知函数，
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）已知，，且，求证：．
【解答】解：（Ⅰ），令得
当，，为增函数；
当，，，为减函数，
可知有极大值为
（Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，
设．由（Ⅰ）知，，
（Ⅲ），由上可知在上单调递增，
①，
同理②
两式相加得

19．（2021•襄城区校级月考）已知函数（其中为常数）．
（1）当时，对于任意大于1的实数，恒有成立，求实数的取值范围；
（2）当时，设函数的3个极值点为，，，且，求证：．
【解答】解：（1）时，，即成立，
令，则，
，
①，，在上是增函数，
时，（1），满足题意；
②时，令，解得，，
，，在上是减函数，
，（1），不合题意，舍去，
综上可得，；
（2）由题，，
对于函数，有，
函数在上单调递减，在，上单调递增
函数有3个极值点，
从而，所以，
当时，（a），（1），
函数的递增区间有，和，，递减区间有，，，
此时，函数有3个极值点，且；
当时，，是函数的两个零点；
即有，消去有
令，有零点，且
函数在上递减，在，上递增
证明
，即证
构造函数，则
只需要证明，单调递减即可．
而，，
在，上单调递增，
当时，．
20．（2021•德阳模拟）设函数．
（1）当时，求的单调区间是的导数）；
（2）若有两个极值点、，证明：．
【解答】解：（1）当时，，
则，
，，
显然递减，且（1），
故当时，，时，，
故在递增，在递减；
（2）证明：，
，
由题意知有2个不相等的实数根，
即有2个不相等的实数根，，
则，令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，
故（1），而时，，
故的取值范围是，，
由，得，
故
，
令，则，
，，
故不等式只要在时成立，
令，
，，
故在上单调递增，即，
故在上单调递减，即，
故原不等式成立．
21．（2014•台州一模）已知函数．
（1）若，讨论的单调性．
（2）若有三个极值点，，．
①求的取值范围；
②求证：．
【解答】解：（1）当时，，，
，
当时，在和上，单调递减，
当时，在上，单调递增，
（2）①，

首先，令，则应有两个既不等于0也不等于的根，
求导可得，，
此时，有唯一的根，并且是的极小值点，
要使有两根，只要即可，（因为当和时，
由，得，
又由，得，
反过来，若时，则，的两根中，一个大于，另一个小于，
于是在定义域中，连同，共有三个相异实根，并且在这三个根的左右，的正负变号，它们就是的三个极值点，
综上，的取值范围是；
②证明由①可知有三个极值点，，中，两个是的两根（不妨设为，，其中，另一个为，
要证：．
只要证：，
即只要证明，
因为在上单调递减，其中，
故只要证，其中，
只要证，
而
只要证，
由，得，由此代入上述不等式，只要证明，
只要证，
令，
当时，，单调递增，而，
所以当时，，
于是证，
即：．
22．（2021•苏州二模）已知函数，其中．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数有三个极值点，，，求证：．
【解答】解：（1）由函数，其中，
得，
由函数在上单调递增，
故，
即恒成立，即恒成立．
令，则，
因此在区间上单调递增，
所以．
（2）由，则．
由题意则有三个根，则有两个零点、，且、，
由有一个零点，则，
令，则，
当时取极值，时单调递增，
，则时有两零点，，且，
要证：，
即证（其中，即证：，即，
由，，则，
即证：；
等价于，等价于，
由在上单调递增，即证：，
又，则证，
令，，
．
恒成立，
则为增函数，
当时，，
，原结论成立．
23．（2021春•沙坪坝区校级月考）已知函数，其中．
（1）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；
（2）若函数有三个极值点，，，求证：．
【解答】解：（1）由函数，其中，
得，
由仅在处取得极值，则，即；
令，则，
当时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
所以（1），
当时，，此时仅一个零点，
则仅一个为极值点，
当时，与在同一处取得零点，此时，，
，，
仅一个零点，则仅一个为极值点，所以．
当时，显然与已知不相符合；
．
（2）由，则．
由题意则有三个根，则有两个零点、，且、，
由有一个零点，则，
令，则，
当时取极值，时单调递增，
，则时有两零点，，且，
若证：，即证：，即，
由，，则，
即证：；
等价于，等价于，
由在上单调递增，即证：，
又，则证，
令，，
．
恒成立，
则为增函数，
当时，，
得出．
24．（2021•赤峰期末）已知函数，为常数，当时，有三个极值点，，（其中．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：．
【解答】解：（1）函数函数的定义域为，
由，得，
令，得是一个根，要使在上有三个极值点，，，
则有三个解，所以在必有2个解，．
，
令，则，
由，得，
由且，得，
在上单调递减，上单调递增，
（2），当时，，，
为了满足题意，必有，
的取值范围为．
另解注：在上单调递减，上单调递增，
（2），，，
当时，与在和上各有一个公共点，即两个公共点；
当时，只有一个公共点；
当时，无公共点；
当时，只在上有一个公共点，
综上，的取值范围为．
（2）解：由（1）知，令，
则，，
于是，
由（1）知在单调递减，在单调递增，，
则，，
令，则，
，
，
又，
，
，
，
在单调递减，
（1），
，
，
，
，即．
25．（2021•龙岩期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有三个极值点，，，求实数的取值范围，并证明．
【解答】解：（1），
当时，，在单调递减；
当时，令，得，
当时，；当时，．
故在单调递减，在单调递增．
（2）由已知得，，
令，得或．
要使函数有三个极值点，须有三个不相等实数根，从而有两个异于2的实根．不妨设，，
由（1）知：，且，从而．
而当时，，（1），；
由零点存在定理知．
又当时，，所以实数的取值范围是．
要证，只需证．①
因为，是的两个实根，且，
所以，从而，所以，
令，则，，．
要证①式成立，只需证，即证，．
令，，则，所以在递增，
所以（1），所以．命题得证．
26．（2021•洛阳一模）设函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若存在三个极值点，，，且，求的取值范围，并证明：．
【解答】解：（1）当时，，
．
令，则，
由得，得，
在上递减，在上递增．
即，
解得，解得，
的单调减区间为，单调增区间为．
（2），
有三个极值点，方程有两个不等根，且都不是1，
令，当时，单调递增，至多有一根，
当时，解得，解得．
在上递减，在上递增，
，，
此时，，，（1），时．
时，有三个根，，，且，
由得，由得，
．
下面证明：，可变形为
令，，
，在上递增，
（1），，
．
27．（2021•平阳县模拟）已知函数有三个极值点，，，
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）求证：．
【解答】解：（Ⅰ）利用的极值点个数即为的变号零点个数，，
设，
由已知，方程有两个不为0，的实根，
当时，在上递增，至多一个实根，故
在，上递减，在，上递增，
，
且．
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）不妨设，，
，．
要证，即证而，，
由在，上递减，在，上递增，且，
故只要证，又，故只要证，
即证，
设，
，
递增，，
即，
．