2023回族自治区银川一中高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题含答案

理科数学

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 以下四个写法中：① ；②；③；④，正确的个数有（　　）

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知命题，，则的否定为（    ）

A ， B. ，

C. ， D. ，

4. 已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的上支的是（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 祖暅是我国南北朝时代伟大科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为的平面截该几何体，则截面面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知为等比数列，是它的前n项和．若，且与的等差中项为，则等于（    ）

A. 37 B. 35 C. 31 D. 29

8. 为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（    ）

A. 2m B. 3m C. 2.5m D. 1.5m

9. 如图所示的直角坐标系中，角()、角()的终边分别交单位圆于两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，若，其中，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在三棱锥中，侧棱平面，，，侧棱与平面所成的角为45°，为的中点，是侧棱上一动点，当的面积最小时，异面直线与所成角的正弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中常数项为______．

14. 经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的斜率为________．

15. 已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，，则的最小值为__________．

16. 等腰直角的斜边的端点分别在，的正半轴上移动（点与原点在两侧），，若点为中点，则的取值范围是______.

三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17. 近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展，某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行，方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作，建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类，经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）

（2）以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案．现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案人数，求X的分布列及数学期望

18. 如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；

（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

19. 某公园有两块三角形草坪，准备修建三角形道路（不计道路宽度），道路三角形的顶点分别在草坪三角形的三条边上．

（1）第一块草坪的三条边米，米，米，若，（如图），区域内种植郁金香，求郁金香种植面积．

（2）第二块草坪的三条边米，米，米，M为PQ中点，（如图），区域内种植紫罗兰，求紫罗兰种植面积的最小值．

20. 已知椭圆的焦距为2，经过点，若点P是椭圆C上一个动点（异于椭圆C的左右顶点），点，，，直线PN与曲线C的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点M．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求证：当点P变化时，点M恒在一条定直线上．

21. 已知函数的图像与直线相切于点．

（1）求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；

（2）求与的函数关系；

（3）当为函数的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22. 如图，在极坐标系Ox中，点，曲线M是以OA为直径，为圆心的半圆，点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形．

（1）当时，求B，C两点的极坐标；

（2）当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程．

23 已知．

（1）若均为正数，证明，并且写出等号成立的条件；

（2）若，且恒成立，求取值范围；

理科数学

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

【1题答案】

【答案】C

【2题答案】

【答案】D

【3题答案】

【答案】A

【4题答案】

【答案】C

【5题答案】

【答案】D

【6题答案】

【答案】B

【7题答案】

【答案】C

【8题答案】

【答案】B

【9题答案】

【答案】C

【10题答案】

【答案】C

【11题答案】

【答案】A

【12题答案】

【答案】C

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】##

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】

三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

【17题答案】

【答案】（1）72.6；76.5，方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎   

（2）分布列见解析，4

【18题答案】

【答案】(Ⅰ)见解析；

(Ⅱ) ；

(Ⅲ)见解析.

【19题答案】

【答案】（1）平方米   

（2）450平方米

【20题答案】

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【21题答案】

【答案】（1）   

（2）   

（3）

（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

【22题答案】

【答案】（1）点B的极坐标为，点C的极坐标为   

（2）

【23题答案】

【答案】（1）证明见解析，当且仅当时取等号；   

（2）的取值范围或.