北师大版七年级上册2.1 有理数课堂检测

第4讲  有理数的加减乘除乘方运算

知识点1 加减运算

有理数加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

③一个数同0相加，仍得这个数.

有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.

.

有理数加法运算律：

①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.

②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.

有理数加减混合运算的步骤：

①把算式中的减法转化为加法；

②省略加号与括号；

③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.

加减混合运算技巧：

把符号相同的加数相结合；

把和为整数的加数相结合；

把分母相同或便于通分的加数相结合；

既有小数又有分数的运算要统一后再结合；

把带分数拆分后再结合；

分组结合；

先拆项后结合.

【典例】

1.计算：

（1）4+（﹣6）；

（2）（﹣1）+（-）；

（3）-2-（﹣3.5）；

（4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）；

（5）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）.

【方法总结】

考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．

注意：绝对值有括号的作用.

2.【题干】计算：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5；

（2）；

（3）；

（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2015+（﹣2016）+2017+（﹣2018）.

【方法总结】

（1）把和为整数的数结合在一起；（2）把分母相同或容易通分的数结合在一起；（3）拆项法，把带分数拆成整数和分数，再把所有整数和分数分别结合在一起；（4）找规律，相邻两数之和为﹣1．

本题考查的是有理数加减混合运算，掌握有理数加减混合运算的方法“将有理数加减法统一成加法”是解题的关键．能使用运算律的要使用运算律，以简化计算，减少计算错误.

【随堂练习】

1．（2018秋•顺德区期末）如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为　　．

2．（2018秋•梁平区期末）若|a|＝5，|b|＝3，且a+b＜0，那么a﹣b＝　　．

3．（2018秋•李沧区期末）我们知道，在三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数之和都是相等的，在如图的三阶幻方中已经填入了两个数9和15，则图中最右上角的数n应该是　．

4．（2018秋•安仁县期末）已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，那么a+b﹣c＝　　．

二．解答题（共1小题）

5．（2018秋•高邮市期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．

（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为　　；

（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是　　；

（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．

知识点2 乘除运算

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．

任何数同相乘，都得．

有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．

多个有理数相乘：

（1）几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．

（2）几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．

有理数乘法运算律：

（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．

（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．

（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．

倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．

有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.

，

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.

整除：一个整数a除以一个不为0的整数b，商是整数，而没有余数，则我们说a能被b整除（或说b能整除a）.

【典例】

1.计算：（1）（﹣2）×（﹣8）；

（2）（﹣8）÷（﹣1.25）；

（3）；

（4）．

【方法总结】

（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；

（2）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解；

（3）把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；

（4）把小数转化为分数，除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．

本题考查了有理数的乘法和除法，熟记运算法则是解题的关键．

2.计算：

（1）×（﹣）××；

（2）29（﹣）；

（3）﹣5×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）.

【方法总结】

（1）利用乘法交换律和乘法结合律，把分子或分母容易约分的因数结合；

（2）先把除法转换为乘法，再利用乘法的分配律计算；

（3）利用乘法分配律的逆运用，即可解答．

本题考查了有理数的乘除法的运算，解决本题的关键是选用合适的乘法运算律进行计算．

【随堂练习】

1．（2018秋•金湖县期末）我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（　　）

A．1 B．3 C． D．

二．填空题（共2小题）

2．（2018秋•嵊州市期末）已知a、b、c为非零实数，请你探究以下问题：

（1）当a＞0时，＝　　；当ab＜0时，＝　　．

（2）若a+b+c＝0．那么+++的值为　　．

3．（2019•昆明模拟）若|a|＝3，|b|＝5，且a、b异号，则a•b＝　　．

三．解答题（共1小题）

4．（2019•重庆模拟）阅读材料题：

求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法﹣﹣更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．

例如：求91与56的最大公约数

解：91﹣56＝35

56﹣35＝21

35﹣21＝14

21﹣14＝7

14﹣7＝7

所以，91与56的最大公约数是7

请用以上方法解决下列问题：

（1）求108与45的最大公约数；

（2）求三个数78、104、143的最大公约数．

知识点3 乘方

乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．

（1）一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；

（2）在中，叫做底数，叫做指数；

（3）当看作的次方的结果时，读作的次幂．

注意：，其底数为，；

，其底数为，；

，其底数为，；

，其底数为，；

，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．

一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写．

正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.

特别的，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方.

科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．

用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．

万，亿 .

【典例】

1.一张纸的厚度为 0.09mm（毫米），将这张纸连续对折8次，这时它的厚度是多少？假设连续对折始终是可能的，那么对折15次后，所得的厚度是否可以超过你的身高？先猜猜，然后计算出实际答案．

【方法总结】

根据乘方的定义和题意可计算出折第一次、第二次、第三次、第四次得厚度，由此可算出折第8次的厚度．一张纸的厚度为0.09mm，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm；对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm，据此列出算式．即可求解．

本题主要考查从实际问题中寻找规律的能力．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．乘方的意义就是多少个某个数字的乘积．

2.若，则yx=__________．

【方法总结】绝对值和偶次方具有非负性，由“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0”可求出x、y的值，然后将x、y的值代入计算即可求解．

3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km，比太阳到地球的距离还远690000倍．

（1）用科学记数法表示出暗星到地球的距离；

（2）用科学记数法表示出690000这个数；

（3）如果光的速度大约是300000km/s，那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来．

【方法总结】

用科学记数法表示较大数的形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数．确定n的值时，要看由原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

此题考查科学记数法的表示方法，关键是要正确确定a的值以及n的值．

【随堂练习】

1．（2019春•瑞安市期中）已知2n+218+1是一个有理数的平方，则n不能为（　　）

A．﹣20 B．10 C．34 D．36

2．（2018秋•九龙坡区期末）如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，m的倒数等于它本身，则6（a+b）+m2﹣3xy的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

3．（2018秋•李沧区期末）计算24+24+24+24的结果等于（　　）

A．26 B．84 C．216 D．28

4．（2018秋•黔东南州期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，则x4+cdx2﹣的值为（　　）

A．15 B．20 C．﹣20 D．20或﹣20

   综合运用

1.若|a|=2，b=﹣3，c是最大的负整数，a+b﹣c的值为_______．

2.2.5+（﹣2）﹣1.75+（﹣）=____．

3.某外贸企业为参加2016年中国江阴外贸洽谈会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为___________．

4.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米；第n次后剩下的绳子的长度是_______ 米．

5.将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条．

6.计算：（﹣0.5）+|0﹣6|﹣（﹣7）﹣（﹣4.75）．

7.高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：

+18，﹣9，+7，﹣14，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+6，+15．

（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？

（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？

（3）若汽车行驶每千米耗油量为a升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？

8.计算下列各式：

（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；

（2）9×15；

（3）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；

（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．

9.已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y的平方等于它本身，求m的值.