数学九年级下册1 圆习题

第三章　圆综合检测

(满分100分,限时60分钟)

一、选择题(每小题3分,共30分)

1.下列说法正确的个数是 (　　)

①半圆是弧;

②长度相等的两条弧是等弧;

③直径是圆中最长的弦;

④三角形的外心是三角形三条内角平分线的交点.

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

2.☉O的半径为2,线段OP=4,则点P与☉O的位置关系是 (　　)

A.点P在圆内　　　　B.点P在圆上　　　　

C.点P在圆外　　　　D.无法确定

3.(2022贵州铜仁中考)如图,OA,OB是☉O的两条半径,点C在☉O上,若∠AOB=80°,则∠C的度数为              (　　)

A.30°　　　　B.40°　　　　C.50°　　　　D.60°

4.(2022河北邯郸永年月考)已知平面内有☉O和点A,B,若☉O半径为2 cm,线段OA=3 cm,OB=2 cm,则直线AB与☉O的位置关系为(　　)

A.相离　　　　B.相交

C.相切　　　　D.相交或相切

5.(2021黑龙江哈尔滨中考)如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,点B为切点,若AB=8,tan∠BAC=,则BC的长为              (　　)

A.8　　　　B.7　　　　C.10　　　　D.6

6.(2022湖南长沙广益实验中学月考)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接AC,OC,OD,若∠A=20°,则∠COD的度数为              (　　)

A.40°　　　　B.60°

C.80°　　　　D.100°

7.(2022广东中山期末)如图,D是等边△ABC外接圆上的点,且∠DAC

=20°,则∠ACD的度数为(　　)

A.20°　　　　B.30°　　　　

C.40°　　　　D.45°

8.【主题教育·中华优秀传统文化】(2022湖南娄底中考)如图,等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图,等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称,则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是              (　　)

A.

9.【新考法】(2022台湾省中考)有一直径为AB的圆,且圆上有C、D、E、F四点,其位置如图所示.若AC=6,AD=8,AE=5,AF=9,AB=10,则下列弧长关系正确的是              (　　)

A.

B.

C.

D.

10.(2022江苏连云港中考)如图,有一个半径为2的圆形时钟,其中每个刻度间的弧长均相等,过9点和11点的位置作一条线段,则钟面中阴影部分的面积为              (　　)

A.

C.

二、填空题(每小题3分,共18分)

11.(2021湖南长沙中考)如图,在☉O中,弦AB的长为4,圆心到弦AB的距离为2,则∠AOC的度数为　　　　. 

12.(2020四川宜宾中考)如图,A、B、C是☉O上的三点,若△OBC是等边三角形,则cos A=　　　　. 

13.【新独家原创】如图,在以AB为直径的☉O上,C、D分别在AB的两侧,过C作☉O的切线交AB的延长线于P.若∠P=36°,则∠D的度数为　　　　. 

14.【教材变式·P102T2变式】(2022湖南衡阳中考)如图,用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升,滑轮旋转了120°,假设绳索粗细不计,且与滑轮之间没有滑动,则重物上升了　　　　cm.(结果保留π) 

15.(2022浙江金华中考)如图,木工用角尺的短边紧靠☉O于点A,长边与☉O相切于点B,角尺的直角顶点为C.已知AC=6 cm,CB=8 cm,则☉O的半径为　　　　cm. 

16.(2022广西梧州中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接正四边形,分别以点A,O为圆心,取大于OA的定长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交☉O于点E,F.若OA=1,则,AE,AB所围成的阴影部分的面积为　　　　. 

三、解答题(共52分)

17.(6分)如图,已知△ABC,∠B=40°.

(1)在图中,用尺规作出△ABC的内切圆☉O,并标出☉O与边AB,BC,AC的切点D,E,F(保留作图痕迹,不必写作法);

(2)在(1)的条件下,连接EF,DF,求∠EFD的度数.

18.(2022广东中山期末)(6分)如图,☉O的弦AB、CD的延长线相交于点E,且EA=EC.求证:AB=CD.

19.(2022辽宁营口中考)(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作☉O与AC交于点E,过点A作☉O的切线交BC的延长线于点D.

(1)求证:∠D=∠EBC;

(2)若CD=2BC,AE=3,求☉O的半径.

20.【新独家原创】(10分)标准国际男篮比赛和NBA比赛用的篮球直径约为24 cm(如图1).如图2,若以十字线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,上下两条曲线可看做关于x轴对称的抛物线.两条抛物线的顶点相距8 cm,且十字线和两条曲线刚好将圆的周长8等分.

(1)若一条抛物线与☉O交于A、B两点,直接写出弦AB的长;

(2)求两条抛物线的解析式.

                                                                           图1                                        图2

21.(2021贵州贵阳中考)(10分)如图,在☉O中,AC为☉O的直径,AB为☉O的弦,点E是的中点,过点E作AB的垂线,交AB于点M,交☉O于点N,分别连接EB,CN.

(1)EM与BE的数量关系是　　　　　; 

(2)求证:;

(3)若AM=,MB=1,求阴影部分图形的面积.

22.(2022内蒙古包头中考)(12分)如图,AB为☉O的切线,C为切点,D是☉O上一点,过点D作DF⊥AB,垂足为F,DF交☉O于点E,连接EO并延长交☉O于点G,连接CG,OC,OD,已知∠DOE=2∠CGE.

(1)若☉O的半径为5,求CG的长;

(2)试探究DE与EF之间的数量关系,写出并证明你的结论.(请用两种证法解答)

                                                                                                                         备用图

答案全解全析

1.B　圆的任意一条直径的端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆,故①正确;

长度相等的弧不一定是等弧,故②错误;

直径是圆中最长的弦,故③正确;

三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,故④错误.

2.C　∵OP=4>2,∴点P与☉O的位置关系是点P在☉O外.故选C.

3.B　∵OA,OB是☉O的两条半径,点C在☉O上,∠AOB=80°,

∴∠C=∠AOB=40°.故选B.

4.D　☉O的半径为2 cm,线段OA=3 cm,OB=2 cm,即点A到圆心O的距离大于圆的半径,点B到圆心O的距离等于圆的半径,∴点A在☉O外,点B在☉O上,∴直线AB与☉O的位置关系为相交或相切,故选D.

5.D　∵AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,

∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,

∴tan∠BAC=,

∴BC=×8=6.故选D.

6.C　∵弦CD⊥AB,∴,∴∠BOD=∠BOC=2∠A=2×20°=40°,∴∠COD=40°+40°=80°.故选C.

7.C　∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,

∵四边形ABCD是圆内接四边形,

∴∠D=180°-∠B=120°,

∴∠ACD=180°-∠DAC-∠D=40°,

故选C.

8.A　作AD⊥BC于点D,作BE⊥AC于点E,AD和BE交于点O,如图所示,则点O为圆的圆心,

设AB=2a,则BD=a,∵∠ADB=90°,∴AD=a,在Rt△OBD中,易知∠OBD=30°,∴OD=BD·tan 30°=a,∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是,故选A.

9.B　如图,连接BD,BF,∵AB是直径,AB=10,AD=8,∴BD=6,∵AC=6,∴AC=BD,∴,∴,∵AB是直径,AB=10,AF=9,∴BF=,∵AE=5,∴,∴,∴B符合题意,故选B.

10.B　如图,过点O作OD⊥AB于点D,连接OA,OB,

∵∠AOB=2×=60°,∴△OAB是等边三角形,

∴∠AOD=∠BOD

=30°,OA=OB=AB=2,∴AD=BD=AB=1,∴OD=,

∴阴影部分的面积为,

故选B.

11.45°

解析　∵OC⊥AB,∴AC=BC=×4=2,∴OC=AC=2,∴△AOC为等腰直角三角形,∴∠AOC=45°.

12.

解析　∵△OBC是等边三角形,∴∠BOC=60°,

∴∠A=∠BOC=30°,∴cos A=cos 30°=.

13.63°

解析　如图,连接OC,BC,

∵☉O与PC相切于点C,∴OC⊥PC,即∠OCP=90°,

∵∠P=36°,∴∠COP=90°-36°=54°.

∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC==63°,

∵∠D和∠ABC都是所对的圆周角,∴∠D=∠ABC=63°.

14.4π

解析　由题意得,重物上升的距离是半径为6 cm,圆心角为120°的扇形的弧长,即=4π,故答案为4π.

15.

解析　连接OA,OB,过点A作AD⊥OB于点D,如图,

∵长边与☉O相切于点B,∴OB⊥BC,∵AC⊥BC,AD⊥OB,

∴四边形ACBD为矩形,∴BD=AC=6 cm,AD=BC=8 cm.设☉O的半径为r cm,则OA=OB=r cm,∴OD=OB-BD=(r-6)cm,在Rt△OAD中,

∵AD2+OD2=OA2,∴82+(r-6)2=r2,解得r=.

16.

解析　如图,连接OB,OE,由题意可知,直线MN垂直平分线段OA,

∴EA=EO,∵OA=OE,

∴△AOE为等边三角形,∴∠AOE=60°,

∵四边形ABCD是☉O的内接正四边形,

∴∠AOB=90°,∴∠BOE=30°,

∴S阴影=S扇形AOB-(S扇形AOE-S△AOE)-S△AOB=S扇形AOB-S扇形AOE+S△AOE-S△AOB=

S扇形BOE+S△AOE-S△AOB

=.

17.解析　(1)如图,☉O即为所求.

(2)如图,连接OD,

易知∠ODB=∠OEB =90°.

又∵∠ABC=40°,∴∠DOE=140°,

∴∠EFD=∠DOE=70°.

18.证明　如图,连接AC,∵EA=EC,∴∠EAC=∠ECA,∴,

∴,即,∴AB=CD.

19.解析　(1)证明:∵AD与☉O相切于点A,∴∠DAO=90°,

∴∠D+∠ABD=90°,∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,∴∠BEC=90°,∴∠ACB+∠EBC=90°,∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,∴∠D=∠EBC.

(2)∵CD=2BC,∴BD=3BC,∵∠DAB=∠CEB =90°,∠D=∠EBC,

∴△DAB∽△BEC,∴=3,∴AB=3EC,∵AB=AC,∴AE+EC=AB,∴3+EC=3EC,∴EC=1.5,∴AB=3EC=4.5,∴☉O的半径为2.25.

20.解析　(1)弦AB的长约为12 cm.

(2)连接OB,过B作BE⊥x轴,垂足为E(图略).

由题意可知,OC=×8=4(cm),

∠BOE==45°,

∴在Rt△OBE中,OE=BE=OB·sin∠BOE=(cm),即B点的坐标为(6,6).

设开口向上的抛物线的解析式为y=ax2+4,将(6,6)代入,得(6)2a+4=6,解得a=,

∴开口向上的抛物线的解析式为y=x2+4.

由圆的对称性可得另一条抛物线的解析式为y=-x2-4.

21.解析　(1)∵AC为☉O的直径,点E是的中点,

∴∠ABE=45°,∵AB⊥EN,∴△BME是等腰直角三角形,∴BE=EM,故答案为BE=EM.

(2)证明:由(1)知△BME是等腰直角三角形,

∴∠ABE=∠BEN=45°,∴,

∵点E是的中点,∴,

∴,∴,∴.

(3)连接AE,OB,ON,OE,如图,

∵EN⊥AB,垂足为点M,∴∠AME=∠EMB=90°,

∵BM=1,△BME是等腰直角三角形,∴EM=BM=1,

∴BE=,

∵在Rt△AEM中,EM=1,AM=,

∴tan∠EAB=,∴∠EAB=30°,

∴∠EOB=2∠EAB=60°,

又∵OE=OB,∴△EOB是等边三角形,∴OE=BE=,即☉O的半径为,

∵,∴∠CON=∠BOE=60°,∴△CON为等边三角形.

∴S扇形OCN=π,S△OCN=,∴S阴影=S扇形OCN-S△OCN=.

22.解析　(1)如图,连接CE,∵,∴∠COE=2∠CGE.

∵∠DOE=2∠CGE,∴∠COE=∠DOE,

∵AB为☉O的切线,C为切点,∴OC⊥AB,

∴∠OCB=90°,∵DF⊥AB,

∴∠DFB=90°,∴∠OCB=∠DFB=90°,∴OC∥DF,

∴∠COE=∠OED,∴∠DOE=∠OED,∴OD=DE,

∵OD=OE,

∴△ODE是等边三角形,∴∠DOE=60°,

∴∠CGE=30°.

∵☉O的半径为5,∴GE=10,∵GE是☉O的直径,

∴∠GCE=90°,在Rt△GCE中,CG=GE·cos∠CGE=10×cos 30°=10×.

(2)DE=2EF.

证法一:∵∠COE=∠DOE=60°,∴CE=DE,

∵OC=OE,∴△OCE为等边三角形,∴∠OCE=60°,

∵∠OCB=90°,∴∠ECF=30°,

∴EF=CE,∴EF=DE,即DE=2EF.

证法二:如图,过点O作OH⊥DF于H,∴∠OHF=90°,

又∵∠OCB=∠DFC=90°,

∴四边形OCFH是矩形,

∴CF=OH,∵△ODE是等边三角形, OH⊥DF,∴DH=EH,

∵∠COE=60°,OC=OE,∴△OCE为等边三角形,∴CE=OE,

又∵CF=OH,∠CFE=∠OHE=90°,

∴Rt△CFE≌Rt△OHE(HL),∴EF=EH,

∴DH=EH=EF,∴DE=2EF.