2023乌鲁木齐第101中学高三下学期3月月考试题数学（文）含解析

乌鲁木齐市第101中学2022-2023学年

高三下学期三月月考 文科数学试题

总分150分 考试时间120分钟

一、单选题（共12小题每题5分共60分）

1．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．下列命题是真命题的有（    ）

A．有甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的乙个体数为9，则样本容量为32

B．数据的平均数､众数､中位数相同

C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为，则这两组数据中较稳定的是甲

D．一组数的分位数为4

3．已知复数z满足（为虚数单位），则（    ）

A． B．5 C． D．2

4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）

A． B． C． D．

5．将函数的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为（   ）

A． B．

C． D．

6．《易传·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化、阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

8．若函数在上的最大值为，则实数的值为

A．4 B．3 C．2 D．1

9．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AA1＝BC＝5．M是BC中点，则直线A1M与平面ABC所成角的正切值为（　　）

A． B．2 C． D．3

10．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（    ）

A．圆锥的母线长为18

B．圆锥的表面积为27π

C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60°

D．圆锥的体积为

11．已知焦点坐标为、，且过点的椭圆方程为

A． B．

C． D．

12．下列大小关系正确的是

A． B．

C． D．

二、填空题（共16分）

13．设，若，则实数的值等于__________．

14．设点在直线上，与轴相切，且经过点，则的半径为__________.

15．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为______.

16．若，则的最大值是       .

三、解答题（共74分，请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。）

17．为加强素质教育，提升学生综合素养，立德中学为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课.为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表：

(1)补全列联表；

(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？

参考附表：

参考公式：，其中.

18．已知正项数列的前项和为，且和满足：.

（1）求的通项公式；

（2）设数列，求的前项和.

19．如图所示，在长方体中，已知，．

（1）求：凸多面体的体积；

（2）若为线段的中点，求点到平面的距离；

（3）若点、分别在棱、上滑动，且线段的长恒等于，线段的中点为

①试证：点必落在过线段的中点且平行于底面的平面上；

②试求点的轨迹．

20．已知函数.

（1）若,求函数,的最小值;

（2）若在处的切线斜率与无关,求.

21．已知过点的直线与抛物线交于、两点，且，其中为坐标原点.

（1）求的值；

（2）当最小时，求直线的方程.

22．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于A,B两点，且，求AB所在的直线方程.

23．已知，，.

（1）若，求证：；

（2）若，求证：.

文科数学 月考答案解析：

1．A

【分析】由集合的并运算即可求解.

【解析】由题意得，，

故选：A.

2．B

【分析】根据分层抽样的定义计算可判断A；根据平均数､众数､中位数的定义判断B；根据方差公式计算乙组数据方差判断C；根据百分位数的定义判断D.

【解析】对A：甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样，故乙占了样本容量为，故A不正确；

对B：数据的平均数为，

众数为3，中位数为，故B正确；

对C：乙组数的平均数为，

方差为.

乙组数据更稳定，故C错误；

对D：将这组数据从小到大排列：1，2，2，3，

；又，则这组数据的分位数是第七个数与第八个数的平均数，为，故D错误.

故选：B.

3．A

【分析】由复数除法求得，再由复数模的定义求解．

【解析】由题意，

所以，

故选：A．

4．A

【分析】根据三视图，可知该图形是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的，分别求出圆锥和圆柱的体积即可求出答案.

【解析】解：根据三视图，可知该图形是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的，

圆锥的底面半径为2，高为2，

圆柱的地面半径为1，高为4，

所以圆锥的体积为，

圆柱的体积为，

所以该几何体的体积是.

故选：A.

5．A

【分析】求出平移后的解析式，得到，，求出φ的最小正值.

【解析】函数的图像向右平移个单位得到，

故，，解得：，，

当时，取得最小正值为，

故选：A.

6．C

【分析】根据古典概型的概率计算公式逐步求解即可.

【解析】因为阳数：1，3，5，7，9，阴数：2，4，6，8，10，所以从阳数和阴数中各取一数有：种，满足差的绝对值为3的有：，，，，，，共7种，则.

故选：C.

7．A

【解析】先利用判断出函数的奇偶性，再结合0右侧附近函数值的正负得到答案.

【解析】因为，所以为偶函数，

又，所以A选项正确.

故选：A.

8．C

【解析】试题分析：,由得，或．又，得．

考点：导数的应用.

9．B

【解析】根据平面，即可找到为直线与平面所成角，计算即可.

【解析】

因为平面，所以为直线与平面所成角.

在中，，，

.

故选

10．D

【分析】由题意可知，再利用圆锥的表面积公式，侧面积公式及体积公式，即可判断.

【解析】设圆锥的母线长为，以为圆心，为半径的圆的面积为，

又圆锥的侧面积，

因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，

所以，解得，

所以圆锥的母线长为9，故选项A错误；

圆锥的表面积，故选项B错误；

因为圆锥的底面周长为，

设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，

则，解得，

所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120°，故选项C错误；

圆锥的高，

所以圆锥的体积为，故选项D正确．

故选：D．

11．B

【分析】由椭圆焦点坐标，得到椭圆的焦点在轴,且,又由点,则,进而求得的值，即可得到椭圆的标准方程，得到答案.

【解析】由题意,椭圆焦点坐标为、，可得椭圆的焦点在轴,且,

又由过点,则,所以,

所以椭圆的标准方程为.

故选B.

12．A

【解析】∵，∴正确，故选A.

13．-5

【解析】由题意可得：,

结合向量垂直的充要条件可得：，

求解关于实数的方程可得：.

14．1或5##5或1

【分析】由点在直线上设, 圆与轴相切,

应用数形结合可得出与半径的关系,

再根据圆经过点也可写出与半径的关系，求解即可.

【解析】由点在直线上，设.

又与轴相切，且经过点，

半径，且.

解得或.则的半径为1或5.

故答案为: 1或5

15．2

【分析】求出双曲线的渐近线与准线的焦点坐标，利用的面积，找到的关系式，即可求出离心率.

【解析】因为双曲线的两条渐近线为,抛物线的准线为 ，所以 ，因为的面积为,

所以

故答案为：

16．

【解析】设，则，根据面积公式得，①

根据余弦定理得，，

将其代入①式得，

，

由三角形三边关系有，解得，

故当时，取得最大值

考点：解三角形

点评：主要是考查了三角形的面积公式的运用，属于基础题.

17．(1)列联表见解析

(2)能

【分析】（1）根据所给的数据补全列联表即可；

（2）计算卡方，再对比表中数据进行独立性检验即可

(1)

根据题意补全列联表，如下：

(2)

零假设为：选择“书法”或“剪纸”与性别无关.

根据列联表中数据，得，

根据小概率的独立性检验，推断不成立，即有95%的把握认为选“书法”或“剪纸”与性别有关.

18．（1）（2）

【分析】（1）先求出首项，对递推公式再递推一步，两个式子相减，最后可以判断出数列是等差数列，最后求出通项公式即可；

（2）利用错位相减法可以求出的前项和.

【解析】（1）当时，，解得：，

当且时，，

∴，

整理可得：，

∵，∴，∴，

∴数列以2为首项，4为公差的等差数列，

∴.

（2）由（1）知，，.

则，

∴.

19．（1）10；（2）（3）①证明见解析；②点的轨迹为以点M为圆心,为半径的圆在长方体内部的部分．

【分析】（1）根据多面体的体积是长方体的体积与三棱锥体积的差，可得解；

（2）由点M到平面的距离即为点到平面的距离，即为点A到直线BD的距离，由三角形的等面积法可求解；

（3）①由点P到底面ABCD的距离为定值，得点P必在过的中点M，且平行于底面ABCD的平面上；

②由， ,得点的轨迹为以点M为圆心, 为半径的圆在长方体内部的部分．

【解析】解：（1）因为多面体的体积是长方体的体积与三棱锥体积的差，

所以，

所以；

（2）因为点M到平面的距离即为点到平面的距离，即为点A到直线BD的距离，

所以过A作交于N，则由三角形的等面积法得，所以，所以，

于是点M到平面的距离为；

（3）①因为点P到底面ABCD的距离为定值，所以点P必在过的中点M，

且平行于底面ABCD的平面上；

②连接EA，由于， ,

所以点的轨迹为以点M为圆心, 为半径的圆在长方体内部的部分．

故得解.

20．（1）（2）

【分析】（1）求函数的导数,即求得单调区间,从而得到最小值,即可求得答案;

（2）在处的切线斜率与无关,即在处的值与无关,,即分析即的根,即可求得答案.

【解析】（1）当时,

在上单调递减,在上单调递增.

当时,最小值为

（2）

在处的切线斜率与无关

在处的值与无关；

令

在单调递减,在单调递增

当时,(小于趋于),且，

当时,与无关.

故.

21．（1）；（2）.

【分析】（1）设直线的方程为和抛物线方程联立利用韦达定理代入即可求得；（2）利用抛物线定义结合基本不等式求得取最小值时的值，代入点B坐标，将点代入，求得直线方程.

【解析】（1）设直线的方程为

，得

设，，所以，

因为，所以

又，所以，又因为，所以.

（2）根据抛物线定义，得，

所以，当且仅当时等号成立.

将代入，得（负值舍去）.

将代入，得，即点

将点代入，得

所以直线的方程为，即.

22．或

【解析】试题分析：

求出抛物线的焦点坐标，判断直线的斜率是否存在，然后设出直线的方程，与抛物线方程联立消元后得到一元二次方程，根据根与系数的关系和弦长公式求得斜率即可．

试题解析：

由题意得抛物线的焦点为．

当直线的斜率不存在时，由条件可得，不合题意；

所以直线的斜率存在，设其方程为．

由消去x整理得，

∵直线与抛物线交于两点，

∴．

设，

则，

∴，

由条件得，

解得．满足．

∴直线的方程为或．

23．（1）证明见解析（2）证明见解析

【分析】（1）直接利用柯西不等式即可得证．

（2）直接利用三元基本不等式即可得证．

【解析】（1），当且仅当时等号成立，

所以成立；

（2）

又，，，，，，

所以，

则

，当且仅当，即，，时等号成立，

，即得证．