2023乌鲁木齐第四十中学高三下学期3月月考试题数学（文）含解析

乌鲁木齐市第四十中学2022-2023学年

高三下学期三月月考 文科数学试题

总分150分 考试时间120分钟

一、单选题（共12小题每题5分共60分）

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为（    ）

A．18 B．36 C．54 D．72

3．已知为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

4．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知直线交圆于两点，，则（为坐标原点）的面积为（    ）

A． B． C． D．

6．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中某类物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：）

A． B． C． D．

7．如图所示的几何图形是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ）

A． B．

C． D．

8．在中，，则（    ）

A． B． C． D．

9．设等比数列的前项和为，若，则（ ）

A．81 B．72 C．63 D．54

10．现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的推位，其中3家商户开特色小吃店，2家商户开文创产品店，一家商户开新奇玩具店，夜市管理部门要求特色小吃店必须都相邻，且文创产品店不相邻，则不同的排法总数为（    ）

A．48 B．72 C．144 D．96

11．在中，，.当取最大值时，内切圆的半径为（    ）

A． B．

C． D．2

12．已知偶函数在单调递减，若，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（共16分）

13．若向量的夹角为，则__________.

14．如图所示，某几何体的正视图、侧视图均为半圆和等边三角形的组合，俯视图为圆形，则该几何体的全面积为___________．

15．已知函数 图像的一部分如图所示，则该函数

的解析式为_______________.

16．，是椭圆的两个焦点，和是此椭圆上关于原点对称的两个点，且，则的面积是______.

三、解答题（共74分，请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答）

17．某教育科研机构研发了一款新的学习软件，为了测试该软件的受欢迎程度，该公司在某市的两所初中和两所小学按分层抽样法抽取部分学生进行了调研．已知这四所学校在校学生有9000人，其中小学生5400人，参加调研的初中生有180人．

(1)参加调研的小学生有多少人？

(2)该科研机构将调研的情况统计后得到下表：

请将上表填写完整，并据此说明是否有99.9%的把握认为“喜爱使用该学习软件”与“学生年龄”有关．

18．设为等差数列，为数列的前n项和，已知，．

(1)证明：数列为等差数列；

(2)求数列的前n项和．

19．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，平面平面

在棱上运动.

（1）当在何处时，平面；

（2）已知为的中点，与交于点，当平面时，求三棱锥的体积.

20．已知函数，中.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若，对任意实数恒成立，求的最大值.

21．已知椭圆的焦距为，且过点

（1）求椭圆的方程；

（2）若点是椭圆的上顶点，点在以为直径的圆上，延长交椭圆于点，的最大值.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的焦点的极坐标；

（2）若曲线的上焦点为，直线与曲线交于，两点，，求直线的斜率．

23．已知函数是定义在上的奇函数．当时，，

（1）根据奇函数性质画出函数的图像，并写出函数在上的单调区间．

（2）求函数在上的解析式．

文科数学三月月考答案解析：

1．C

【分析】先求出集合B，再求两集合的交集即可

【解析】由，得，解得，

所以，

因为，

所以，

故选：C

2．B

【解析】由频率分布直方图求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数．

【解析】由频率分布直方图得：

每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率为：1﹣（0.03+0.06+0.18+0.14）×2＝0.18，

∴每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为：200×0.18＝36．

故选：B．

3．C

【分析】利用复数的乘除法运算计算即可得出答案.

【解析】解：.

故选：C．

4．C

【分析】根据函数的奇偶性以及函数值的正负进行综合判断.

【解析】因为，所以为奇函数，故排除A选项；

因为时，

令，即，所以，故，排除B、D选项.

故选：C.

5．C

【分析】根据点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，再结合圆的的弦长公式，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.

【解析】由题意，圆，可得圆心，

则圆心 到直线的距离为，

所以，

所以.

故选：C.

6．C

【分析】根据指数式与对数式的互化以及对数的运算法则即可解出．

【解析】因为，所以，，

，所以．

故选：C．

7．B

【分析】主视图即为从正面看到的图像，俯视图为从上向下看到的图像，以及侧视图为从左侧看到的图像，从而判断答案.

【解析】根据主视图就是从正面看到的图像即可得到答案.

故选:B

8．C

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用余弦定理可求的值，可得，利用三角形的内角和定理可求，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解的值．

【解析】，，，

，

，可得，

，

则．

故选：C.

9．C

【分析】由等比数列的性质可得:,成等比数列,即可得出.

【解析】由等比数列的性质可得:,成等比数列,即, 

, 

解得

故选C

10．B

【分析】把小吃店捆绑，然后把文创店插空即可求解．

【解析】先把3家小吃店捆绑全排共有种排法，

再把小吃店与玩具店全排共有种排法，

然后把2家文创店插空全排共有种排法，

所以共有6×2×6＝72种

故选：B.

11．A

【分析】先令，由，平方化简可得当时，有最大值，再由此求出所有边角，再设内切圆半径为，根据等面积法，求出.

【解析】令，，由，平方相加得

，得，显然，

当时，有最大值，则，又，得，则，

设为的中点，如图所示,则，设内切圆的半径为，则

，解得.

故选：A

12．C

【解析】由已知可得，比较的大小，再利用的单调性即可得到答案.

【解析】因为是偶函数，所以，

又，，在单调递减，

所以，即.

故选：C

13．

【分析】代入求解.

【解析】

故答案为：

14．

【分析】该几何体是由上部一个圆锥和下部一个半球所形成的组合体，该几何体的全面积是圆锥的侧面积加半球的表面积．

【解析】由三视图可知，该几何体是由上部一个圆锥和下部一个半球所形成的组合体． ，母线

圆锥的侧面积

半球的表面积

全面积

15．

【分析】通过函数的图象，求出，利用与，列出方程，即可求出，即可得到函数的解析式.

【解析】由图象可知，函数的图象经过与，

，

解得，

故所求的解析式为，故答案为.

16．16

【解析】根据题意，可得，设，所以，又P在椭圆上，联立两方程，可求得，代入面积公式，即可求得答案.

【解析】因为P，Q是椭圆上关于原点对称的两个点，且，所以，

设，所以，

又P在椭圆上，所以，

联立方程，可得，即，

所以的面积.

故答案为：16

17．(1)270人

(2)表格见解析，有99.9%的把握认为“喜爱使用该学习软件”与“学生年龄”有关．

【分析】（1）按照分层抽样的定义即可计算出初中生的人数；

（2）完成卡方表格，根据独立性检验公式，计算后与临界值表格对照，即可判断.

(1)

这四所学校在校学生有9000人，其中小学生5400人，所以初中生有3600人．

因为参加调研的初中生有180人，所以抽取比例为．

所以参加调研的小学生有（人）；

(2)

由（1）知参加调研的总人数为，所以表格中的数据如下表所示：

因为，

所以有99.9%的把握认为“喜爱使用该学习软件”与“学生年龄”有关.

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）待定系数法求解出的首项和等差，进而求出，从而计算出，得到结论；

（2）在第一问的基础上，利用等差数列求和公式求解.

（1）

设等差数列的公差为d，则．

因为，，

所以，解得:，．

所以．

因为，又，

所以数列是等差数列，其首项为，公差为．

（2）

由等差数列求和公式可知：

.

19．（1）当为中点时，平面（2）

【解析】试题分析：（1）设AC与BD相交于点O，当M为PD的中点时，可得：DM=MP，又四边形ABCD是菱形，可得：DO=OB，通过证明OM∥PB，可证PB∥平面MAC．(2)为的中点，则 又，且 ，又...又，点为的中点，到平面的距离为.由等积转化可得即得解.

试题解析：

（1）如图，设AC与BD相交于点N ，

当M为PD的中点时，PB∥平面MAC，

证明：∵四边形ABCD是菱形，

可得：DN=NB，

又∵M为PD的中点，可得：DM=MP，

∴NM为△BDP的中位线，可得：NM∥PB，

又∵NM⊂平面MAC，PB⊄平面MAC，

∴PB∥平面MAC．

（2）为的中点，则 又

，且 ，又.

.

.

又，点为的中点，到平面的距离为.

.

20．(1)的单调增区间为，单调减区间为

(2)0

【分析】（1）直接利用导数讨论函数的单调性；

（2）利用分离参数法得到其中.

设，则，即.讨论的单调性求出得到.

令，利用导数求出的最大值为0.

(1)

函数的定义域为，.

当时，令解得：，

所以当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减.

综上所述：当时，在上单调递增； 在上单调递减..

(2)

当时，，故恒成立可化为其中.

设，则，即.

由（1）可得，在上单调递减.，所以，，即.

下面讨论在上的零点：

①若，即.

此时，，在上单调递增.

故，即；

②若，即.

此时，在上单调递增.，故，所以；

③若，

此时，在上单调递减..

又，.

故存在，使得，

所以在上单调递减，在上单增.

故

又，所以.

令，则，

所以，所以在上单调递减，故，

综上所述：的最大值为0.

21．（1）；（2）.

【分析】（1）根据椭圆的焦距和，结合基本量的关系，可得，进而得到椭圆方程；

（2）由题可得，，进而可求出以为直径的圆方程，设直线的方程为，，分别与圆方程和椭圆方程联立，求出和，根据弦长公式可得和，再利用判别式法，解不等式可得的最大值．

【解析】解：（1）根据题意，椭圆的焦距为，且过点，

可知，，则，

，，

所以椭圆的方程为；

（2）可得，，则，

则以为直径的圆，圆心为，半径为，

以为直径的圆方程为，

即：，

点，由于延长交椭圆于点，则点在直线上，

可知直线的斜率存在，且，

则设直线的方程为，设，

联立直线和圆的方程，得，

解得：，

可得，

联立直线和椭圆的方程，得，

解得：，

可得，

则，

可知，设上式为，

即有，，

，即为，

解得：，

则的最大值为.

22．（1），；（2）．

【解析】（1）用二倍角公式化简，将代入曲线方程，求出曲线的直角坐标方程，进而求出焦点坐标，再化为极坐标；

（2）将直线方程与曲线方程联立，由根与系数关系结合直线参数的几何意义，求出关于的关系式，即可求解.

【解析】（1）由，

得，

∴，

即．

∴曲线是焦点在轴上的椭圆，焦点坐标为，

则焦点的极坐标为，；

（2）将直线的参数方程

（其中为参数，）代入，

得，

整理得：．

∵，

∴与异号，

则，

即，．

∴，

∵，

∴，即直线的斜率为．

23．（1）图像见解析；增区间为，减区间为；

（2）.

【解析】（1）先作出函数在区间上的图像，结合奇函数的对称性可得出该函数在区间上的图像，根据图像可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）设，可得出，由奇函数的性质得出，可得出函数在上的解析式，进而可得出该函数在上的解析式.

【解析】解：（1）函数是上的奇函数，其图像关于原点对称，且当时， ，则函数的图像如下图所示：

由图像知，增区间为，减区间为

（2）设，则，则.

因此，时，，

所以函数在上的解析式为.