高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 直线与圆锥曲线的综合问题优秀课时训练

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§4  直线与圆锥曲线的位置关系

4.2  直线与圆锥曲线的综合问题

1.已知椭圆=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)

A.             B.                 C.-2                D.2

2.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(　　)

A.x=1             B.x=             C.x=2              D.x=

3.若双曲线=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围是(　　)

A.(1,2)            B.(1,2]              C.(1,)            D.(1,]

4.直线y＝kx-1被椭圆C： +y2＝1截得最长的弦长为（　）

A. 3              B.                C. 2              D.

5.已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若＝，则|AB|＝ （　）

A. 9              B.             C.             D.

6.若椭圆+＝1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程为（　）

A. x-2y＝0        B. x+2y-4＝0       C. x+2y-8＝0        D. 2x+13y-34＝0

7.已知椭圆=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若=3,则k= (　　)

A.1               B.               C.                D.2

8.已知直线y＝2x+m与椭圆C： +y2＝1相交于A，B两点，O为坐标原点.当△AOB的面积取得最大值时，|AB|＝（　）

A.            B.             C.              D.

9.[多选题]已知B1,B2分别是椭圆=1(a>b>0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是(　　)

A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值      B.>0

C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为      D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线

10.若直线y＝x-1与双曲线x2-＝1相交于A，B两点，则A，B两点间的距离为　　　　.

11.已知过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为　　　　. 

12.设双曲线=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△ABF的面积为　　　　.

13.已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4.

（1）求动圆圆心M的轨迹方程C；

（2）设不与x轴垂直的直线l与轨迹C交于不同两点P（x1，y1），Q（x1，y2）.若+＝2，求证：直线l过定点.

14.已知点A，B是椭圆L： +＝1（a>b>0）的左、右顶点，点C是椭圆的上顶点，若该椭圆的焦距为，直线AC，BC的斜率之积为-.

（1）求椭圆L的方程.

（2）是否存在过点M（1，0）的直线l与椭圆L交于P，Q两点，使得以PQ为直径的圆经过点C？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

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§4  直线与圆锥曲线的位置关系

4.2  直线与圆锥曲线的综合问题

参考答案

1.A    2.B     3.B     4.B     5.D     6.C     7.B     8.A     9.BC    

10.        11.　      12.       

13.（1）解：设动圆圆心为M（x，y），则x2+（y-2）2-4＝y2，化简得x2＝4y.

（2）证明：易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx+b.

联立直线与轨迹方程得消去y，整理得x2-4kx-4b＝0.

由根与系数的关系得x1+x2＝4k，x1x2＝-4b.由+＝2得x1+x2＝2x1x2，即4k＝-8b，则b＝-k.

所以直线l：y＝kx-k＝，故直线过定点.

14.解：（1）由题意可知c＝，kAC＝，kBC＝-，所以-＝-， 即a2＝4b2.

又a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆L的方程为+y2＝1.

（2）存在.理由：由以PQ为直径的圆经过点C，得CP⊥CQ.

若直线l的斜率为0，则A，B为点P，Q，此时cos∠ACB＝＝-<0，

此时CP，CQ不垂直，不满足题意.

设直线l的方程为x＝my+1，由得（m2+4）y2+2my-3＝0，则有①

设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知x1x2≠0.

因为CP⊥CQ，所以kCPkCQ＝-1，即·＝-1，整理可得（1+m2）y1y2+（m-1）（y1+y2）+2＝0. ②

将①代入②得-+2＝0，整理得3m2-2m-5＝0，解得m＝-1或m＝，

所以直线l的方程为x+y-1＝0或3x-5y-3＝0.