高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 直线与圆锥曲线的综合问题同步训练题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 直线与圆锥曲线的综合问题同步训练题，共8页。

1．直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长是( )
A.eq \f(12\r(2),5) B.eq \f(8\r(2),5)
C.eq \r(34)D.eq \f(\r(17),2)
2．直线l过抛物线y2＝2x的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．若x1＋x2＝3，则弦AB的长是( )
A．4 B．5
C．6 D．8
3．过双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
4．已知抛物线C：y2＝4x，以(1,1)为中点作C的弦，则这条弦所在直线的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．2x＋y＋3＝0
5．已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点P(1,4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是( )
A．y＝±4x B．y＝±eq \f(1,4)x
C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±2x
6．[多选题]已知直线y＝3x＋2被椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)截得的弦长为8，下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋1
C．y＝－3x－2 D．y＝－3x
7．顶点在原点，焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为eq \r(15)的抛物线方程为________．
8．已知点P(1,2)是直线l被椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1所截得的线段的中点，则直线l的方程是________．
9．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，O为坐标原点，平行于轴的直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于P，Q两点，且△OPQ为等边三角形．若直线y＝x－c(c＝eq \r(a2＋b2))与双曲线相交于A，B两点，且|AB|＝6，则双曲线的标准方程为________．
10．已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为eq \f(π,4)的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
[提能力]
11．[多选题]已知双曲线C：x2－eq \f(y2,4)＝1，则下列说法正确的有( )
A．双曲线C的离心率等于半焦距的长
B．双曲线y2－eq \f(x2,4)＝1与双曲线C有相同的渐近线
C．直线x＝eq \f(\r(5),5)被圆x2＋y2＝1截得的弦长为eq \f(4\r(5),5)
D．直线y＝kx＋b(k，b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2
12．[多选题]设椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是( )
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝eq \f(4\r(2),3)
13．已知斜率为k的直线l与椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)，那么k的取值范围是________．
14．过双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1(015．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y＝x＋1与椭圆交于P，Q两点且OP⊥OQ，|PQ|＝eq \f(\r(10),2)，求椭圆的方程．
[培优生]
16．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，过点M(1,0)的直线交椭圆C于A，B两点|MA|＝λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|＝eq \r(2)
(1)求椭圆C的方程；
(2)若λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，求弦长|AB|的取值范围．
课时作业(二十)
1．解析：将直线y＝x＋1代入x2＋4y2＝8，可得x2＋4(x＋1)2＝8，
即5x2＋8x－4＝0，
∴x1＝－2，x2＝eq \f(2,5)，
∴y1＝－1，y2＝eq \f(7,5)，
∴直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长为eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)＋2))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)＋1))\s\up12(2))＝eq \f(12\r(2),5)，故选A.
答案：A
2．解析：由题意得p＝1，
由抛物线的定义知：AB＝AF＋BF＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝3＋1＝4，故选A.
答案：A
3．解析：设F2(c，0)，则eq \f(c2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1⇒y＝±eq \f(b2,a).
对于过双曲线一个焦点的弦长，如果弦是在同一支上，那么最短的弦是垂直于x轴的弦，长度为eq \f(2b2,a)；如果弦是跨两支，那么最短的弦为实轴2a.
过双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点．
若l⊥x轴，则AB为通径，而通径长度eq \f(2b2,a)正好是4，故直线l交双曲线于同支上的A，B两点且|AB|＝4，这样的直线只有一条．
若l经过顶点，此时|AB|＝2，故直线l交双曲线于异支上的A，B两点且|AB|＝4，这样的直线有且只有两条．
故满足|AB|＝4的直线有3条．
答案：C
4．解析：设过点(1，1)的直线交抛物线C于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点．若直线AB垂直于x轴，则线段AB的中点在x轴上，不合乎题意．所以，直线AB的斜率存在，由于点(1，1)为线段AB的中点，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝2,y1＋y2＝2))，由于点A(x1，y1)、B(x2，y2)在抛物线C上，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝4x1,y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝4x2))，两式作差得y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝(y1＋y2)·(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以，直线AB的斜率为kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝2，
因此，直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故选A.
答案：A
5．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，eq \f(y1－y2,x1－x2)＝1.
因为A，B两点在双曲线C上，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2)－\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,b2)＝1，,\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,a2)－\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,b2)＝1))，
所以eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,a2)－eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,b2)＝0，
则eq \f(b2,a2)＝eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,（x1＋x2）（x1－x2）)＝eq \f(8,2)×1＝4，
即eq \f(b,a)＝2，
故双曲线C的渐近线方程是y＝±2x.故选D.
答案：D
6．解析：作出椭圆和有关直线(图略)，由于椭圆关于坐标轴、坐标原点对称，而AC中的直线与直线y＝3x＋2或关于原点对称或关于坐标轴对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，且可从图中看出BD中的直线被椭圆截得的弦长都大于8，故选AC.
答案：AC
7．解析：设所求抛物线的方程为y2＝ax(a≠0).①
直线方程变形为y＝2x＋1，②
设抛物线截直线所得弦为AB.
将②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则|AB|＝eq \r(（1＋22）\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－4,4)))\s\up12(2)－4×\f(1,4))))＝eq \r(15).解得a＝12或a＝－4.
所以所求抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－4x.
答案：y2＝12x或y2＝－4x
8．解析：设直线l与椭圆交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,4)＋\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,8)＝1,\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4)＋\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,8)＝1))，所以eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,4)－eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,8)－\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,8)))，
所以－2·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，且x1＋x2＝2xp＝2，y1＋y2＝2yp＝4，所以kl＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－2·eq \f(2,4)＝－1，所以l：y－2＝－(x－1)即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
9．解析：由双曲线的对称性知∠POQ＝60°，可知双曲线的渐近线的倾斜角为60°和120°，有eq \f(b,a)＝eq \r(3)，得b＝eq \r(3)a，c＝eq \r(a2＋b2)＝2a，则双曲线的方程可化为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3a2)＝1，
整理为3x2－y2＝3a2，联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x2－y2＝3a2,y＝x－2a))，消去y整理为2x2＋4ax－7a2＝0.
设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，有x1＋x2＝－2a，x1x2＝－eq \f(7a2,2)，
则|AB|＝eq \r(2[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq \r(2（4a2＋14a2）)＝6a＝6，
得a＝1，则双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
答案：x2－eq \f(y2,3)＝1
10．解析：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程y2＝2px(p>0)，则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l的方程为y＝x－eq \f(p,2).设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p.①
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))eq \s\up12(2)＝2px，即x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝eq \f(3,2).
∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.
当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.
11．解析：双曲线C：x2－eq \f(y2,4)＝1，可得a＝1，b＝2，c＝eq \r(5)，所以双曲线的离心率为e＝eq \r(5)＝c，所以A正确；
双曲线C：x2－eq \f(y2,4)＝1的渐近线方程为y＝±2x，双曲线y2－eq \f(x2,4)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，所以B不正确；
直线x＝eq \f(\r(5),5)被圆x2＋y2＝1截得的弦长为2eq \r(1－\f(1,5))＝eq \f(4\r(5),5)，所以C正确；
直线y＝kx＋b(k，b∈R)，当b＝0时，直线与双曲线的交点可能是0个，也可能是2个；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线的交点是1个．所以直线与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2，所以D正确．故选ACD.
答案：ACD
12．解析：对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－eq \f(4,2)＝－2≠－1，
所以A项不正确；对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，
即2x＋y－3＝0，所以B项正确；对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))，则kAB·kOM＝1·4＝4≠－2，所以C项不正确；对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得：3x2＋4x＝0，
解得x1＝0，x2＝－eq \f(4,3)，所以|AB|＝eq \r(1＋12)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)－0))＝eq \f(4\r(2),3)，所以D正确；故选BD.
答案：BD
13．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又点A，B在椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上，
则eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,4)＋eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,3)＝1，eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4)＋eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,3)＝1，两式相减可得：
eq \f(（x1－x2）（x1＋x2）,4)＋eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,3)＝0，
又k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2m，则k＝－eq \f(3,4)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(3,4m)，
又点M(1，m)，m>0在椭圆内，则eq \f(1,4)＋eq \f(m2,3)<1，则0所以k<－eq \f(1,2).
答案：k<－eq \f(1,2)
14．解析：双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1的实半轴长为2，虚半轴长为b(0由C的离心率为eq \f(\r(5),2)，得e2＝eq \f(5,4)＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(4＋b2,4)，即b＝1.
∴c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(5).
椭圆方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，如图：
不妨取双曲线的左焦点F1(－eq \r(5)，0)，由图可知，直线l截椭圆所得弦长的最大值为4；
设过F1的直线方程为y＝k(x＋eq \r(5))，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x＋\r(5)）,\f(x2,4)＋y2＝1))，
可得(k2＋1)x2＋2eq \r(5)k2x＋5k2－4＝0.①
由Δ＝(2eq \r(5)k2)2－4(k2＋1)(5k2－4)＝16－4k2≥0，解得－2≤k≤2.
可知当k＝±2时，直线与椭圆相切；要使直线与双曲线C两支都相交，
则k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))；而当k＝eq \f(1,2)时，
①化为5x2＋2eq \r(5)x－11＝0；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－eq \f(2\r(5),5)，x1x2＝－eq \f(11,5).
∴|AB|＝eq \r(1＋\f(1,4))·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \f(\r(5),2)×eq \r(\f(48,5))＝2eq \r(3)，
∴|AB|的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2\r(3)，4)).
答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2\r(3)，4))
15．解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，P(x1，y1)，Q(x2，y2).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,mx2＋ny2＝1，))得(m＋n)x2＋2nx＋n－1＝0，
Δ＝4n2－4(m＋n)(n－1)>0，即m＋n－mn>0.
x1＋x2＝eq \f(－2n,m＋n)，x1x2＝eq \f(n－1,m＋n).
由OP⊥OQ，得x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2＋(x1＋x2)＋1＝0，
∴eq \f(2（n－1）,m＋n)－eq \f(2n,m＋n)＋1＝0，∴m＋n＝2.①
又|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝eq \f(8（m＋n－mn）,（m＋n）2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),2)))eq \s\up12(2)，
将m＋n＝2代入得mn＝eq \f(3,4).②
由①②式，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,2)，,n＝\f(3,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,2)，,n＝\f(1,2)．))
故椭圆方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(3,2)y2＝1或eq \f(3,2)x2＋eq \f(y2,2)＝1.
16．解析：(1)由已知e＝eq \f(\r(2),2)，即eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,2)，则a2＝2b2，①
又当直线垂直于x轴时，|AB|＝eq \r(2)，所以椭圆过点(1，eq \f(\r(2),2))，
代入椭圆方程得eq \f(1,a2)＋eq \f(1,2b2)＝1(a>b>0)，②
联立①②可得a2＝2，b2＝1，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)当过点M的直线斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点，
λ＝eq \f(|MA|,|MB|)＝eq \f(\r(2)＋1,\r(2)－1)＝3＋2eq \r(2)>2或λ＝eq \f(|MA|,|MB|)＝eq \f(\r(2)－1,\r(2)＋1)＝3－2eq \r(2)∴直线的斜率不能为0.
设直线方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程代入椭圆方程得：(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
由根与系数的关系可得，y1＋y2＝－eq \f(2m,m2＋2)，y1y2＝－eq \f(1,m2＋2)，
可得：eq \f(y1,y2)＋eq \f(y2,y1)＋2＝－eq \f(4m2,m2＋2)，
由已知|MA|＝λ|MB|可知，eq \f(y1,y2)＝－λ，∴－λ－eq \f(1,λ)＋2＝－eq \f(4m2,m2＋2)，
又知λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，∴－λ－eq \f(1,λ)＋2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))；
∴－eq \f(1,2)≤－eq \f(4m2,m2＋2)≤0，解得m2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,7))).
|AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2＋1,m2＋2)))eq \s\up12(2)＝8(1－eq \f(1,m2＋2))2，
∵m2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,7)))，∴eq \f(1,m2＋2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,16)，\f(1,2)))，
∴|AB|∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(9\r(2),8))).