数学选择性必修 第一册4.2 直线与圆锥曲线的综合问题习题

第二章　§4　4.2　

A　组·素养自测

一、选择题

1．若椭圆＋＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为(　D　)

A．2　　 B．－2　　

C．　　 D．－

[解析]　设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，又

①－②，得＋＝0，

即＋＝0，

所以所求直线的斜率为＝－.

2．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与双曲线交于M，N两点，且MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程为(　D　)

A．－＝1　　 B．－＝1

C．－＝1　　 D．－＝1

[解析]　由c＝，得a2＋b2＝7.∵焦点为F(，0)，

∴可设双曲线方程为－＝1，①

并设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝x－1代入①并整理，得(7－2a2)x2＋2a2x－a2(8－a2)＝0，

∴x1＋x2＝－，

由已知得－＝－×2，解得a2＝2，

故双曲线的方程为－＝1.

3．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　D　)

A．5　　 B．6　　

C．7　　 D．8

[解析]　易知F(1,0)，过点(－2,0)且斜率为的直线方程为y＝(x＋2)．联立抛物线方程为y2＝4x，得解得或

不妨设M(1,2)，N(4,4)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，所以·＝8.

4．(多选)已知△ABC为等腰直角三角形，其顶点为A，B，C，若圆锥曲线E以A，B焦点，并经过顶点C，该圆锥曲线E的离心率可以是(　ABD　)

A．＋1　　 B．　　

C．　　 D．－1

[解析]　①△ABC为等腰直角三角形，如果C＝，圆锥曲线E为椭圆，e＝＝＝.

②△ABC为等腰直角三角形，如果C＝，A或B为直角，圆锥曲线E为椭圆，e＝＝＝－1.

③△ABC为等腰直角三角形，如果C＝，A或B为直角，圆锥曲线为双曲线，e＝＝＝＋1.

5．已知点P在以点F1，F2分别为左、右焦点的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，且满足·＝0，tan∠PF1F2＝，则该双曲线的离心率是(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　如图，∵点P在以点F1，F2分别为左、右焦点的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，且满足·＝0，

∴PF1⊥PF2，∵tan∠PF1F2＝，

∴＝，

设|PF2|＝x，则|PF1|＝3x，

∴F1F2＝2c＝＝＝ x，

由双曲线定义得2a＝|PF1|－|PF2|＝3x－x＝2x，

∴该双曲线的离心率e＝＝＝.

故选D．

6．(多选)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的(　AD　)

A．最大值为　　 B．最大值为1

C．最小值为　　 D．最小值为

[解析]　设M为椭圆C上一点，且kA2M＝－1，直线A2M的方程为y＝－(x－2)＝－x＋2.

由得7x2－16x＋4＝0，∴2＋x＝，

∴x＝.∴M.

设N为椭圆C上的一点，且kA2N＝－2，直线A2N的方程为y＝－2(x－2)＝－2x＋4，

同理可得N.

∵kA1M＝＝，kA1N＝＝，

∴直线PA1斜率的最大值为，最小值为.

二、填空题

7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为___.

[解析]　设一个焦点为F(c,0)，其中c2＝a2＋b2，过F且垂直于x轴的弦为AB，则A(c，y0)，∵A(c，y0)在双曲线上，∴－＝1.∴y0＝±b＝±.∴|AB|＝2|y0|＝.

8．在直角坐标系中任给一条直线，它与抛物线y2＝2x交于A，B两点，则·的取值范围为_[－1，＋∞)__.

[解析]　设直线方程为x＝ty＋b，代入抛物线y2＝2x，得y2－2ty－2b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2b，∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝b2－2b＝(b－1)2－1，

∴·的取值范围为[－1，＋∞)．

三、解答题

9．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

[解析]　(1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得＝1，∴b＝4，

又e＝＝，则＝，∴1－＝，∴a＝5，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，

设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入椭圆方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为＝，纵坐标为×＝－，即所截线段的中点坐标为.

10．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．

(1)求证：OA⊥OB；

(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．

[解析]　(1)如图所示，由消去x得，ky2＋y－k＝0.

设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－.

∵A、B在抛物线y2＝－x上，

∴y＝－x1，y＝－x2，∴y·y＝x1x2.

∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.

(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0.

令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．

∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN

＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|，

∴S△OAB＝·1·

＝.

∵S△OAB＝，

∴＝，解得k＝±.

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＋y的最小值为(　C　)

A．4　　 　　 B．6　　 　　

C．8　　 　　 D．10

[解析]　当直线的斜率不存在时，其方程为x＝1，

∴y＝4，y＝4，

∴y＋y＝8.

当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，

由得ky2－4y－4k＝0，

∴y1＋y2＝，y1y2＝－4，

∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋8，

∵k2>0，∴y＋y>8，

综上可知，y＋y≥8，故y＋y的最小值为8.

2．已知实数4、m、9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　C　)

A．　　 B．

C．或　　 D．或7

[解析]　∵4、m、9成等比数列，∴m2＝36，∴m＝±6.当m＝6时，圆锥曲线方程为＋y2＝1，其离心率为；当m＝－6时，圆锥曲线方程为y2－＝1，其离心率为，故选C．

3．已知直线y＝k(x＋2)与双曲线－＝1，有如下信息：联立方程组消去y后得到方程Ax2＋Bx＋C＝0，分类讨论：(1)当A＝0时，该方程恒有一解；(2)当A≠0时，Δ＝B2－4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是(　B　)

A．(1，]　　 B．[，＋∞)

C．(1,2]　　 D．[2，＋∞)

[解析]　依题意可知直线恒过定点(－2,0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－，即0<m≤4，又e＝＝，所以e≥.

4．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论不正确的是(　D　)

A．p＝2　　 B．F为AD中点

C．|BD|＝2|BF|　　 D．|BF|＝2

[解析]　如图，

F，直线l的斜率为，则直线方程为y＝，联立得12x2－20px＋3p2＝0.

解得xA＝p，xB＝p，由|AF|＝p＋＝2p＝4，得p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x，xB＝p＝，则|BF|＝＋1＝.|BD|＝＝＝，

∵|BD|＝2|BF|，|BD|＋|BF|＝＋＝4，

则F为AD中点．∴结论正确的是A，B，C．故选D．

二、填空题

5．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|＋|MF|的最小值是_4__.

[解析]　过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|＝|PN|＝4为所求最小值．

6．已知椭圆＋＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝4x＋m对称，则实数m的取值范围是___.

[解析]　设椭圆上关于直线y＝4x＋m对称的两点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y＝－x＋b，代入椭圆方程＋＝1，整理得13x2－8bx＋16b2－48＝0.

由条件知Δ＝－192(4b2－13)>0，解得－<b<　①.

又PQ的中点在直线y＝4x＋m上，且＝，

＝－·＋b＝b，

所以m＝－4·＝－b，

即b＝－m　②.

将②代入①可得－<m<.

故所求m的取值范围为.

三、解答题

7．已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.

(1)试求动点P的轨迹方程C；

(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M、N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程．

[解析]　(1)设点P(x，y)，则依题意有·＝－，整理得＋y2＝1.由于x≠±，所以求得的曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)．

(2)由消去y得，(1＋2k2)x2＋4kx＝0.

解得x1＝0，x2＝(x1、x2分别为M，N的横坐标)，

由|MN|＝|x1－x2|＝×

＝，解得，k＝±1.

所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.

8．(2020·全国Ⅰ卷理，20)已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点．

[解析]　(1)由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．

则＝(a,1)，＝(a，－1)．

由·＝8，得a2－1＝8，

解得a＝3或a＝－3(舍去)．

所以椭圆E的方程为＋y2＝1.

(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．

若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，

由题意可知－3<n<3.

易知直线PA的方程为y＝(x＋3)，

所以y1＝(x1＋3)．

易知直线PB的方程为y＝(x－3)，

所以y2＝(x2－3)．

可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．①

由于＋y＝1，故y＝－，②

由①②可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，

结合x＝my＋n，

得(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.③

将x＝my＋n代入＋y2＝1，

得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.

所以y1＋y2＝－，y1y2＝.

代入③式

得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0.

解得n＝－3(舍去)或n＝.

故直线CD的方程为x＝my＋，

即直线CD过定点.

若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点.

综上，直线CD过定点.