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苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列精品复习练习题
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这是一份苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列精品复习练习题，文件包含823824二项分布与超几何分布原卷版docx、823824二项分布与超几何分布解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
一、n重伯努利试验
1、伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；
2、定义：将一个伯努利实验独立地重复进行次所组成的随机试验称为n重伯努利实验；
3、特征：（1）同一个伯努利实验重复做n次；（2）各次试验的结果相互独立。
二、二项分布
1、二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～，且有，.
注：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是
与.
2、确定一个二项分布模型的步骤
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2）确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性；
（3）设的次独立重复试验中事件发生的次数，则
3、二项分布的增减性与最大值
记，则当时，，pk递增；当时，，递减.
故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；
若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）.
三、超几何分布
定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，，，，，. 其中n，N，，，，，.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布..
题型一 n重伯努利试验
【例1】（2022·高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．设为重伯努利试验中事件发生的次数，则
B．在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响
C．对于重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同
D．如果在次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中，这个事件恰好发生次的概率，
【答案】ABD
【解析】一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验为重伯努利试验．
在重伯努利试验中，各次试验的结果相互之间没有影响，
各次试验中事件发生的概率相同．故B正确，C错误．
二项分布的定义为：在重伯努利试验中，
设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，
则这个事件恰好发生次的概率，．
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，
记作．故A正确，D正确．故选：ABD．
【变式1-1】（2022·高二课时练习）(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（ ）
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
【答案】ABC
【解析】AC符合互斥事件的概念，是互斥事件，不是独立重复试验；
B是相互独立事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环” 的概率不一定相同，
因此不是独立重复试验；
D中在相同的条件下，甲射击10次，是独立重复试验故选：ABC
【变式1-2】（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）一个n重伯努利试验的所有结果构成集合A，则下列说法错误的是（ ）
A．若事件A“试验成功”的概率为，则事件A在第k次实验中才首次发生的概率为
B．集合A内的元素个数不确定
C．用X表示事件B：“得到”发生的次数，p为事件B发生的概率，则
D．该n重伯努利实验共做了n次互相独立的实验
【答案】B
【解析】对于A，事件A“试验成功”的概率为，
则事件A在第k次实验中才首次发生的概率为，故A正确；
对于B，一个n重伯努利试验的所有结果构成合A，
所以集合A内的元素个数为，所以B不正确；
对于C，由二项分布的知识可知，在n次独立重复试验中恰好发生4次的概率为：
，故C正确；
对于D，该n重伯努利实验共做了n次互相独立的实验，故D正确.故选：B.
【变式1-3】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）现有3个小组，每组3人，每人投篮1次，投中的概率均为，若1个小组中至少有1人投中，则称该组为“成功组”，则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】1个小组是“成功组”的概率为,
则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为.故选：B．
题型二 服从二项分布的概率最值
【例2】（2023·全国·高二专题练习）若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．4
【答案】B
【解析】，
则，得，
所以当时，，
当时，，
从而时，取得最大值．故选：B．
【变式2-1】（2022春·山东枣庄·高二统考期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】因为 ，若最大，
则 ，化简得： ， .
代入已知数值得： ，所以 时最大.故选：C.
【变式2-2】（2022春·广东云浮·高二统考期末）已知，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，
因为，所以，
整理得，即，
又，且，所以，故选：B
【变式2-3】（2023·全国·高二专题练习）某人射击一发子弹的命中率为，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n的概率如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（ ）
A．14发 B．15发 C．16发 D．15或16发
【答案】D
【解析】根据题意，设第k发子弹击中目标的概率最大，
而19发子弹中命中目标的子弹数n的概率
（，，，，），
则有且，
即 ，解可得 ，
即第15或16发子弹击中目标的可能性最大，
则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是第15或16发.故选：D．
题型三 求二项分布的分布列
【例3】（2022春·福建福州·高二福州三中校考期末）为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得该产品能销售的概率为，
易知的取值范围为，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则，
所以，，
所以，
，
，
故.故选：C.
【变式3-1】（2022秋·河南南阳·高二南阳市第五中学校校考阶段练习）从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，河南电视台推出的“中国节日”系列节目被年轻人列入必看节目之一.从某平台“中国节日”系列节目的粉丝与游客（未注册的访客）中各随机抽取200人，统计他们的年龄（单位：岁，年龄都在内），并按照，，，，分组，得到粉丝年龄频率分布直方图及游客年龄频数分布表如下所示.
（1）估计粉丝年龄的平均数及游客年龄的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）以频率估计概率，从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝与游客中各随机抽取2人，记这4人中年龄在内的人数为，求的分布列与期望.
【答案】（1），；（2）分布列见解析，数学期望
【解析】（1）由粉丝年龄频率分布直方图知，
由游客年龄频数分布表知，
所以，解得.
（2）从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝中随机抽取1人，
该粉丝年龄在内的概率为，
从该平台“中国节日”系列节目的所有游客中随机抽取1人，
该游客年龄在内的概率为，
由题可得的所有可能取值为0，1，2，3，4，
且，
，
，
，
，
所以的分布列为
.
【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）一个暗箱里放着6个黑球､4个白球.
（1）依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；
（2）有放回地依次取出3个球，求取到白球个数的分布列和均值.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，
【解析】（1）设事件为“第1次取出的是白球”，
事件为“第3次取到黑球”，；
（2）设事件为“取一次球，取到白球”，
则，这3次取球结果互不影响，
则，所以，
其分布列为：
.
【变式3-3】（2023·全国·高二专题练习）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．
（1）设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差；
（2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）
【解析】（1）由题意可知，可取，且服从二项分布，则
，，
，，
，．
由此得的分布如下：
所以，.
（2）由于为这名学生在首次停车前经过的路口数，显然是随机变量，
其取值为且
，，，
，，，
由此得的分布如下：
（3）设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件，
所求概率.
题型四 求超几何分布的概率
【例4】（2022·全国·高二课时练习）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以表示取出的3件中的不合格的件数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据超几何分布的概率公式有,故选:D.
【变式4-1】（2022·高二课时练习）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法一：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则．
法二：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则．故选：A.
【变式4-2】（2022春·陕西延安·高二校考阶段练习）从含有7件次品的20件产品中，任意的抽取4件，表示抽取的次品个数，则表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为表示从20件产品中任意选取4件的选法，
表示选取的4件产品中有3件次品，1件正品的选法
表示选取的4件产品全是次品的选法.
所以故选:D.
【变式4-3】（2022·高二课时练习）（多选）在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中成肉粽的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．随机变量X服从超几何分布 D．
【答案】ACD
【解析】由题意，随机变量服从参数为的超几何分布，
则，所以故B错误，C正确；
又由，，
所以，所以A，D正确.故选：ACD.
题型五 求超几何分布的分布列
【例5】（2023·全国·高二专题练习）某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名女生．推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（1）求高一至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
【答案】（1）；（2）分布列见解析
【解析】（1）高一高二共推荐名男生和名女生，
高一没有学生入选代表队的概率为，
所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为.
（2）根据题意得知，X的所有可能取值为1、2、3．
，，，
所以X的分布列为
【变式5-1】（2022春·河南商丘·高二校联考期末）“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台．“学习强国”学习平台于2019年1月1日在全国正式上线．该平台首次实现了“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习，极大地满足了互联网条件下广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求．某市为了解居民每天关注“学习强国”平台的情况，随机抽取了200位居民，对他们每天关注“学习强国”平台的时间进行统计，得到如下的频数分布表：
（1）根据频数分布表估计这200位居民每天关注“学习强国”平台的平均时间；
（2）为引导广大居民积极利用“学习强国”APP进行理论学习，该市有关部门举办学习经验交流会，从学习时间在和的居民中按分层抽样的方法抽取7人参加交流会，已知这7人中有4名党员，若需要从这7人中选出4人分享学习的心得体会，设选出的党员的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）小时；（2）分布列见解析，
【解析】（1）根据每天关注“学习强国”平台的时间进行统计的频数分布表，
可得平均时间的估计值为：
小时．
（2）由频率分布表可知，在中抽取5人，在中抽取2人，
随机变量的可能取值为1，2，3，4，
可得，，
，，
所以随机变量X的分布列为
所以数学期望．
【变式5-2】（2021春·天津蓟州·高二校考期末）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游4名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这9名导游中随机选择4人参加比赛.
（1）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，
【解析】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；
当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，
则，所以事件发生的概率为；
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4.
，，，
，，
所以，随机变量的分布列为
所以，随机变量的数学期望为（人）
【变式5-3】（2023·全国·高二专题练习）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，(12，14]，(14，16]，(16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记日平均阅读时间在(14，16]内的学生人数为X，求X的分布列及.
【答案】（1）；（2）分布列见解析；
【解析】（1）由概率和为1得：，
解得：；
（2）由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在
，，，，，三组内的学生人数分别为：人，
人，人，
由分层抽样性质知，从阅读时间在中抽取5人，
从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人，
从该10人中抽取3人，则的可能取值为0,1,2,3，
，，
，，
则的分布列为
所以
n
0
1
…
k
…
19
…
…
年龄/岁
频数
10
60
50
45
35
0
1
2
3
4
0
1
2
3
关注时间/小时
频数
10
25
45
50
50
20
X
1
2
3
4
P
0
1
2
3
4
0
1
2
3
一、n重伯努利试验
1、伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；
2、定义：将一个伯努利实验独立地重复进行次所组成的随机试验称为n重伯努利实验；
3、特征：（1）同一个伯努利实验重复做n次；（2）各次试验的结果相互独立。
二、二项分布
1、二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～，且有，.
注：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是
与.
2、确定一个二项分布模型的步骤
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2）确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性；
（3）设的次独立重复试验中事件发生的次数，则
3、二项分布的增减性与最大值
记，则当时，，pk递增；当时，，递减.
故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；
若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）.
三、超几何分布
定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，，，，，. 其中n，N，，，，，.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布..
题型一 n重伯努利试验
【例1】（2022·高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．设为重伯努利试验中事件发生的次数，则
B．在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响
C．对于重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同
D．如果在次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中，这个事件恰好发生次的概率，
【答案】ABD
【解析】一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验为重伯努利试验．
在重伯努利试验中，各次试验的结果相互之间没有影响，
各次试验中事件发生的概率相同．故B正确，C错误．
二项分布的定义为：在重伯努利试验中，
设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，
则这个事件恰好发生次的概率，．
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，
记作．故A正确，D正确．故选：ABD．
【变式1-1】（2022·高二课时练习）(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（ ）
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
【答案】ABC
【解析】AC符合互斥事件的概念，是互斥事件，不是独立重复试验；
B是相互独立事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环” 的概率不一定相同，
因此不是独立重复试验；
D中在相同的条件下，甲射击10次，是独立重复试验故选：ABC
【变式1-2】（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）一个n重伯努利试验的所有结果构成集合A，则下列说法错误的是（ ）
A．若事件A“试验成功”的概率为，则事件A在第k次实验中才首次发生的概率为
B．集合A内的元素个数不确定
C．用X表示事件B：“得到”发生的次数，p为事件B发生的概率，则
D．该n重伯努利实验共做了n次互相独立的实验
【答案】B
【解析】对于A，事件A“试验成功”的概率为，
则事件A在第k次实验中才首次发生的概率为，故A正确；
对于B，一个n重伯努利试验的所有结果构成合A，
所以集合A内的元素个数为，所以B不正确；
对于C，由二项分布的知识可知，在n次独立重复试验中恰好发生4次的概率为：
，故C正确；
对于D，该n重伯努利实验共做了n次互相独立的实验，故D正确.故选：B.
【变式1-3】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）现有3个小组，每组3人，每人投篮1次，投中的概率均为，若1个小组中至少有1人投中，则称该组为“成功组”，则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】1个小组是“成功组”的概率为,
则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为.故选：B．
题型二 服从二项分布的概率最值
【例2】（2023·全国·高二专题练习）若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．4
【答案】B
【解析】，
则，得，
所以当时，，
当时，，
从而时，取得最大值．故选：B．
【变式2-1】（2022春·山东枣庄·高二统考期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】因为 ，若最大，
则 ，化简得： ， .
代入已知数值得： ，所以 时最大.故选：C.
【变式2-2】（2022春·广东云浮·高二统考期末）已知，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，
因为，所以，
整理得，即，
又，且，所以，故选：B
【变式2-3】（2023·全国·高二专题练习）某人射击一发子弹的命中率为，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n的概率如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（ ）
A．14发 B．15发 C．16发 D．15或16发
【答案】D
【解析】根据题意，设第k发子弹击中目标的概率最大，
而19发子弹中命中目标的子弹数n的概率
（，，，，），
则有且，
即 ，解可得 ，
即第15或16发子弹击中目标的可能性最大，
则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是第15或16发.故选：D．
题型三 求二项分布的分布列
【例3】（2022春·福建福州·高二福州三中校考期末）为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得该产品能销售的概率为，
易知的取值范围为，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则，
所以，，
所以，
，
，
故.故选：C.
【变式3-1】（2022秋·河南南阳·高二南阳市第五中学校校考阶段练习）从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，河南电视台推出的“中国节日”系列节目被年轻人列入必看节目之一.从某平台“中国节日”系列节目的粉丝与游客（未注册的访客）中各随机抽取200人，统计他们的年龄（单位：岁，年龄都在内），并按照，，，，分组，得到粉丝年龄频率分布直方图及游客年龄频数分布表如下所示.
（1）估计粉丝年龄的平均数及游客年龄的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）以频率估计概率，从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝与游客中各随机抽取2人，记这4人中年龄在内的人数为，求的分布列与期望.
【答案】（1），；（2）分布列见解析，数学期望
【解析】（1）由粉丝年龄频率分布直方图知，
由游客年龄频数分布表知，
所以，解得.
（2）从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝中随机抽取1人，
该粉丝年龄在内的概率为，
从该平台“中国节日”系列节目的所有游客中随机抽取1人，
该游客年龄在内的概率为，
由题可得的所有可能取值为0，1，2，3，4，
且，
，
，
，
，
所以的分布列为
.
【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）一个暗箱里放着6个黑球､4个白球.
（1）依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；
（2）有放回地依次取出3个球，求取到白球个数的分布列和均值.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，
【解析】（1）设事件为“第1次取出的是白球”，
事件为“第3次取到黑球”，；
（2）设事件为“取一次球，取到白球”，
则，这3次取球结果互不影响，
则，所以，
其分布列为：
.
【变式3-3】（2023·全国·高二专题练习）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．
（1）设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差；
（2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）
【解析】（1）由题意可知，可取，且服从二项分布，则
，，
，，
，．
由此得的分布如下：
所以，.
（2）由于为这名学生在首次停车前经过的路口数，显然是随机变量，
其取值为且
，，，
，，，
由此得的分布如下：
（3）设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件，
所求概率.
题型四 求超几何分布的概率
【例4】（2022·全国·高二课时练习）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以表示取出的3件中的不合格的件数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据超几何分布的概率公式有,故选:D.
【变式4-1】（2022·高二课时练习）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法一：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则．
法二：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则．故选：A.
【变式4-2】（2022春·陕西延安·高二校考阶段练习）从含有7件次品的20件产品中，任意的抽取4件，表示抽取的次品个数，则表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为表示从20件产品中任意选取4件的选法，
表示选取的4件产品中有3件次品，1件正品的选法
表示选取的4件产品全是次品的选法.
所以故选:D.
【变式4-3】（2022·高二课时练习）（多选）在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中成肉粽的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．随机变量X服从超几何分布 D．
【答案】ACD
【解析】由题意，随机变量服从参数为的超几何分布，
则，所以故B错误，C正确；
又由，，
所以，所以A，D正确.故选：ACD.
题型五 求超几何分布的分布列
【例5】（2023·全国·高二专题练习）某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名女生．推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（1）求高一至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
【答案】（1）；（2）分布列见解析
【解析】（1）高一高二共推荐名男生和名女生，
高一没有学生入选代表队的概率为，
所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为.
（2）根据题意得知，X的所有可能取值为1、2、3．
，，，
所以X的分布列为
【变式5-1】（2022春·河南商丘·高二校联考期末）“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台．“学习强国”学习平台于2019年1月1日在全国正式上线．该平台首次实现了“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习，极大地满足了互联网条件下广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求．某市为了解居民每天关注“学习强国”平台的情况，随机抽取了200位居民，对他们每天关注“学习强国”平台的时间进行统计，得到如下的频数分布表：
（1）根据频数分布表估计这200位居民每天关注“学习强国”平台的平均时间；
（2）为引导广大居民积极利用“学习强国”APP进行理论学习，该市有关部门举办学习经验交流会，从学习时间在和的居民中按分层抽样的方法抽取7人参加交流会，已知这7人中有4名党员，若需要从这7人中选出4人分享学习的心得体会，设选出的党员的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）小时；（2）分布列见解析，
【解析】（1）根据每天关注“学习强国”平台的时间进行统计的频数分布表，
可得平均时间的估计值为：
小时．
（2）由频率分布表可知，在中抽取5人，在中抽取2人，
随机变量的可能取值为1，2，3，4，
可得，，
，，
所以随机变量X的分布列为
所以数学期望．
【变式5-2】（2021春·天津蓟州·高二校考期末）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游4名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这9名导游中随机选择4人参加比赛.
（1）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，
【解析】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；
当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，
则，所以事件发生的概率为；
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4.
，，，
，，
所以，随机变量的分布列为
所以，随机变量的数学期望为（人）
【变式5-3】（2023·全国·高二专题练习）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，(12，14]，(14，16]，(16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记日平均阅读时间在(14，16]内的学生人数为X，求X的分布列及.
【答案】（1）；（2）分布列见解析；
【解析】（1）由概率和为1得：，
解得：；
（2）由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在
，，，，，三组内的学生人数分别为：人，
人，人，
由分层抽样性质知，从阅读时间在中抽取5人，
从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人，
从该10人中抽取3人，则的可能取值为0,1,2,3，
，，
，，
则的分布列为
所以
n
0
1
…
k
…
19
…
…
年龄/岁
频数
10
60
50
45
35
0
1
2
3
4
0
1
2
3
关注时间/小时
频数
10
25
45
50
50
20
X
1
2
3
4
P
0
1
2
3
4
0
1
2
3
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