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专题02 代数式、整式与因式分解(考点解读)(全国通用)
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专题02 代数式、整式与因式分解(考点解读)
中考命题解读
代数式在中考命题中多以考查列代数式和求代数式的值为主,难度不大。近几年突出考查“数感”和“符号感”的新题逐渐增多,整数的指数幂的性质及整式的四则运算,会以选择题、填空题或解答题的形式出现,乘法公式、因式分解会在综合题中进行考查,数学与式的应用题始终是中考的一个热点。
考标要求
1. 了解用字母表示数,会灵活运用列代数式表示数量关系
2. 会灵活运用多种方法求代数式的值
3. 了解单项式、多项式、会识别同类项,了解整数指数幂的意义和基本性质
4. 灵活进行整式加减乘除运算
5. 熟练掌握平方差公式、完全平方公式并能从几何角度给出公式的说明
6. 明确因式分解的意义与整式乘法之间的关系
7. 灵活运用提公因式法、公式法进行因式分解
考点精讲
考点1:代数式
定义:用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
考点2:整式的相关概念
(1)定义: 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。
(2)系数:单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.
(3)单次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
考点3:多项式
(1)定义: 几个单项式的和叫多项式.
(2)多项式的项:多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
(3)多项式的次数: 次数最高项的次数叫多项式的次数.
(4)多项式的项数: 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.
(5)常数项:多项式里,不含字母的项叫做常数项.
考点4:整式
单项式和多项式统称为整式。
考点5:整式加减
1.合并同类项:
同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
2. 去括号
(1)如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 ;
(2)如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
考点6:幂运算
(1)幂的乘法运算
口诀:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
am×an=a(m+n)(a≠0,m,n均为正整数,并且m>n)
(2)幂的乘方运算
口诀:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
(m,n都为正整数)
(3)积的乘方运算
口诀:等于将积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
(m,n为正整数)
(4)幂的除法运算
口诀:同底数幂相除,底数不变,指数相减。
am÷an=a(m-n)(a≠0,m,n均为正整数,并且m>n)
考点7:乘法运算
(1)单项式乘单项式
单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
(2)单项式乘多项式
单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加.
(3)多项式乘多项式
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加.
考点8:乘法公式
(1)平方差公式:
(2)完全平方公式:
考点9:除法运算
(1) 单项式的除法:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式:对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
(2)多项式除以单项式:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
考点10:因式分解
1.定义:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.
2.基本方法:
(1)提公因式法
步骤:
第一步是找出公因式;
第二步是提取公因式并确定另一因式.
需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.
(2)公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;
常用的公式:
①平方差公式: a2-b2= (a+b)(a-b)
②完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
真题精选
命题1 列代数式及代数式求值式
1.(2022•长沙)为落实“双减”政策,某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲,乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本的单价为10元/本,乙种读本的单价为8元/本,设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为( )
A.8x元 B.10(100﹣x)元
C.8(100﹣x)元 D.(100﹣8x)元
2.(2022•梧州)若x=1,则3x﹣2= .
3.(2022•邵阳)已知x2﹣3x+1=0,则3x2﹣9x+5= .
4.(2022•广西)阅读材料:整体代值是数学中常用的方法.例如“已知3a﹣b=2,求代数式6a﹣2b﹣1的值.”可以这样解:6a﹣2b﹣1=2(3a﹣b)﹣1=2×2﹣1=3.根据阅读材料,解决问题:若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解,则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 .
命题2 整式的有关概念
5.(2022•湘潭)下列整式与ab2为同类项的是( )
A.a2b B.﹣2ab2 C.ab D.ab2c
6.(2022•攀枝花)下列各式不是单项式的为( )
A.3 B.a C. D.x2y
7.(2022•广东)单项式3xy的系数为 .
命题3 整式的运算
8.(2022•淮安)计算a2•a3的结果是( )
A.a2 B.a3 C.a5 D.a6
9.(2022•包头)若24×22=2m,则m的值为( )
A.8 B.6 C.5 D.2
10.(2022•毕节市)计算(2x2)3的结果,正确的是( )
A.8x5 B.6x5 C.6x6 D.8x6
11.(2022•温州)化简(﹣a)3•(﹣b)的结果是( )
A.﹣3ab B.3ab C.﹣a3b D.a3b
命题4 乘法公式的应用及几何背景
12.(2022•兰州)计算:(x+2y)2=( )
A.x2+4xy+4y2 B.x2+2xy+4y2 C.x2+4xy+2y2 D.x2+4y2
13.(2020•枣庄)图(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空余的部分的面积是( )
A.ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2
14.(2022•遵义)已知a+b=4,a﹣b=2,则a2﹣b2的值为 .
命题5 整式的化简
15.(2022•安顺)先化简,再求值:(x+3)2+(x+3)(x﹣3)﹣2x(x+1),
16.(2022•盐城)先化简,再求值:(x+4)(x﹣4)+(x﹣3)2,其中x2﹣3x+1=0.
17.(2022•广西)先化简,再求值:(x+y)(x﹣y)+(xy2﹣2xy)÷x,其中x=1,y=.
命题7 因式分解及其应用
18.(2022•河池)多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是( )
A.x(x﹣4)+4 B.(x+2)(x﹣2) C.(x+2)2 D.(x﹣2)2
19.(2022•菏泽)分解因式:x2﹣9y2= .
20.(2022•巴中)因式分解:﹣a3+2a2﹣a= .
21.(2022•盘锦)分解因式:x2y﹣2xy2+y3= .
22.(2022•黔西南州)已知ab=2,a+b=3,求a2b+ab2的值是 .
命题8 规律套索题及其应用
23.(2022•西藏)按一定规律排列的一组数据:,﹣,,﹣,,﹣,….则按此规律排列的第10个数是( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
24.(2022•新疆)将全体正偶数排成一个三角形数阵:
按照以上排列的规律,第10行第5个数是( )
A.98 B.100 C.102 D.104
25.(2022•广州)如图,用若干根相同的小木棒拼成图形,拼第1个图形需要6根小木棒,拼第2个图形需要14根小木棒,拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒,则n的值为( )
A.252 B.253 C.336 D.337
26.(2022•十堰)如图,某链条每节长为2.8cm,每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm,按这种连接方式,50节链条总长度为 cm.
专题02 代数式、整式与因式分解(考点解读)
中考命题解读
代数式在中考命题中多以考查列代数式和求代数式的值为主,难度不大。近几年突出考查“数感”和“符号感”的新题逐渐增多,整数的指数幂的性质及整式的四则运算,会以选择题、填空题或解答题的形式出现,乘法公式、因式分解会在综合题中进行考查,数学与式的应用题始终是中考的一个热点。
考标要求
8. 了解用字母表示数,会灵活运用列代数式表示数量关系
9. 会灵活运用多种方法求代数式的值
10. 了解单项式、多项式、会识别同类项,了解整数指数幂的意义和基本性质
11. 灵活进行整式加减乘除运算
12. 熟练掌握平方差公式、完全平方公式并能从几何角度给出公式的说明
13. 明确因式分解的意义与整式乘法之间的关系
14. 灵活运用提公因式法、公式法进行因式分解
考点精讲
考点1:代数式
定义:用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
考点2:整式的相关概念
(1)定义: 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。
(2)系数:单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.
(3)单次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
考点3:多项式
(1)定义: 几个单项式的和叫多项式.
(2)多项式的项:多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
(3)多项式的次数: 次数最高项的次数叫多项式的次数.
(4)多项式的项数: 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.
(5)常数项:多项式里,不含字母的项叫做常数项.
考点4:整式
单项式和多项式统称为整式。
考点5:整式加减
1.合并同类项:
同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
2. 去括号
(1)如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 ;
(2)如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
考点6:幂运算
(1)幂的乘法运算
口诀:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
am×an=a(m+n)(a≠0,m,n均为正整数,并且m>n)
(2)幂的乘方运算
口诀:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
(m,n都为正整数)
(3)积的乘方运算
口诀:等于将积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
(m,n为正整数)
(4)幂的除法运算
口诀:同底数幂相除,底数不变,指数相减。
am÷an=a(m-n)(a≠0,m,n均为正整数,并且m>n)
考点7:乘法运算
(1)单项式乘单项式
单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
(2)单项式乘多项式
单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加.
(3)多项式乘多项式
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加.
考点8:乘法公式
(1)平方差公式:
(2)完全平方公式:
考点9:除法运算
(2) 单项式的除法:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式:对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
(2)多项式除以单项式:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
考点10:因式分解
1.定义:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.
2.基本方法:
(1)提公因式法
步骤:
第一步是找出公因式;
第二步是提取公因式并确定另一因式.
需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.
(2)公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;
常用的公式:
①平方差公式: a2-b2= (a+b)(a-b)
②完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2
真题精选
a2-2ab+b2=(a-b)2
命题1 列代数式及代数式求值式
1.(2022•长沙)为落实“双减”政策,某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲,乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本的单价为10元/本,乙种读本的单价为8元/本,设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为( )
A.8x元 B.10(100﹣x)元
C.8(100﹣x)元 D.(100﹣8x)元
【答案】C
【解答】解:设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为:8(100﹣x)元.
故选:C.
2.(2022•梧州)若x=1,则3x﹣2= .
【答案】1
【解答】解:把x=1代入3x﹣2中,
原式=3×1﹣2=1.
故答案为:1.
3.(2022•邵阳)已知x2﹣3x+1=0,则3x2﹣9x+5= .
【答案】2
【解答】解:∵x2﹣3x+1=0,
∴x2﹣3x=﹣1,
则原式=3(x2﹣3x)+5
=﹣3+5
=2.
故答案为:2.
4.(2022•广西)阅读材料:整体代值是数学中常用的方法.例如“已知3a﹣b=2,求代数式6a﹣2b﹣1的值.”可以这样解:6a﹣2b﹣1=2(3a﹣b)﹣1=2×2﹣1=3.根据阅读材料,解决问题:若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解,则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 .
【答案】14
【解答】解:∵x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解,
∴2a+b=3,
∴b=3﹣2a,
∴4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1
=4a2+4a(3﹣2a)+(3﹣2a)2+4a+2(3﹣2a)﹣1
=4a2+12a﹣8a2+9﹣12a+4a2+4a+6﹣4a﹣1
=14.
解法二:原式=(2a+b)2+2(2a+b)﹣1=32+2×3﹣1=14,
故答案为:14.
命题2 整式的有关概念
5.(2022•湘潭)下列整式与ab2为同类项的是( )
A.a2b B.﹣2ab2 C.ab D.ab2c
【答案】B
【解答】解:在a2b,﹣2ab2,ab,ab2c四个整式中,与ab2为同类项的是:﹣2ab2,
故选:B.
6.(2022•攀枝花)下列各式不是单项式的为( )
A.3 B.a C. D.x2y
【答案】C
【解答】解:A、3是单项式,故本选项不符合题意;
B、a是单项式,故本选项不符合题意;
C、不是单项式,故本选项符合题意;
D、x2y是单项式,故本选项不符合题意;
故选:C.
7.(2022•广东)单项式3xy的系数为 .
【答案】3
【解答】解:单项式3xy的系数为3.
故答案为:3.
命题3 整式的运算
8.(2022•淮安)计算a2•a3的结果是( )
A.a2 B.a3 C.a5 D.a6
【答案】C
【解答】解:a2•a3=a5.
故选:C.
9.(2022•包头)若24×22=2m,则m的值为( )
A.8 B.6 C.5 D.2
【答案】B
【解答】解:∵24×22=24+2=26=2m,
∴m=6,
故选:B.
10.(2022•毕节市)计算(2x2)3的结果,正确的是( )
A.8x5 B.6x5 C.6x6 D.8x6
【答案】D
【解答】解:(2x2)3=8x6.
故选:D.
11.(2022•温州)化简(﹣a)3•(﹣b)的结果是( )
A.﹣3ab B.3ab C.﹣a3b D.a3b
【答案】D
【解答】解:原式=﹣a3•(﹣b)
=a3b.
故选:D.
命题4 乘法公式的应用及几何背景
12.(2022•兰州)计算:(x+2y)2=( )
A.x2+4xy+4y2 B.x2+2xy+4y2 C.x2+4xy+2y2 D.x2+4y2
【答案】A版权所有
【解答】解:(x+2y)2=x2+4xy+4y2.
故选:A.
13.(2020•枣庄)图(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空余的部分的面积是( )
A.ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2
【答案】C
【解答】解:中间部分的四边形是正方形,边长是a+b﹣2b=a﹣b,
则面积是(a﹣b)2.
故选:C.
14.(2022•遵义)已知a+b=4,a﹣b=2,则a2﹣b2的值为 .
【答案】8
【解答】解:∵a+b=4,a﹣b=2,
∴a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
=4×2
=8,
故答案为:8.
命题5 整式的化简
15.(2022•安顺)先化简,再求值:(x+3)2+(x+3)(x﹣3)﹣2x(x+1),
【解答】解:(x+3)2+(x+3)(x﹣3)﹣2x(x+1)
=x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x
=4x,命题6 整式的化简求值
16.(2022•盐城)先化简,再求值:(x+4)(x﹣4)+(x﹣3)2,其中x2﹣3x+1=0.
【解答】解:原式=x2﹣16+x2﹣6x+9
=2x2﹣6x﹣7,
∵x2﹣3x+1=0,
∴x2﹣3x=﹣1,
∴2x2﹣6x=﹣2,
∴原式=﹣2﹣7=﹣9.
17.(2022•广西)先化简,再求值:(x+y)(x﹣y)+(xy2﹣2xy)÷x,其中x=1,y=.
【解答】解:(x+y)(x﹣y)+(xy2﹣2xy)÷x
=x2﹣y2+y2﹣2y
=x2﹣2y,
当x=1,y=时,原式=12﹣2×=0.
命题7 因式分解及其应用
18.(2022•河池)多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是( )
A.x(x﹣4)+4 B.(x+2)(x﹣2) C.(x+2)2 D.(x﹣2)2
【答案】菁DD优网版权所有D
【解答】解:原式=(x﹣2)2.
故选:D.
19.(2022•菏泽)分解因式:x2﹣9y2= .
【答案】(x﹣3y)(x+3y)
【解答】解:原式=(x﹣3y)(x+3y).
故答案为:(x﹣3y)(x+3y).
20.(2022•巴中)因式分解:﹣a3+2a2﹣a= .
【答案】﹣a(a﹣1)2
【解答】解:原式=﹣a(a2﹣2a+1)
=﹣a(a﹣1)2.
故答案为:﹣a(a﹣1)2.
21.(2022•盘锦)分解因式:x2y﹣2xy2+y3= .
【答案】y(x﹣y)2
【解答】解:∵x2y﹣2xy2+y3=y(x2﹣2xy+y2)=y(x﹣y)2.
故答案为:y(x﹣y)2.
22.(2022•黔西南州)已知ab=2,a+b=3,求a2b+ab2的值是 .
【答案】6
【解答】解:a2b+ab2=ab(a+b),
∵ab=2,a+b=3,
∴原式=2×3=6.
故答案为:6.
命题8 规律套索题及其应用
23.(2022•西藏)按一定规律排列的一组数据:,﹣,,﹣,,﹣,….则按此规律排列的第10个数是( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
【答案】A
【解答】解:原数据可转化为:,﹣,,﹣,,﹣,…,
∴=(﹣1)1+1×,
﹣=(﹣1)2+1×,
=(﹣1)3+1×,
...
∴第n个数为:(﹣1)n+1,
∴第10个数为:(﹣1)10+1×=﹣.
故选:A.
24.(2022•新疆)将全体正偶数排成一个三角形数阵:
按照以上排列的规律,第10行第5个数是( )
A.98 B.100 C.102 D.104
【答案】B
【解答】解:由三角形的数阵知,第n行有n个偶数,
则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45个偶数,
∴第9行最后一个数为90,
∴第10行第5个数是90+2×5=100,
故选:B
25.(2022•广州)如图,用若干根相同的小木棒拼成图形,拼第1个图形需要6根小木棒,拼第2个图形需要14根小木棒,拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒,则n的值为( )
A.252 B.253 C.336 D.337
【答案】B
【解答】解:由题意知,第1个图形需要6根小木棒,
第2个图形需要6×2+2=14根小木棒,
第3个图形需要6×3+2×2=22根小木棒,
按此规律,第n个图形需要6n+2(n﹣1)=(8n﹣2)根小木棒,
当8n﹣2=2022时,
解得n=253,
故选:B.
26.(2022•十堰)如图,某链条每节长为2.8cm,每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm,按这种连接方式,50节链条总长度为 cm.
【答案】91
【解答】解:由题意得:
1节链条的长度=2.8cm,
2节链条的总长度=[2.8+(2.8﹣1)]cm,
3节链条的总长度=[2.8+(2.8﹣1)×2]cm,
...
∴50节链条总长度=[2.8+(2.8﹣1)×49]=91(cm),
故答案为:91.
中考命题解读
代数式在中考命题中多以考查列代数式和求代数式的值为主,难度不大。近几年突出考查“数感”和“符号感”的新题逐渐增多,整数的指数幂的性质及整式的四则运算,会以选择题、填空题或解答题的形式出现,乘法公式、因式分解会在综合题中进行考查,数学与式的应用题始终是中考的一个热点。
考标要求
1. 了解用字母表示数,会灵活运用列代数式表示数量关系
2. 会灵活运用多种方法求代数式的值
3. 了解单项式、多项式、会识别同类项,了解整数指数幂的意义和基本性质
4. 灵活进行整式加减乘除运算
5. 熟练掌握平方差公式、完全平方公式并能从几何角度给出公式的说明
6. 明确因式分解的意义与整式乘法之间的关系
7. 灵活运用提公因式法、公式法进行因式分解
考点精讲
考点1:代数式
定义:用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
考点2:整式的相关概念
(1)定义: 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。
(2)系数:单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.
(3)单次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
考点3:多项式
(1)定义: 几个单项式的和叫多项式.
(2)多项式的项:多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
(3)多项式的次数: 次数最高项的次数叫多项式的次数.
(4)多项式的项数: 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.
(5)常数项:多项式里,不含字母的项叫做常数项.
考点4:整式
单项式和多项式统称为整式。
考点5:整式加减
1.合并同类项:
同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
2. 去括号
(1)如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 ;
(2)如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
考点6:幂运算
(1)幂的乘法运算
口诀:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
am×an=a(m+n)(a≠0,m,n均为正整数,并且m>n)
(2)幂的乘方运算
口诀:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
(m,n都为正整数)
(3)积的乘方运算
口诀:等于将积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
(m,n为正整数)
(4)幂的除法运算
口诀:同底数幂相除,底数不变,指数相减。
am÷an=a(m-n)(a≠0,m,n均为正整数,并且m>n)
考点7:乘法运算
(1)单项式乘单项式
单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
(2)单项式乘多项式
单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加.
(3)多项式乘多项式
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加.
考点8:乘法公式
(1)平方差公式:
(2)完全平方公式:
考点9:除法运算
(1) 单项式的除法:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式:对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
(2)多项式除以单项式:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
考点10:因式分解
1.定义:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.
2.基本方法:
(1)提公因式法
步骤:
第一步是找出公因式;
第二步是提取公因式并确定另一因式.
需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.
(2)公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;
常用的公式:
①平方差公式: a2-b2= (a+b)(a-b)
②完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
真题精选
命题1 列代数式及代数式求值式
1.(2022•长沙)为落实“双减”政策,某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲,乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本的单价为10元/本,乙种读本的单价为8元/本,设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为( )
A.8x元 B.10(100﹣x)元
C.8(100﹣x)元 D.(100﹣8x)元
2.(2022•梧州)若x=1,则3x﹣2= .
3.(2022•邵阳)已知x2﹣3x+1=0,则3x2﹣9x+5= .
4.(2022•广西)阅读材料:整体代值是数学中常用的方法.例如“已知3a﹣b=2,求代数式6a﹣2b﹣1的值.”可以这样解:6a﹣2b﹣1=2(3a﹣b)﹣1=2×2﹣1=3.根据阅读材料,解决问题:若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解,则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 .
命题2 整式的有关概念
5.(2022•湘潭)下列整式与ab2为同类项的是( )
A.a2b B.﹣2ab2 C.ab D.ab2c
6.(2022•攀枝花)下列各式不是单项式的为( )
A.3 B.a C. D.x2y
7.(2022•广东)单项式3xy的系数为 .
命题3 整式的运算
8.(2022•淮安)计算a2•a3的结果是( )
A.a2 B.a3 C.a5 D.a6
9.(2022•包头)若24×22=2m,则m的值为( )
A.8 B.6 C.5 D.2
10.(2022•毕节市)计算(2x2)3的结果,正确的是( )
A.8x5 B.6x5 C.6x6 D.8x6
11.(2022•温州)化简(﹣a)3•(﹣b)的结果是( )
A.﹣3ab B.3ab C.﹣a3b D.a3b
命题4 乘法公式的应用及几何背景
12.(2022•兰州)计算:(x+2y)2=( )
A.x2+4xy+4y2 B.x2+2xy+4y2 C.x2+4xy+2y2 D.x2+4y2
13.(2020•枣庄)图(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空余的部分的面积是( )
A.ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2
14.(2022•遵义)已知a+b=4,a﹣b=2,则a2﹣b2的值为 .
命题5 整式的化简
15.(2022•安顺)先化简,再求值:(x+3)2+(x+3)(x﹣3)﹣2x(x+1),
16.(2022•盐城)先化简,再求值:(x+4)(x﹣4)+(x﹣3)2,其中x2﹣3x+1=0.
17.(2022•广西)先化简,再求值:(x+y)(x﹣y)+(xy2﹣2xy)÷x,其中x=1,y=.
命题7 因式分解及其应用
18.(2022•河池)多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是( )
A.x(x﹣4)+4 B.(x+2)(x﹣2) C.(x+2)2 D.(x﹣2)2
19.(2022•菏泽)分解因式:x2﹣9y2= .
20.(2022•巴中)因式分解:﹣a3+2a2﹣a= .
21.(2022•盘锦)分解因式:x2y﹣2xy2+y3= .
22.(2022•黔西南州)已知ab=2,a+b=3,求a2b+ab2的值是 .
命题8 规律套索题及其应用
23.(2022•西藏)按一定规律排列的一组数据:,﹣,,﹣,,﹣,….则按此规律排列的第10个数是( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
24.(2022•新疆)将全体正偶数排成一个三角形数阵:
按照以上排列的规律,第10行第5个数是( )
A.98 B.100 C.102 D.104
25.(2022•广州)如图,用若干根相同的小木棒拼成图形,拼第1个图形需要6根小木棒,拼第2个图形需要14根小木棒,拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒,则n的值为( )
A.252 B.253 C.336 D.337
26.(2022•十堰)如图,某链条每节长为2.8cm,每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm,按这种连接方式,50节链条总长度为 cm.
专题02 代数式、整式与因式分解(考点解读)
中考命题解读
代数式在中考命题中多以考查列代数式和求代数式的值为主,难度不大。近几年突出考查“数感”和“符号感”的新题逐渐增多,整数的指数幂的性质及整式的四则运算,会以选择题、填空题或解答题的形式出现,乘法公式、因式分解会在综合题中进行考查,数学与式的应用题始终是中考的一个热点。
考标要求
8. 了解用字母表示数,会灵活运用列代数式表示数量关系
9. 会灵活运用多种方法求代数式的值
10. 了解单项式、多项式、会识别同类项,了解整数指数幂的意义和基本性质
11. 灵活进行整式加减乘除运算
12. 熟练掌握平方差公式、完全平方公式并能从几何角度给出公式的说明
13. 明确因式分解的意义与整式乘法之间的关系
14. 灵活运用提公因式法、公式法进行因式分解
考点精讲
考点1:代数式
定义:用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
考点2:整式的相关概念
(1)定义: 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。
(2)系数:单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.
(3)单次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
考点3:多项式
(1)定义: 几个单项式的和叫多项式.
(2)多项式的项:多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
(3)多项式的次数: 次数最高项的次数叫多项式的次数.
(4)多项式的项数: 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.
(5)常数项:多项式里,不含字母的项叫做常数项.
考点4:整式
单项式和多项式统称为整式。
考点5:整式加减
1.合并同类项:
同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
2. 去括号
(1)如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 ;
(2)如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
考点6:幂运算
(1)幂的乘法运算
口诀:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
am×an=a(m+n)(a≠0,m,n均为正整数,并且m>n)
(2)幂的乘方运算
口诀:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
(m,n都为正整数)
(3)积的乘方运算
口诀:等于将积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
(m,n为正整数)
(4)幂的除法运算
口诀:同底数幂相除,底数不变,指数相减。
am÷an=a(m-n)(a≠0,m,n均为正整数,并且m>n)
考点7:乘法运算
(1)单项式乘单项式
单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
(2)单项式乘多项式
单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加.
(3)多项式乘多项式
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加.
考点8:乘法公式
(1)平方差公式:
(2)完全平方公式:
考点9:除法运算
(2) 单项式的除法:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式:对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
(2)多项式除以单项式:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
考点10:因式分解
1.定义:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.
2.基本方法:
(1)提公因式法
步骤:
第一步是找出公因式;
第二步是提取公因式并确定另一因式.
需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.
(2)公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;
常用的公式:
①平方差公式: a2-b2= (a+b)(a-b)
②完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2
真题精选
a2-2ab+b2=(a-b)2
命题1 列代数式及代数式求值式
1.(2022•长沙)为落实“双减”政策,某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲,乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本的单价为10元/本,乙种读本的单价为8元/本,设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为( )
A.8x元 B.10(100﹣x)元
C.8(100﹣x)元 D.(100﹣8x)元
【答案】C
【解答】解:设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为:8(100﹣x)元.
故选:C.
2.(2022•梧州)若x=1,则3x﹣2= .
【答案】1
【解答】解:把x=1代入3x﹣2中,
原式=3×1﹣2=1.
故答案为:1.
3.(2022•邵阳)已知x2﹣3x+1=0,则3x2﹣9x+5= .
【答案】2
【解答】解:∵x2﹣3x+1=0,
∴x2﹣3x=﹣1,
则原式=3(x2﹣3x)+5
=﹣3+5
=2.
故答案为:2.
4.(2022•广西)阅读材料:整体代值是数学中常用的方法.例如“已知3a﹣b=2,求代数式6a﹣2b﹣1的值.”可以这样解:6a﹣2b﹣1=2(3a﹣b)﹣1=2×2﹣1=3.根据阅读材料,解决问题:若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解,则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 .
【答案】14
【解答】解:∵x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解,
∴2a+b=3,
∴b=3﹣2a,
∴4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1
=4a2+4a(3﹣2a)+(3﹣2a)2+4a+2(3﹣2a)﹣1
=4a2+12a﹣8a2+9﹣12a+4a2+4a+6﹣4a﹣1
=14.
解法二:原式=(2a+b)2+2(2a+b)﹣1=32+2×3﹣1=14,
故答案为:14.
命题2 整式的有关概念
5.(2022•湘潭)下列整式与ab2为同类项的是( )
A.a2b B.﹣2ab2 C.ab D.ab2c
【答案】B
【解答】解:在a2b,﹣2ab2,ab,ab2c四个整式中,与ab2为同类项的是:﹣2ab2,
故选:B.
6.(2022•攀枝花)下列各式不是单项式的为( )
A.3 B.a C. D.x2y
【答案】C
【解答】解:A、3是单项式,故本选项不符合题意;
B、a是单项式,故本选项不符合题意;
C、不是单项式,故本选项符合题意;
D、x2y是单项式,故本选项不符合题意;
故选:C.
7.(2022•广东)单项式3xy的系数为 .
【答案】3
【解答】解:单项式3xy的系数为3.
故答案为:3.
命题3 整式的运算
8.(2022•淮安)计算a2•a3的结果是( )
A.a2 B.a3 C.a5 D.a6
【答案】C
【解答】解:a2•a3=a5.
故选:C.
9.(2022•包头)若24×22=2m,则m的值为( )
A.8 B.6 C.5 D.2
【答案】B
【解答】解:∵24×22=24+2=26=2m,
∴m=6,
故选:B.
10.(2022•毕节市)计算(2x2)3的结果,正确的是( )
A.8x5 B.6x5 C.6x6 D.8x6
【答案】D
【解答】解:(2x2)3=8x6.
故选:D.
11.(2022•温州)化简(﹣a)3•(﹣b)的结果是( )
A.﹣3ab B.3ab C.﹣a3b D.a3b
【答案】D
【解答】解:原式=﹣a3•(﹣b)
=a3b.
故选:D.
命题4 乘法公式的应用及几何背景
12.(2022•兰州)计算:(x+2y)2=( )
A.x2+4xy+4y2 B.x2+2xy+4y2 C.x2+4xy+2y2 D.x2+4y2
【答案】A版权所有
【解答】解:(x+2y)2=x2+4xy+4y2.
故选:A.
13.(2020•枣庄)图(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空余的部分的面积是( )
A.ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2
【答案】C
【解答】解:中间部分的四边形是正方形,边长是a+b﹣2b=a﹣b,
则面积是(a﹣b)2.
故选:C.
14.(2022•遵义)已知a+b=4,a﹣b=2,则a2﹣b2的值为 .
【答案】8
【解答】解:∵a+b=4,a﹣b=2,
∴a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
=4×2
=8,
故答案为:8.
命题5 整式的化简
15.(2022•安顺)先化简,再求值:(x+3)2+(x+3)(x﹣3)﹣2x(x+1),
【解答】解:(x+3)2+(x+3)(x﹣3)﹣2x(x+1)
=x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x
=4x,命题6 整式的化简求值
16.(2022•盐城)先化简,再求值:(x+4)(x﹣4)+(x﹣3)2,其中x2﹣3x+1=0.
【解答】解:原式=x2﹣16+x2﹣6x+9
=2x2﹣6x﹣7,
∵x2﹣3x+1=0,
∴x2﹣3x=﹣1,
∴2x2﹣6x=﹣2,
∴原式=﹣2﹣7=﹣9.
17.(2022•广西)先化简,再求值:(x+y)(x﹣y)+(xy2﹣2xy)÷x,其中x=1,y=.
【解答】解:(x+y)(x﹣y)+(xy2﹣2xy)÷x
=x2﹣y2+y2﹣2y
=x2﹣2y,
当x=1,y=时,原式=12﹣2×=0.
命题7 因式分解及其应用
18.(2022•河池)多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是( )
A.x(x﹣4)+4 B.(x+2)(x﹣2) C.(x+2)2 D.(x﹣2)2
【答案】菁DD优网版权所有D
【解答】解:原式=(x﹣2)2.
故选:D.
19.(2022•菏泽)分解因式:x2﹣9y2= .
【答案】(x﹣3y)(x+3y)
【解答】解:原式=(x﹣3y)(x+3y).
故答案为:(x﹣3y)(x+3y).
20.(2022•巴中)因式分解:﹣a3+2a2﹣a= .
【答案】﹣a(a﹣1)2
【解答】解:原式=﹣a(a2﹣2a+1)
=﹣a(a﹣1)2.
故答案为:﹣a(a﹣1)2.
21.(2022•盘锦)分解因式:x2y﹣2xy2+y3= .
【答案】y(x﹣y)2
【解答】解:∵x2y﹣2xy2+y3=y(x2﹣2xy+y2)=y(x﹣y)2.
故答案为:y(x﹣y)2.
22.(2022•黔西南州)已知ab=2,a+b=3,求a2b+ab2的值是 .
【答案】6
【解答】解:a2b+ab2=ab(a+b),
∵ab=2,a+b=3,
∴原式=2×3=6.
故答案为:6.
命题8 规律套索题及其应用
23.(2022•西藏)按一定规律排列的一组数据:,﹣,,﹣,,﹣,….则按此规律排列的第10个数是( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
【答案】A
【解答】解:原数据可转化为:,﹣,,﹣,,﹣,…,
∴=(﹣1)1+1×,
﹣=(﹣1)2+1×,
=(﹣1)3+1×,
...
∴第n个数为:(﹣1)n+1,
∴第10个数为:(﹣1)10+1×=﹣.
故选:A.
24.(2022•新疆)将全体正偶数排成一个三角形数阵:
按照以上排列的规律,第10行第5个数是( )
A.98 B.100 C.102 D.104
【答案】B
【解答】解:由三角形的数阵知,第n行有n个偶数,
则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45个偶数,
∴第9行最后一个数为90,
∴第10行第5个数是90+2×5=100,
故选:B
25.(2022•广州)如图,用若干根相同的小木棒拼成图形,拼第1个图形需要6根小木棒,拼第2个图形需要14根小木棒,拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒,则n的值为( )
A.252 B.253 C.336 D.337
【答案】B
【解答】解:由题意知,第1个图形需要6根小木棒,
第2个图形需要6×2+2=14根小木棒,
第3个图形需要6×3+2×2=22根小木棒,
按此规律,第n个图形需要6n+2(n﹣1)=(8n﹣2)根小木棒,
当8n﹣2=2022时,
解得n=253,
故选:B.
26.(2022•十堰)如图,某链条每节长为2.8cm,每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm,按这种连接方式,50节链条总长度为 cm.
【答案】91
【解答】解:由题意得:
1节链条的长度=2.8cm,
2节链条的总长度=[2.8+(2.8﹣1)]cm,
3节链条的总长度=[2.8+(2.8﹣1)×2]cm,
...
∴50节链条总长度=[2.8+(2.8﹣1)×49]=91(cm),
故答案为:91.
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