2022自治区阿拉善盟一中高二下学期期末考试数学（文）含解析

阿拉善盟第一中学2021~2022学年度第二学期高二年级期末考试

数学试题（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 命题，的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.

【详解】解：命题，为存在量词命题，其否定为：，；

故选：C

2. 复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内表示的点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数单位的周期性，结合共轭复数的定义和复数在复平面对应点的坐标进行判断即可.

【详解】因为，

所以，在复平面内表示的点的坐标为，它在第四象限，

故选：D

3. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

被开方数必须为非负数，进而得出的取值范围．

【详解】由题意易得：，即，解得：

∴函数的定义域是．

故选：C．

4. 已知函数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用基本初等函数的导数公式可得结果.

【详解】，因此，.

故选：A.

5. 已知R，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】若，则，则成立．

而当且时，满足，但不成立；

“”是“”的充分不必要条件．

故选：．

6. 从2021年底开始，某有色金属的价格一路水涨船高，下表是2022年我国某企业的前5个月该有色金属价格与月份的统计数据：

由上表可知其线性回归方程为，则（    ）

A. 0.16 B. 0.18 C. 0.30 D. 0.32

【答案】A

【解析】

【分析】根据回归直线必过样本中心即可求解.

【详解】解：由表中数据可得，，

将代入线性回归方程，得，

故选：A.

7. 若函数单调递增，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求导函数，再用分离参数法求出的取值范围.

【详解】，若函数单调递增，必有恒成立，可得.

故选：D

8. 设有下面四个命题：

：若复数z满足，则；

：若复数z满足，则；

：若复数，满足，则；

：若复数，则．

其中正确的是（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】由复数的概念对命题逐一判断

【详解】对于，若复数z满足，则，为真命题，

对于，若，满足，，故为假命题，

对于，若，，满足，，故为假命题，

对于，若复数，则，为真命题．

故选：D

9. 若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据零点存性定理，由题中条件列出不等式求解，即可得出结果.

【详解】因为的零点所在的区间为，

所以只需，

即，解得.

故选：B.

10. 已知函数且在区间上的最大值与最小值的差为1，则实数的值为（    ）

A. 2 B. 4 C. 或4 D. 或2

【答案】C

【解析】

【分析】

令，函数可化为，，进而分和两种情况，分别讨论的单调性，由最大值与最小值的差为1，可求出实数的值.

【详解】令，由，得，

函数可化为，.

①当时，函数在上单调递增，其最大值与最小值差为，解得；

②当时，函数在上单调递减，其最大值与最小值的差为，解得.

所以实数的值为4或.

故选：C

11. 通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有的男大学生“不看”，有的女大学生“不看”，若有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为（    ）

A. 150 B. 170 C. 240 D. 175

【答案】C

【解析】

【分析】由题意列出2×2列联表，并计算出，根据有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，列出不等式，解出，可得答案．

【详解】设男女大学生各有m人，根据题意画出2×2列联表，如下图：

所以，因为有99%的把握认为性别与对产品是否满意有关，所以，解得，所以总人数2m可能为240．

故选：C．

12. 已知函数的定义城为，对任意的，有，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】构造函数，求导分析单调性即可比较大小．

【详解】令，有，

可得函数上单调递增，有，

得，又有，

有，有．

故选：A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据函数解析式，由内而外，逐步计算，即可得出结果.

【详解】因为，

所以，因此．

故答案为：.

14. 已知是虚数单位，复数z满足，则复数z的模为___________.

【答案】

【解析】

【分析】化简求出，再代模长公式即可求解

【详解】由

，

故答案为：

15. 已知函数若对任意的，都有恒成立，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】首先判断为R上的奇函数，再判断出函数在R上单调递增，原不等式可转化为，由一次函数的单调性可得出的不等式组，解不等式组即可得出答案.

【详解】由 ，

，

可知函数为奇函数，又由，

当时，函数和单调递增，

有函数在单调递增，可得函数在R上单调递增．

由，有，

有，可得，

有解得．

故答案为：.

16. 已知曲线，过点的直线与曲线相切于点，则点的横坐标为______________.

【答案】0或或

【解析】

【分析】设切点的坐标，由求出切线方程，把代入切线方程可求得切点坐标．

【详解】设的坐标为，，

过点的切线方程为，

代入点的坐标有，

整理为，

解得或或，

故答案为：0或或.

【点睛】本题考查导数的几何意义．求函数图象的切线方程要分两种情况：

（1）函数图象在点处的切线方程，求出导函数，得出切线方程；

（2）函数图象过点处的切线方程：设切线坐标，求出切线方程为，代入求得，从而得切线方程．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 已知集合，.

（1）若，求实数取值范围；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）解不等式，可求出集合，根据二次函数的性质，可求出集合，由，可建立不等关系，进而可求出实数的取值范围；

（2）先求出及集合，由，可建立不等关系，进而可求出实数的取值范围.

【详解】（1）由题意，，，

因为，所以，解得．

（2）由（1）可知，，

因为，有，得．

18. 已知幂函数，且在上单调递增.

（1）求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据幂函数的定义求出m的值，结合函数的单调性确定m的值即可；

（2）根据幂函数的单调性和奇偶性得到关于t的不等式，解出即可．

【详解】（1）根据幂函数的定义有，，解得或，

①当时，，此时函数在区间上单调递减，不合题意，舍去；

②当时，，此时函数在区间上单调递增，符合题意.

由上知；

（2）由（1）知，此时函数的增区间为，减区间为，且函数为偶函数，图象关于y轴对称，

又由，若，得，解得或，

故实数t的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：在（2）中，函数为偶函数，增区间为，得.

19. 已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为.

（1）将曲线的参数方程化为普通方程；

（2）曲线与曲线有无公共点？试说明理由.

【答案】(1)，.(2)曲线与曲线无公共点，答案见解析.

【解析】

【详解】试题分析：

(1)由同角三角函数消去参数可得曲线的普通方程是，.

(2)曲线的普通方程为.联立直线方程与抛物线方程可得 ，则曲线与曲线无公共点.

试题解析：

（1）由 ，得

，.

（2）由得曲线的普通方程为.

联立得.

解得 ，故曲线与曲线无公共点.

20. 很多人都爱好抖音，为了调查手机用户每天使用抖音的时间，某通讯公司在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性平均每天使用抖音的时间（单位：h）分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图估计女性平均每天使用抖音的时间；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

（2）若每天玩抖音超过4h的用户称为“抖音控”，否则称为“非抖音控”，完成如下列联表，判断是否有90%的把握认为是否是“抖音控”与性别有关．

附表：（参考公式：，其中）

【答案】（1）   

（2）列联表见解析，有90%的把握认为是否是“抖音控”与性别有关

【解析】

【分析】（1）根据平均数公式计算可得；

（2）首先由频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为得到方程，求出，再完善列联表，计算出卡方，即可判断.

【小问1详解】

解：由女性的频率分布直方图，可知女性用户平均每天使用抖音的时间为：

；

【小问2详解】

解：由男性的频率分布直方图，可得，解得．

由两个频率分布直方图，可得列联表如下：

所以，

又因为，而且查表可得，由于，

所以有的把握认为是否是“抖音控”与性别有关．

21. 已知函数在区间上的值域为.

（1）求实数、的值；

（2）若函数有且仅有两个极值点，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用导数分析函数在区间上的单调性，求出函数在区间上的最大值和最小值，可得出关于、的方程组，即可解得这两个未知数的值；

（2）分析可知有两个零点，可得出，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1），

令可得或，令可得，

可得函数的增区间为、，减区间为，

可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

由，，，，①

又由，

可得，可得，有，

又由，

可得，有，可化为，②

解方程①②可得；

（2）由（1）有，有，

若函数有且仅有两个极值点，必有，可得.

22. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若恒成立，求实数的值.

【答案】（1）答案见解析；（2）的值为1.

【解析】

【分析】（1）先求解出，然后对进行分类讨论：，再通过和求解出对应的的范围，由此确定出的单调性；

（2）将问题转化为“在上恒成立”，构造函数，根据分析得到为极小值点，由此求解出的值.

【详解】解：（1）函数的定义域为

.

①当时，令，可得，令，可得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

②当时，令，可得，令，可得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增；

（2）不等式可化为，即.

令，.

由，可知是函数的极小值点，必有，有.

当时，，令，得，令，得，

可得函数的增区间为，减区间为，

故有，得，

故实数的值为1.

【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键点在于通过以及分析得到是的极小值点，由此根据完成的求解，同时需要注意验证.