2023年中考数学二轮复习《等腰三角形》中档题练习（含答案）

这是一份2023年中考数学二轮复习《等腰三角形》中档题练习（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为( )
A.45° B.135° C.45°或67.5° D.45°或135°
2.如图，已知∠ABC＝50°，BD平分∠ABC，过D作DE//AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为( )
A.25° B.130° C.50°或130° D.25°或130°
3.如图，D为BC上一点，且AB＝AC＝BD，则图中∠1与∠2关系是( )
A.∠1＝2∠2 B.∠1＋∠2＝180° C.∠1＋3∠2＝180° D.3∠1﹣∠2＝180°
4.如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：
①△BCD是等腰三角形；
②射线CD是△ACB的角平分线；
③△BCD的周长C△BCD＝AB＋BC；
④△ADM≌△BCD.
正确的有( )
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
5.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是( )
A.BH垂直平分线段AD B.AC平分∠BAD
C.S△ABC＝BC·AH D.AB＝AD
6.如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP.
下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图，直线a、b相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )
A.4 B.5 C. 6 D.7
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，E、F分别是BC、AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是( )
A.∠ECD＝112.5° B.DE平分∠FDC
C.∠DEC＝30° D.AB＝eq \r(2)CD
10.平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0).若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
11.如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP.
下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF.
其中，正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD与点N．
下列结论：
①BD＝CE；②∠BPE＝180°-2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，则PE＝AP+PD．
其中一定正确的结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为 .
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，∠BDE、∠CED的平分线分别交BC于点F、G，EG∥AB.若∠BGE＝110°，则∠BDF的度数为
15.数学活动课上，老师在黑板上画直线l平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形.这样的三角形最多能画 个.
16.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 .
17.如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有 处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于 .
18.如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F.
给出下列四个结论：
①AE＝CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③EF＝AB；
④S四边形AEPF＝eq \f(1,2)S△ABC，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合).
上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).
三、解答题
19.如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E、F.
(1)如图(1)，过A的直线与斜边BC不相交时，求证：①△ABE≌△CAF； ②EF＝BE＋CF
(2)如图(2)，过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，试求EF的长.

20.在△ABC中，AB＝AC.
(1)如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝
(2)如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝
(3)思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：
(4)如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由.
21.已知在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点.
(1)直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G(如图1)，求证：AE＝CG；
(2)直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M(如图2)，找出图中与BE相等的线段，并说明理由.
22.如图1，已知△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点(与点A分别在直线BC两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于E，连接AE交BC于F.
(1)求证：AD垂直BC；
(2)如图1，点E在线段AB上且不与B重合时，求证：DE＝AE；
(3)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE的数量关系.
23.(1)问题发现：如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.
填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD，BE之间的数量关系为 ；
(2)拓展探究：如图②，△ACB和△DCE均为等
腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连结BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
答案
1.D.
2.C.
3.D.
4.B
5.A
6.D.
7.D.
8.C.
9.C.
10.C
11.D.
12.C
13.答案为：30°或150°.
14.答案为：70°.
15.答案为：3.
16.答案为：8.
17.答案为：3；15.
18.答案为：①②④
19.证明：(1)①∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB＝∠CFA＝90°，
∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAB＋∠FAC＝90°，
∴∠EBA＝∠FAC，
在△AEB与△CFA中
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
②∵△ABE≌△CAF，
∴EA＝FC，EB＝FA，
∴EF＝AF＋AE＝BE＋CF；
(2)解：∵BE⊥AF，CF⊥AF
∴∠AEB＝∠CFA＝90°
∴∠EAB＋∠EBA＝90°
∵∠BAC＝90°
∴∠EAB＋∠FAC＝90°
∴∠EBA＝∠FAC，
在△AEB与△CFA中
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴EA＝FC，EB＝FA，
∴EF＝FA﹣EA＝EB﹣FC＝10﹣3＝7.
20.解：(1)∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠EDC＝15°.
(2)∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠EDC＝20°.
(3)∠BAD＝2∠EDC(或∠EDC＝0.5∠BAD)
(4)仍成立，理由如下
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD＋∠B＝∠ADC
＝∠ADE＋∠EDC
＝∠AED＋∠EDC
＝(∠EDC＋∠C)＋∠EDC
＝2∠EDC＋∠C
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠BAD＝2∠EDC.
故分别填15°，20°，∠EDC＝0.5∠BAD
21.证明：(1)∵点D是AB的中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠CAD＝∠CBD＝45°，
∴∠CAE＝∠BCG.
又BF⊥CE，
∴∠CBG＋∠BCF＝90°，
又∵∠ACE＋∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBG，
∴△AEC≌△CGB，
∴AE＝CG.
(2)解：BE＝CM.理由：
∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA＋∠MCH＝90°，∠BEC＋∠MCH＝90°，
∴∠CMA＝∠BEC.
又∵CA＝BC，∠ACM＝∠CBE＝45°，
∴△BCE≌△CAM，
∴BE＝CM.
22.证明：(1)∵AB＝AC，DB＝DC，
∴直线AD是BC的垂直平分线，
∴AD垂直BC；
(2)证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠EDA，
∴DE＝AE；
(3)DE＝AC＋BE.由(2)得，∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠EDA，
∴DE＝AE，
∵AB＝AC，
∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.
23.解：(1)∵∠ACB＝∠DCE，∠DCB＝∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝BC，,∠ACD＝∠BCE，,CD＝CE，))
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD＝BE，∠CEB＝∠ADC＝180°－∠CDE＝120°，
∴∠AEB＝∠CEB－∠CED＝60°；
(2)∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM，
理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵∠ACD＋∠DCB＝90°＝∠DCB＋∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°.
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME.
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM，
∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.