2023年山东省济南市历下区四校联考中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省济南市历下区四校联考中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  年月日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到次，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  实数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将分别标有“最”、“美”、“济”、“南”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如果，那么代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，下列结论：四边形是菱形；；；若平分，则其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若二次函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为        ．

13.  小华在如图所示的正方形网格纸板上玩飞镖游戏每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等，则飞镖落在阴影区域的概率是______．

14.  如图，是正六边形的外接圆，正六边形的边长为，则阴影部分的面积为______ ．

15.  学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动设甲同学跑步的时间为秒，甲、乙两人之间的距离为米，与之间的函数关系如图所示，则图中的值是        ．

16.  如图，三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则        ．

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解．

19.  本小题分
如图，，是▱的对角线上两点，且，求证：．

20.  本小题分
为了解学生对校园安全知识的掌握情况，现随机选取甲，乙两个班，从中各随机抽取名同学组织一次测试，并对在本次测试成绩满分为分进行统计学处理，过程如下：
【收集数据】
甲班名同学的成绩统计数据：单位：分
                           
                           
乙班名同学中成绩在分之间数据：满分为分单位：分
                        
【整理数据】成绩得分用表示
完成下表

甲班成绩得分扇形统计图表示分数
【分析数据】请回答下列问题：
填空：

在甲班成绩得分的扇形统计图中，成绩在的扇形所对的圆心角为        度
若成绩不低于分为优秀，请以甲班、乙班共人为样本估计全年级人中优秀人数为多少？

21.  本小题分
如图，已知是的直径，与相切于点，交的延长线于点，过点作于点．
求证：；
若的半径为，，求的长．

22.  本小题分
交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为，小汽车到测速仪的水平距离，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为图中所有点都在同一平面内．
求，两点之间的距离结果精确到；
若该隧道限速，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．
参考数据：，，，，，，
 

23.  本小题分
为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．工大附中准备购买、两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：种垃圾桶每组的单价比种垃圾桶每组的单价少元，且用元购买种垃圾桶的组数量是用元购买种垃圾桶的组数量的倍．
求、两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；
该学校计划用不超过元的资金购买、两种垃圾桶共组，则最多可以购买种垃圾桶多少组？

24.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点是轴负半轴上一动点，连接，．
求反比例函数及一次函数的表达式；
若的面积为，求点的坐标；
如图，在的条件下，若点为直线上一点，点为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
 

25.  本小题分
【特例感知】
如图，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是
       ；
【类比迁移】
如图，和是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由．
【方法运用】
如图，若，点是线段外一动点，，连接若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值．
 

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，
是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．
求抛物线的表达式；
如图，连接，交线段于点，若，求的值；
如图，已知抛物线的对称轴交轴于点，与直线，分别交于、两点试问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根是．
故选C．
根据求算术平方根的方法可以求得的算术平方根．
本题考查算术平方根，解题的关键是明确求算术平方根的方法．
 

2.【答案】 

【解析】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥．
故选：．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．
 

3.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，

解：，
，
，
，
故选：．
利用平行线的性质可得的度数，再利用平角定义可得答案．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
 

5.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：由数轴可知，，
故，
故选：．
由数轴可知在与之间，故的绝对值小于，大于，故绝对值大于，直接找出答案．
本题考查的是实数与数轴、绝对值，解题的关键是掌握数轴上点的特点．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的结果有种，
两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：，




，
故选：．
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意知，垂直平分，

在和中，
，
≌，
，
，
即四边形是菱形，
故结论正确；
，，
，
，
故结论正确；
，
故结论不正确；
若平分，则，
，
，
，
故结论不正确；
故选：．
根据题意分别证明各个结论来判断即可．
本题主要考查长方形的综合题，熟练掌握长方形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：令，
，
当时，
解得，
，
抛物线对称轴为直线，
符合题意，
当时，且，抛物线与轴有两个交点，
将代入得，
抛物线经过，
当时，抛物线开口向上，，
，
解得，不符合题意，
当时，抛物线开口向下，，
，
解得，
符合题意，
故选：．
由二次函数与轴有两个交点可得的取值范围，分类讨论抛物线开口向上与向下时抛物线与直线的交点位置求解．
本题考查抛物线与轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
直接运用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得，
所以的值为．
故答案为：．
把代入原方程得到关于的方程，然后解关于的一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故飞镖落在阴影区域的概率是．
故答案为：．
直接表示出图中阴影部分的面积所占分率，进而得出飞镖落在阴影区域的概率．
此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是正六边形的外接圆，
，
，
是等边三角形，
，
，
过作于，
，
，
，
，
，
故答案为．
由是正六边形的外接圆可求得，进而求得圆的半径为，由扇形的面积公式求得，由三角形的面积公式求出，根据即可求得结果．
本题主要考查了正多边形和圆，弧长的计算和扇形的面积计算，明确是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
甲的速度为米秒，
乙的速度为：米秒，
则，
故答案为：．
根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲秒跑完米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑秒钟跑的路程之和为米，从而可以求得乙的速度，然后用除以乙的速度，即可得到的值．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出甲、乙的速度．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据折叠，可知，，
，，
，

，
，
设，
，，
，，
，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
，
．
故答案为：．
根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求出的值，进而可得出结论．
本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先计算绝对值、开平方、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
 

18.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
故该不等式组的解集是，
该不等式组的非负整数解是，． 

【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后即可写出该不等式组的非负整数解．
本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】证≌，得，则，再由平行线的判定即可得出结论．
本题考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及平行线的性质与判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】         

【解析】解：由题意可知，乙班在的数据有个，在的有个，
故答案为：，；
甲班人中得分出现次数最多的是分，共出现次，因此甲班学生成绩的众数，
将乙班名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数，
故答案为：，；
，
故答案为：；
人，
答：甲班、乙班共人为样本估计全年级人中优秀人数约为人．
根据数据统计的方法以及各组数据之和等于样本容量可得答案；
根据中位数、众数的定义可求出、的值；
求出甲班成绩在的学生所占调查人数的百分比，即可求出相应的扇形所对的圆心角的度数；
求出样本中甲乙两个班“优秀”所占的百分比，进而估计总体中“优秀”所占的百分比，再根据频率进行计算即可．
本题考查中位数、众数，频数分布表以及扇形统计图，掌握中位数、众数以及频率是正确解答的前提．
 

21.【答案】证明：连接，
切于，
半径，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
；
解：的半径为，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
的长是． 

【解析】连接，由切线的性质得到，由圆周角定理得到，即可证明；
由的正弦求出的长，即可由的正弦求出的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意得：
，，米，
在中，米，

米
在中，米，
米，
米，
，两点之间的距离约为米；
小汽车从点行驶到点没有超速，
理由：由题意得：
米秒，
米秒米秒，
小汽车从点行驶到点没有超速． 

【解析】根据题意可得：，，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据进行计算即可解答；
先求出汽车的行驶速度，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】解：设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种垃圾桶每组的单价为元，种垃圾桶每组的单价为元．
设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多可以购买种垃圾桶组． 

【解析】设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，利用数量总价单价，结合用元购买种垃圾桶的组数量是用元购买种垃圾桶的组数量的倍，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，利用总价单价数量，结合总价不超过元，列出一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】解：反比例函数的图象经过、两点，
，
解得：，，
，
直线经过、两点，
，
解得：，
反比例函数表达式为，一次函数表达式为；
如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，

设，
、，
，，
在中，令，得，
解得：，
，
，
，
，
，
解得：，
；
存在，
设直线的解析式为，把，坐标分别代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设，，
又、，
当、为平行四边形对角线时，与的中点重合，
，
解得：，
，；
当、为平行四边形对角线时，与的中点重合，
，
解得：，
，；
当、为平行四边形对角线时，与的中点重合，
，
解得：，
，；
综上所述，点的坐标为或或． 

【解析】将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式；
如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，设，根据三角形的面积为，建立方程求解即可得出，得出答案；
利用待定系数法可得直线的解析式为，设，，分三种情况：当、为平行四边形对角线时，与的中点重合；当、为平行四边形对角线时，与的中点重合；当、为平行四边形对角线时，与的中点重合；分别建立方程求解即可得出答案．
本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题，防止漏解．
 

25.【答案】 

【解析】解：和是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
故答案为：；
，理由如下：
和是等腰直角三角形，
，，，
，，
∽，
，
；
如图，过点作，且，连接，，

，，
是等腰直角三角形，
，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，，
，
，
又，
∽，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当在的延长线上时，的值最大，最大值为．
由“”可证≌，可得；
通过证明∽，可得，即可求解；
通过证明∽，可得，则点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，综合性较强，难度较大．
 

26.【答案】解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得：，
抛物线的表达式为；
过点作轴，交于点，如图，

令，则，
．
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
，
，

，，
．
，
∽，
，
，
，
解得：或；
为定值，这个定值为理由：

，
抛物线的对称轴为直线．
是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
．
同理可得：直线的解析式为．
当时，，
，
，
．
为定值，这个定值为． 

【解析】利用待定系数法解答即可；
过点作轴，交于点，利用待定系数法求得直线的解析式，设，进而得到，利用，的坐标表示出线段，再利用相似三角形的判定与性质列出关于的方程，解方程即可得出结论；
利用配方法求得抛物线的对称轴，设，利用待定系数法求得直线，的解析式，分别令，求得值，则线段，可得，将两条线段相加即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数的图象和性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，平行线是性质，相似三角形是判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．