2023年山东省济南市历城区三校中考数学第二次联考试卷（含解析）

2023年山东省济南市历城区三校中考数学第二次联考试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  两个完全相同的长方体，按如图方式摆放，其主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  据旅游研究院最新数据显示，今年中秋节国庆节假期，全国实现旅游收入元，将旅游收入元用科学记数法表示为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

4.  如图，直线，点在直线上，且，，那么的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，等腰中，，，点是底边的中点，以、为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点、，若直线上有一个动点，则线段的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”如：、都是“整点”抛物线与轴交于点，两点，若该抛物线在、之间的部分与线段所围的区域包括边界恰有个整点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式：______．

12.  一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．

13.  若的值在两个整数与之间，则______．

14.  如图，在正六边形内，以为边作正五边形，则的度数为：______．

15.  已知是方程的一个根，则方程的另一个根为______．

16.  如图，在中，，点在边上．将沿直线翻折，点落在点处，连接，交于点若，，则的值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
求不等式组的正整数解．

19.  本小题分
如图，菱形中，点，分别在边，上，，求证：．

20.  本小题分
某市为了调查居民的用电情况．有关部门对某小区的户居民的七月用电量进行了调查，数据如下：单位：度
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
整理数据按如下分段整理样本数据并补至表格：表

分析数据，补全下列表格中的统计量：表

得出结论：
表中的______，______，______，______．
若用表中的数据制作一个扇形统计图，则所表示的扇形圆心角的度数为______度．
如果该小区有住户户，请根据样本估计用水量在的居民户数？

21.  本小题分
如图，已知是的直径，点在的延长线上，切于点，过点作，垂足为，交的延长线于点．
求证：；
连接，如果，，求的长．

22.  本小题分
年月日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图、图分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，假设，，三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，．
求此滑雪运动员的小腿的长度；
求此运动员的身高．参考数据：，，
 

23.  本小题分
为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成，已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天．
求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
已知甲公司安装费每天元，乙公司安装费每天元，现需安装教室间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过元，则最多安排甲公司工作多少天？

24.  本小题分
如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图象上，，，动点在轴的上方，且满足．
若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标；
连接、，求的最小值；
若点是平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标．
 

25.  本小题分
【问题发现】
如图所示，和均为正三角形，、、三点共线猜想线段、之间的数量关系为        ；        ；
【类比探究】
如图所示，和均为等腰直角三角形，，，，、、三点共线，线段、交于点此时，线段、之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
【拓展延伸】
如图所示，在中，，，，为的中位线，将绕点顺时针方向旋转，当所在直线经过点时，请直接写出的长．
 

26.  本小题分
已知，抛物线经过、、三点，点是抛物线上一点．
求抛物线的解析式；
当点位于第四象限时，连接，，，若，求直线的解析式；
如图，当点位于第二象限时，过点作直线，分别交轴于，两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
直接利用实数的性质得出答案．
【解答】
解：实数的绝对值是：．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，根据所学知识可得：其主视图是，
故选：．
根据主视图的定义即可得到结果．
此题考查了三视图主视图、正确记忆三视图的概念是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：

，
，
，
，
．
故选：．
由垂线的性质和平角的定义求出的度数，再由平行线的性质即可得出的度数．
本题考查了平行线的性质、垂线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出的度数是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，原计算正确，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式分别进行计算，即可得出答案．
本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的加减，能正确根据分式的加减法则进行计算是解此题的关键．根据同分母的分式相加减法则进行计算即可．
【解答】
解：


，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：函数的图象经过第一、三、四象限，
，，
，
函数的图象经过第一、二、三象限．
故选：．
根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置．
本题考查了一次函数与系数的关系：由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．
，的图象在一、二、三象限；
，的图象经过一、三、四象限；
，的图象经过一、二、四象限；
，的图象经过二、三、四象限．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，
由作法得垂直平分，
，
，
当且仅当、、共线时取等号，
的最小值为，
，点为的中点，
，
在中，，，
，
的最小值为．
故选：．
连接、，如图，利用基本作图可判断垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，由于当且仅当、、共线时取等号，所以的最小值为，接着利用等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理计算出即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质和最短路径问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线化为顶点式为，故函数的对称轴：，和两点关于对称，根据题意，抛物线在、之间的部分与线段所围的区域包括边界恰有个整点，这些整点是，，，，，
如图所示：

当时，

当时，
即：，
解得
故选：．
画出图象，找到该抛物线在、之间的部分与线段所围的区域包括边界恰有个整点的边界，利用与交点位置可得的取值范围．
本题考查抛物线与轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与轴交点位置是本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
找到公因式，提取公因式即可．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：若将每个方格地砖的面积记为，则图中地砖的总面积为，其中阴影部分的面积为，
所以该小球停留在黑色区域的概率是．
故答案为：．
若将每个方格地砖的面积记为，则图中地砖的总面积为，其中阴影部分的面积为，再根据概率公式求解可得．
本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
的值在两个整数与之间，
可得．
故答案为：．
利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出的值．
此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．
 

14.【答案】 

【解析】解：在正六边形内，正五边形中，，，
，
故答案为：．
分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．
本题考查正多边形与圆，解题的关键是求出正多边形的内角，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：设另外一根为，
由根与系数的关系可知：，
，
故答案为：
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查根与系数，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
由折叠性质可得，
，
，
设，则，
由折叠性质可得，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在等腰中，，
，
，
故答案为：．
由可得，从而可得，可得，由折叠性质可得，从而可得，设，则，由折叠性质可得，从而可得，可得，则，从而可得，在等腰中，可得，即可求解．
本题考查折叠的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是利用折叠性质得到为等腰直角三角形，从而求出与的关系．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
其正整数解是，． 

【解析】先解不等式组中的每一个不等式，再把各个不等式的解集的公共部分表示出来，就是不等式组的解集．再写出解集中的正整数即可．
本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

19.【答案】证明：解法一：
四边形是菱形，

，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
．
解法二：
连接，
四边形是菱形，

，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】解法一：由菱形的性质和已知可得，，再证明≌即可；
解法二：连接，由菱形的性质可得，根据等边对等角得出，再证明≌即可．
本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角，运用了一题多解的思路．灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键．
 

20.【答案】         

【解析】解：具体统计用水量在范围的有户，用水量在范围的有户，因此，，
将这户的用水量按从小到大排列，处在中间位置的两个数都是，因此中位数是，
出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，
故答案为：，，，；
，
故答案为：；
户，
答：该小区户住户中水量在的有户．
具体统计各组的频数可得、的值，根据中位数、众数的意义可求出、的值；
用水量在范围的占调查户数的，因此相应的圆心角占的五分之一；
样本估计总体，样本中用水量在的居民户数占调查户数的，估计总体户的五分之三是用水量在的居民户数．
本题考查频数分布表的意义和制作方法，中位数、众数的意义，理解各个数量之间的关系是正确解答的前提．
 

21.【答案】证明：连接，
切于点，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，
，
，
，即，
解得：，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质、等腰三角形的性质与判定定理证明即可；
连接，根据平行线的性质得到，根据正弦的定义求出，根据勾股定理求出，再根据正弦的定义求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

22.【答案】解：在中，，，
，
解得，
此滑雪运动员的小腿的长度为．
由得，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，，
运动员的身高为． 

【解析】在中，，，，即可得出．
由得，，则，在中，，，解得，，根据运动员的身高为可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
则，
答：甲公司每天安装间教室，乙公司每天安装间教室；
设安排甲公司工作天，则乙公司工作天，
根据题意得：，
解得：，
答：最多安排甲公司工作天． 

【解析】设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，由题意：乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天．列出分式方程，解方程即可；
设安排甲公司工作天，则乙公司工作天，由题意：甲公司安装费每天元，乙公司安装费每天元，想尽快完成安装工作且安装总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】解：四边形是矩形，，，
点的坐标为，
点在反比例函数的第一象限内的图象上
，
，
设点的纵坐标为，
．
，
，
当点在这个反比例函数图象上时，则，
，
点的坐标为．

过点，作直线轴．

由知，点的纵坐标为，
点在直线上，
作点关于直线的对称点，则，
连接交直线于点，此时的值最小，
则的最小值．



如图中，当四边形是菱形时，，
作轴，，
，
，
，同理可得．
，，
，．
如图中，当四边形是菱形时，同利用勾股定理可得继而求出．
，，
，．
综上所述，点的坐标为，，，． 

【解析】首先根据点坐标，确定反比例函数的解析式，设点的纵坐标为，根据，构建方程即可解决问题；
过点，作直线轴．由知，点的纵坐标为，推出点在直线上作点关于直线的对称点，则，连接交直线于点，此时的值最小；
分四种情形分别求解即可解决问题；以为菱形边向两侧斜向上作两个菱形，确定两个点位置．以为菱形边向两侧斜向下作两个菱形，确定两个点位置．
本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会理由轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】   

【解析】解：和均为等边三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
，
综上所述，的度数为，线段与之间的数量关系是，
故答案为：，；

结论：，，理由如下：
和均为等腰直角三角形，
，，
，，
和中，，，，
，
，
又，
∽，
，，
，
，
，
，
；

分两种情况：
如图，

，，，
，
，
为的中位线，
，，，，
，，
由旋转的性质得：，
∽，
，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或舍去
；
如图，同得：∽，
则，，

设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或舍去，
；
综上所述，的长为或．
证≌，得，，进而判断出的度数为即可；
证∽，得，，则，再求出，即可得出结论；
分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出的长即可．
本题考查几何变换综合题，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：将、、代入，
，
，
；
过点作交于点，过点作轴交于点，
、，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
的值是为定值，理由如下：
设，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
的值是为定值． 

【解析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
将、、代入，即可求解；
过点作交于点，过点作轴交于点，由题意可得，求出，再由，求出点，求直线的解析式即为所求；
设，分别由待定系数法求出直线的解析式，直线的解析式，就能求出和的长，即可求解．