2023年山东省济南市历下区九校联考中考数学模拟试卷（6月份）（含解析）

2023年山东省济南市历下区九校联考中考数学模拟试卷（6月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  箱厘盒是古代人民日常生活使用的物品．如图是一个清代黄花梨凹面枕头箱箱匣盒的一种，既可当枕头又可存放银钱、文件等物品，它的俯视图是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  年月日，起飞重量约千克的梦天实验舱搭乘长征五号遥四运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在中，，过点作，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  人体细胞有对常染色体和一对性染色体，男性的性染色体是，女性的性染色体是，如果一位女士怀上了一个小孩，那么该小孩为女性的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，将先向上平移个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知、两点的坐标分别为、，线段上有一动点，过点作轴的平行线交抛物线于、两点若，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  国庆节期间，小红的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共个，小红将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在，由此可以估计纸箱内红球的个数约是______个．

13.  若正六边形与正方形按图中所示摆放，连接，则______．

14.  如图，在等腰中，，，以边的中点为圆心，以的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，则阴影部分的面积为        ．

15.  一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，分钟时，再打开出水管排水，分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量升与时间分钟之间的函数关系如图所示，则图中的值为          ．
 

16.  已知四边形是矩形，，，为边上一动点且不与、重合，连接，如图，过点作交于点将沿翻折，点恰好落在边上，那么的长______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  计算：．

四、解答题（本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组：并将解集表示在数轴上．

19.  本小题分
已知：如图，点和点分别在▱的边和上，线段恰好经过的中点．
求证：．

20.  本小题分
为了传承中华优秀传统文化，培养学生自主、团结协作能力，某校推出了以下四个项目供学生选择：家乡导游；艺术畅游；体育世界；博物旅行学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目，学校对某班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解答下列问题：

求该班学生总人数为______ ；
项目所在扇形的圆心角的度数为______ ；
将条形统计图补充完整；
该校有名学生，请你估计选择“博物旅行”项目学生的人数．

21.  本小题分
如图是钢琴缓降器，图和图是钢琴缓降器两个位置的示意图是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点、分别固定在压柄与底板上已知．
如图，当压柄与底座垂直时，约为，求的长；
现将压柄从图的位置旋转到与底座成角即，如图所示，求此时液压伸缩连接杆的长结果保留根号参考数据：，，；，，

22.  本小题分
如图，为的内接三角形，，垂足为，直径平分，交于点，连结．
求证：；
若，，求的长．

23.  本小题分
新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的倍少元，已知用元购买甲品牌消毒剂的数量与用元购买乙品牌消毒剂的数量相同．
求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共瓶，且总费用为元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？

24.  本小题分
如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
______ ； ______ ；
点是线段上一点不与，重合，过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，连接，，，当四边形的面积等于时，求点的坐标；
在的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上如图，请直接写出此时点的对应点的坐标．
 

25.  本小题分
如图，为等边三角形，为平面内任意一点，连接．
如图，在边上时，将绕点逆时针旋转得到，连接，，直接写出与的数量关系为______ ；直线与所夹锐角为______ 度
如图，为外一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，取，的中点，，连接，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由．
如图，在边上时，将绕点逆时针旋转得到，连接交于，为边的中点，连接，猜想与存在的关系，并证明你的猜想．

 

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；
若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；
若点是对称轴上的点，且为直角三角形，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是：．
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面向下看，是一个矩形，
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面向下看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
由，得到，由直角三角形的性质得到．
本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，关键是掌握平行线的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，不能合并，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D符合题意，
故选：．
根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，单项式乘多项式运算法则分别判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，单项式乘多项式，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：列表如下；

由表知共有种等可能结果，其中该小孩为女性的有种结果，
所以该小孩为女性的概率为，
故选：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
根据平移和旋转的性质，将先向上平移个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，即可得点的对应点的坐标．
本题考查了坐标与图形变换旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
【解答】
解：如图，即为所求，

则点的对应点的坐标是．
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
，
，
由作图可知垂直平分线段，
，
，，
∽，
，
，
，
故选：．
利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出即可．
本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，由题意，抛物线的开口向下，．

当抛物线经过点时，，
，
观察图象可知，当抛物线与线段没有交点或经过点时，满足条件，
．
故选：．
如图，由题意，抛物线的开口向下，求出抛物线经过点时的值即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于选择题中的压轴题．
 

11.【答案】． 

【解析】解：．
故答案为．
根据完全平方公式易得．
本题考查了运用完全平方公式分解因式：．
 

12.【答案】 

【解析】解：设红球的个数为，
红球的频率在附近波动，
摸出红球的概率为，即，
解得．
所以可以估计红球的个数为．
故答案为：．
因为摸到红球的频率在附近波动，所以摸出红球的概率为，再设出红球的个数，根据概率公式列方程解答即可．
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
 

13.【答案】 

【解析】本题考查正多边形的内角；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
分别求出正六边形和正方形的一个内角度数，再求出的度数，即可根据三角形内角和求解．
解：正六边形的每一个内角是，
正方形的每个内角是，
，
．
故答案为：．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
点为的中点，
即为直径，
，
，
而为等腰直角三角形，
，
，


，
阴影部分的面积

．
故答案为．
连接，如图，利用圆周角定理得到，再根据等腰直角三角形的性质得，所以，根据扇形面积公式和计算出，然后利用阴影部分的面积进行计算．
本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或其中为扇形的弧长；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数的图象，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
设出水管每分钟排水升．由题意进水管每分钟进水升，则有，求出，再求出分钟后的放水时间，可得结论．
【解答】
解：设出水管每分钟排水升．
由题意进水管每分钟进水升，
则有，
，
分钟后的放水时间，，
，
故答案为：．  

16.【答案】或 

【解析】解：过点作于，如图所示：

则四边形是矩形，
，，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
同理可得：，
，
，
，
设，则，，，
，
，，
，
解得：或，
或．
故答案为：或．
过点作于，则四边形是矩形，得出，，由折叠的性质得出，，，证明∽，得出，则，由，得出，则，得出，设，则，，，则，求出，，由，即可得出结果；
本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、一元二次方程的解法，三角形面积的计算等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式． 

【解析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值化简，即可得到结果．
此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数幂及负指数幂，二次根式的化简，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集是，
在数轴上表示不等式组的解集为：
． 

【解析】分别求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，要注意表示解集时实心与空心的区别．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中
，
≌，
，

． 

【解析】直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法得出≌，进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形性质以及全等三角形的判定，正确掌握相关性质是解题关键．
 

20.【答案】；
；
解：人，补全条形统计图如图所示：

解：人，
答：该校有名学生中选择“博物旅行”项目的大约有人． 

【解析】解：人，
故答案为：；
，
故答案为：；
见答案．
从两个统计图中可知，选择“家乡导游”的有人，占调查人数的，可求出调查人数；
“艺术畅游”的占，因此相应的圆心角的度数占的，计算可得答案；
求出“体育世界”的人数即可补全条形统计图；
样本估计总体，样本中选择“博物旅行”的占调查人数的，因此估计总体人的是选择“博物旅行”的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，用样本估计总体，理解两个统计图中的数量关系是正确解答的关键．
 

21.【答案】解：在中，，，，
，
．
答：的长为；
在图中，过点作于点．
在中，，，，
，，
，．
在中，，，，
．
答：此时液压伸缩连接杆的长为． 

【解析】在中，由，结合的长及的度数，即可求出的长；
在图中，过点作于点，在中，通过解直角三角形，可求出，的长，再在中，利用勾股定理，即可求出的长．
本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是：在中，通过解直角三角形求出的长；在中，利用勾股定理求出的长．
 

22.【答案】证明：为的直径，
，
，
，
，
，
平分，
，
；
解：如图，过点作于点则，

，，
，
，
，，
∽，
，
即，
设，则，
，
，
，
解得，
即，
平分，，
． 

【解析】由圆周角定理及直角三角形的性质可得出结论；
过点作于点则，通过证明∽可得，设，则，利用勾股定理可求解的值，再结合角平分线的性质可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：设甲品牌消毒剂每瓶的价格为元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合实际意义，
，
答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为元；
设购买甲种品牌的消毒剂瓶，则购买乙种品牌的消毒剂瓶，
由题意得：，
解得：，
，
答：购买了瓶乙品牌消毒剂． 

【解析】本题考查分式方程的应用和一元一次方程的应用．
设甲品牌消毒剂每瓶的价格为元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为元，由题意列出分式方程，解方程即可；
设购买甲种品牌的消毒剂瓶，则购买乙种品牌的消毒剂瓶，由题意列出一元一次方程，解方程即可．
 

24.【答案】 
解：由知，一次函数，反比例函数，
设，则，
，
，
，
即 ，
，
，，
经检验：，是原方程的解，
，
，
；
的坐标为． 

【解析】解：把点分别代入和中，得，，，
解得：，，
故答案为，；
见答案；
由平移可知：，
直线的解析式为，
由，解得或舍弃，
，
通过向右平移个单位，向上平移个单位得到，
又由知，，
把点向右平移个单位，向上平移个单位得到．

通过待定系数法即可求出和的值．
设，则，根据四边形的面积构建方程即可解决问题；
根据一次函数，利用方程组求出点的坐标，即可解决问题；
本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
 

25.【答案】   

【解析】解：为等边三角形，
，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
≌，
，，
，
直线与所夹锐角为，
故答案为：，；
的值不发生变化，理由如下：
如图中，连接、，

，都是等边三角形，，，
，，，
，，，
，，
∽，
；
，，理由如下：
如图，延长至，使，连接，，

将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
又，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
，
，
又为边的中点，
，．
由“”可证≌，可得，，即可求解；
通过证明∽，利用相似比为，即可解决问题；
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，可证，由三角形中位线可得结论．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

26.【答案】解：在中，令，得，
解得，，或，
，，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得，，
直线的解析式为；
如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为，，

，，，
分两种情况：
当时，得，
解得，或与重合，舍去，
；
当时，得，
解得，，或与重合，舍去，
；
综上所述：的坐标为或；
由可得抛物线对称轴是直线，
设，而，，
，，，
当是斜边时，，
解得，
，
当为斜边时，，
解得或，
或；
当为斜边时，，
解得，
，
综上所述，的坐标为或或或． 

【解析】在中，令可求得、点坐标，用待定系数法求得直线的解析式；
设，用表示点坐标，分两种情况：；，分别列出的方程进行解答即可；
由可得抛物线对称轴是直线，设，可得，，，分三种情况，用勾股逆定理列方程可解得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三等分点，直角三角形的判定等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．