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2022年山东省济南市历下区中考数学一模试卷(word版含解析)
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这是一份2022年山东省济南市历下区中考数学一模试卷(word版含解析)，共38页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年山东省济南市历下区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．9的相反数是（ ）
A．﹣9 B．9 C． D．﹣
2．第七次人口普查显示，济南市历下区常住人口约为820000人，将数据820000用科学记数法表示为（ ）
A．8.2×104 B．82×104 C．8.2×105 D．0.82×106
3．如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB∥CD，且被直线l所截，若∠1＝54°，则∠2的度数是（ ）
A．154° B．126° C．116° D．54°
5．2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a3）2＝4a6 B．a2•a3＝a6
C．3a+a2＝3a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
7．△ABC的顶点分别位于正方形网格的格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，已知点C（﹣1，1），将△ABC先沿x轴方向向右平移3个单位长度，再沿y轴方向向下平移2个单位长度，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣6，6） B．（0，2） C．（0，6） D．（﹣6，2）
8．一个不透明袋子中装有红球两个，绿球一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．当a≠0时，函数y＝ax+1与函数y＝在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，甲、乙两楼的距离AC＝30m，甲楼高AB＝20m，自甲楼楼顶的B处看乙楼楼顶的D处，仰角为28°，则乙楼的高CD为（ ）m．（结果精确到1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
A．34 B．36 C．46 D．56
11．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠C＝90°，以A点为圆心，AC长为半径作圆弧交AB于E，连接CE，再分别以C、E为圆心，大于CE的长度为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC与点D，连接DE，则下列说法中错误的是（ ）
A．DE＝CD B．△BDE∽△BAC C．AB＝AC+DE D．BD＝4
12．已知抛物线P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．因式分解：x2﹣4＝ ．
14．如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．
15．如果分式与的值相等，则x＝ ．
16．如图是中国古代建筑中的一个正六边形的窗户，则它的内角和为 ．
17．A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（m）与时间t（h）之同的关系．当甲车出发1小时时，两车相距 km．
18．如图，将矩形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕为EF；展开
后再次折叠，使点A与点D重合于EF上的点P处，折痕分别为BM、CN，若AB＝10，BC＝16，则tan∠PCN＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2020）0﹣2sin30°+（）﹣1
20．（6分）求不等式组的整数解．
21．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．
22．（8分）2021年12月9日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行科普知识竞赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：
A．80≤x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D.95≤x≤100
其中，七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
93
b
52
八年级
92
c
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 年级成绩更稳定；
（2）直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）该校八年级共1000人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是多少？
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点F是AB上方半圆上的一点（F不与A、B重合），DE是⊙O的切线，DE⊥AF交射线AF于点E．
（1）求证：AD平分∠BAF；
（2）若AE＝4，AB＝5，求AD长．
24．（10分）某商场计划购进A、B两种新型台灯共80盏，它们的进价与售价如表所示：
类型价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
（1）若商场预计进货款为2900元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）将两种台灯全部售出，若总利润不低于1500元，则该商场需要至少购进多少盏A型台灯？
25．（10分）如图1，点A（1，a）、点B（0，1）在直线y＝2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．
（1）求a和k的值；
（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作CF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求线段CE的长度；
②在线段AB运动过程中，连接AD，若△ACD是直角三角形，求所有满足条件的m值．
26．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AF，连接EF．点M和点N分别是边BC，EF的中点．
【问题发现】
（1）如图1，若∠BAC＝60°，当点E是BC边的中点时，＝ ，直线BE与MN相交所成的锐角的度数为 度．
【解决问题】
（2）如图2，若∠BAC＝60°，当点E是BC边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【拓展探究】
（3）如图3，若∠BAC＝90°，AB＝6，，在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值．
27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP＝∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2022年山东省济南市历下区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．9的相反数是（ ）
A．﹣9 B．9 C． D．﹣
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【解答】解：9的相反数是﹣9，
故选：A．
2．第七次人口普查显示，济南市历下区常住人口约为820000人，将数据820000用科学记数法表示为（ ）
A．8.2×104 B．82×104 C．8.2×105 D．0.82×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：820000＝8.2×105．
故选：C．
3．如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】将图形分成三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的．
【解答】解：该几何体的主视图有三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的．
故选：A．
4．如图，AB∥CD，且被直线l所截，若∠1＝54°，则∠2的度数是（ ）
A．154° B．126° C．116° D．54°
【分析】由平行线的性质得到∠2与∠3的关系，再根据对顶角的性质得到∠1与∠3的关系，最后求出∠2．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2+∠3＝180°．
∵∠3＝∠1＝54°，
∴∠2＝180°﹣∠3
＝180°﹣54°
＝126°．
故选：B．
5．2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
6．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a3）2＝4a6 B．a2•a3＝a6
C．3a+a2＝3a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵（﹣2a3）2＝4a6，故选项A正确；
∵a2•a3＝a5，故选项B错误；
∵3a+a2不能合并，故选项C错误；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误；
故选：A．
7．△ABC的顶点分别位于正方形网格的格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，已知点C（﹣1，1），将△ABC先沿x轴方向向右平移3个单位长度，再沿y轴方向向下平移2个单位长度，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣6，6） B．（0，2） C．（0，6） D．（﹣6，2）
【分析】根据坐标系写出点A的坐标，根据坐标平移规律解答即可．
【解答】解：由平面直角坐标系可知，点A的坐标为（﹣3，4），
沿x轴方向向右平移3个单位长度，得到（0，4），
再沿y轴方向向下平移2个单位长度得到（0，2），
则点A的对应点A′的坐标（0，2），
故选：B．
8．一个不透明袋子中装有红球两个，绿球一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：红色小球用数字1、2表示，绿色小球分别用3表示，列表得：
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中第一次摸到红球，第二次摸到绿球的结果有2个，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选：D．
9．当a≠0时，函数y＝ax+1与函数y＝在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．
【解答】解：当a＞0时，y＝ax+1过一、二、三象限，y＝过一、三象限；
当a＜0时，y＝ax+1过一、二、四象限，y＝过二、四象限；
故选：C．
10．如图，甲、乙两楼的距离AC＝30m，甲楼高AB＝20m，自甲楼楼顶的B处看乙楼楼顶的D处，仰角为28°，则乙楼的高CD为（ ）m．（结果精确到1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
A．34 B．36 C．46 D．56
【分析】过点B作BE⊥CD，垂足为E，可得四边形ABEC是矩形，从而得AB＝EC＝20（m），AC＝EC＝30（m），然后在Rt△BDE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点B作BE⊥CD，垂足为E，
则四边形ABEC是矩形，
∴AB＝EC＝20（m），AC＝EC＝30（m），
在Rt△BDE中，∠DBE＝28°，
∴DE＝BEtan28°≈30×0.53＝15.9（m），
∴CD＝DE+CE＝15.9+20≈36（m），
∴乙楼的高CD为36m，
故选：B．
11．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠C＝90°，以A点为圆心，AC长为半径作圆弧交AB于E，连接CE，再分别以C、E为圆心，大于CE的长度为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC与点D，连接DE，则下列说法中错误的是（ ）
A．DE＝CD B．△BDE∽△BAC C．AB＝AC+DE D．BD＝4
【分析】由题意可得AC＝AE，AP为CE的垂直平分线，得出CD＝DE，根据相似三角形的判定可知△BDE∽△BAC，由等腰直角三角形的性质可得出AB＝AC+DE，BD＝8﹣4，则可得出结论．
【解答】解：∵AC＝BC＝8，∠C＝90°，
∴∠CAE＝45°，
由题意可得AC＝AE，AP为CE的垂直平分线，
∴CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝22.5°，
∴∠BDE＝45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴∠DEB＝90°，DE＝BE，
在△BDE和△BAC中，∠ABC＝∠EBD＝90°，∠BDE＝∠CAB＝45°，
∴△BDE∽△BAC，
∵AB＝AE+BE，
∴AB＝AC+DE．
故A，B，C选项的说法正确，
∵AB＝8，AC＝AE＝8，
∴BE＝8﹣8，
∴BD＝8﹣4，
故D选项说法错误．
故选：D．
12．已知抛物线P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设抛物线P'上任意一点（x，y），则点（x，y）原点旋转180°后对应的点为（﹣x，﹣y），由此求出抛物线P'的解析式为y＝﹣x2+4ax+3，再分三种情况讨论：①当2a＜1时，2+4a≤3，此时a≤；②当2a＞3时，﹣6+12a≤3，此时a不存在；③当1≤2a≤3时，4a2+3≤3此时a不存在．
【解答】解：设抛物线P'上任意一点（x，y），
则点（x，y）原点旋转180°后对应的点为（﹣x，﹣y），
∴﹣y＝x2﹣4ax﹣3，
∴抛物线P'的解析式为y＝﹣x2+4ax+3，
∵y＝﹣x2+4ax+3＝﹣（x﹣2a）2+4a2+3，
当x＝2a时，y有最大值4a2+3，
∵1≤x≤3，
①当2a＜1时，即a＜，x＝1时y有最大值，
∴2+4a≤3，
∴a≤，
此时a≤；
②当2a＞3时，即a＞，x＝3时y有最大值，
∴﹣6+12a≤3，
∴a≤，
此时a不存在；
③当1≤2a≤3时，即≤a≤，x＝2a时y有最大值，
∴4a2+3≤3
∴a＝0，
此时a不存在；
综上所述：0＜a≤，
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．因式分解：x2﹣4＝ （x+2）（x﹣2） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
14．如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．
【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．
【解答】解：∵游戏板的面积为3×3＝9，其中黑色区域为3，
∴小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是＝，
故答案是：．
15．如果分式与的值相等，则x＝ 9 ．
【分析】根据题意得出分式方程，求出方程的解．再代入（x﹣1）（x+3）进行检验即可．
【解答】解：根据题意得：＝，
方程两边都乘以（x﹣1）（x+3）得：2x+6＝3x﹣3，
解这个方程得：2x﹣3x＝﹣3﹣6，
﹣x＝﹣9，
x＝9，
检验：把x＝9代入（x﹣1）（x+3）≠0，
即x＝9是原方程的解，
故答案为：9．
16．如图是中国古代建筑中的一个正六边形的窗户，则它的内角和为 720° ．
【分析】根据正多边形的内角和公式即可得到结论．
【解答】解：正六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
故答案为：720°．
17．A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（m）与时间t（h）之同的关系．当甲车出发1小时时，两车相距 km．
【分析】根据图象可以求得甲、乙的速度，再根据题意求得结论．
【解答】解：甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h），
∴甲走完全程所用时间为80÷40＝2（小时），
∴乙比甲先出发1小时，
乙的速度是40÷3＝（km/h），
由图象知，当甲车出发1小时时，两车相距：[20+40×（2﹣1.5）]﹣×2＝（km），
故答案为：．
18．如图，将矩形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕为EF；展开
后再次折叠，使点A与点D重合于EF上的点P处，折痕分别为BM、CN，若AB＝10，BC＝16，则tan∠PCN＝ ．
【分析】由矩形ABCD两次折叠可知：AB＝BP＝EF＝PC＝CD＝10，BE＝CE＝BC＝DF＝AF＝AD＝8，∠BEP＝∠CEP＝90°，DN＝PN，∠D＝∠CPN＝90°，设PN＝x，则DN＝x，然后利用勾股定理求出x的值，再根据锐角三角函数即可解决问题．
【解答】解：由矩形ABCD两次折叠可知：
AB＝BP＝EF＝PC＝CD＝10，
BE＝CE＝BC＝DF＝AF＝AD＝8，
∠BEP＝∠CEP＝90°，
DN＝PN，
∠D＝∠CPN＝90°，
∴PE＝＝＝6，
∴PF＝EF﹣PE＝10﹣6＝4，
设PN＝x，则DN＝x，
∴FN＝DF﹣DN＝8﹣x，
在Rt△PFN中，根据勾股定理，得：
PF2+FN2＝PN2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴PN＝5，
∴tan∠PCN＝＝＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2020）0﹣2sin30°+（）﹣1
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法、除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|﹣3|+（π﹣2020）0﹣2sin30°+（）﹣1
＝3+1﹣2×+3
＝6
20．（6分）求不等式组的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式2（x+1）＞3x，得：x＜2，
解不等式≥﹣2，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
则不等式组的整数解为﹣1、0、1．
21．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵E，F是对角线AC的三等分点，
∴AE＝CF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
22．（8分）2021年12月9日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行科普知识竞赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：
A．80≤x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D.95≤x≤100
其中，七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
93
b
52
八年级
92
c
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 八 年级成绩更稳定；
（2）直接写出上述a、b、c的值：a＝ 40 ，b＝ 96 ，c＝ 93 ；
（3）该校八年级共1000人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是多少？
【分析】（1）根据方差的意义即可得出答案；
（2）用360°乘以D所占的百分比，求出a，再根据众数和中位数的定义即可得出答案；
（3）用该校八年级的人数乘以成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）∵七年级成绩的方差为52，八年级成绩的方差为50.4，
∴八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴八年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：八；
（2）∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为3÷10×100%＝30%，
∴a%＝1﹣（20%+10%+30%）＝40%，即a＝40；
将七年级成绩出现最多的是96，
所以其众数b＝96，
八年级A、B组人数共有10×（10%+20%）＝3（人），
∴八年级成绩的第5、6个数据分别为92、94，
所以八年级成绩的中位数c＝＝93，
故答案为：40、96、93；
（3）根据题意得：
1000×（1﹣20%﹣10%）＝700（人），
答：估计参加此次知识竞赛活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是700人．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点F是AB上方半圆上的一点（F不与A、B重合），DE是⊙O的切线，DE⊥AF交射线AF于点E．
（1）求证：AD平分∠BAF；
（2）若AE＝4，AB＝5，求AD长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到DE⊥OD，证明OD∥AF，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠OAD＝∠DAF，根据角平分线的定义证明结论；
（2）连接BD，证明△AED∽△ADB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AF，
∴OD∥AF，
∴∠ODA＝∠DAF，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠DAF，
∴AD平分∠BAF；
（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AED＝∠ADB，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴＝，即＝，
解得：AD＝2．
24．（10分）某商场计划购进A、B两种新型台灯共80盏，它们的进价与售价如表所示：
类型价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
（1）若商场预计进货款为2900元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）将两种台灯全部售出，若总利润不低于1500元，则该商场需要至少购进多少盏A型台灯？
【分析】（1）设购进A型台灯x盏，B型台灯y盏，可得：，即可解得购进A型台灯55盏，B型台灯25盏；
（2）设购进A型台灯a盏，B型台灯（80﹣a）盏，根据题意得（45﹣30）a+（70﹣50）（80﹣a）≥1500，即可解得答案．
【解答】解：（1）设购进A型台灯x盏，B型台灯y盏，
根据题意得：，
解得，
答：购进A型台灯55盏，B型台灯25盏；
（2）设购进A型台灯a盏，B型台灯（80﹣a）盏，
根据题意得：（45﹣30）a+（70﹣50）（80﹣a）≥1500，
解得a≤20，
答：该商场至少需要购进20盏A型台灯．
25．（10分）如图1，点A（1，a）、点B（0，1）在直线y＝2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．
（1）求a和k的值；
（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作CF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求线段CE的长度；
②在线段AB运动过程中，连接AD，若△ACD是直角三角形，求所有满足条件的m值．
【分析】（1）将点A（1，a）、点B（0，1）在直线y＝2x+b上和y＝（x＞0）即可得出答案；
（2）根据平移的性质知点D的纵坐标为1，从而得出平移的距离，进而得出点C的坐标，可得答案；
（3）由平移可得C（1+m，3），D（m，1），则AC＝m，CD＝AB＝，AD＝，再进行分类，利用勾股定理列方程解决问题．
【解答】解：（1）∵点A（1，a）、点B（0，1）在直线y＝2x+b上，
∴b＝1，
∴y＝2x+1，
∴a＝3，
∴A（1，3），
∴k＝1×3＝3；
（2）①由（1）知，y＝，
当y＝1时，x＝3，
∴D（3，1），
∴BD＝AC＝3，
∴C（3，3），
当x＝3时，y＝1，
∴EF＝1，CF＝3，
∴CE＝2；
②由平移知，C（1+m，3），D（m，1），
∴AC＝m，CD＝AB＝，AD＝，
当∠ADC＝90°时，（m﹣1）2+4+5＝m2，
解得m＝5，
当∠DAC＝90°时，m2+（m﹣1）2+4＝5，
解得m1＝0（舍），m2＝1，
当∠ACD＝90°时，m2+5＝（m﹣1）2+4，
解得m＝0（舍），
综上：m＝5或1．
26．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AF，连接EF．点M和点N分别是边BC，EF的中点．
【问题发现】
（1）如图1，若∠BAC＝60°，当点E是BC边的中点时，＝ ，直线BE与MN相交所成的锐角的度数为 30 度．
【解决问题】
（2）如图2，若∠BAC＝60°，当点E是BC边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【拓展探究】
（3）如图3，若∠BAC＝90°，AB＝6，，在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值．
【分析】（1）设AB＝2a，证△ABC是等边三角形，得AB＝BC＝2a，AE⊥BC，BE＝a，则AE＝a，再证△AEF是等边三角形，得∠AEF＝60°，EF＝AE＝a，则∠NEC＝30°，然后由等边三角形的性质得AN⊥EF，MN＝EF＝a，即可得出结论；
（2）连接AM、AN，证△ABC为等边三角形，则AM⊥BC，再证△MAN∽△BAE，得，∠AMN＝∠ABE＝60°，则∠NMC＝∠AMC﹣∠AMN＝30°；
（3）连接AM、AN，同（2）得AM⊥BC，△MAN∽△BAE，则∠AMN＝∠B＝45°，∠NMC＝45°，再求出MG＝，当GN⊥MN时，GN最小，此时△MNG是等腰直角三角形，即可解决问题．
【解答】解：（1）设AB＝2a，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝2a，
∵点E是BC边的中点，点M是BC边的中点，
∴E与M重合，AE⊥BC，BE＝a，
∴AE＝＝＝a，
由旋转的性质得：∠EAF＝∠BAC＝60°，AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，EF＝AE＝a，
∴∠NEC＝∠AEC﹣∠AEF＝90°﹣60°＝30°，
∵点N是EF的中点，
∴AN⊥EF，MN＝EF＝a，
∴＝，
故答案为：，30；
（2）上述两个结论均成立，理由如下：
如图2，连接AM、AN，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵M是BC中点，
∴AM⊥BC，
∴∠BMA＝90°，
在Rt△ABM中，∠B＝60°，
∴∠BAM＝90°﹣∠B＝30°，，
同理可得∠EAN＝30°，sin∠AEF＝＝，
∴∠MAN＝∠BAE，，
∴△MAN∽△BAE，
∴＝＝，∠AMN＝∠ABE＝60°，
∴∠NMC＝∠AMC﹣∠AMN＝90°﹣60°＝30°，
综上所述，，直线BE和MN相交所成的锐角的度数为30°；
（3）如图3，连接AM、AN，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，BC＝AB＝6，
同（2）得：AM⊥BC，△MAN∽△BAE，
∴∠AMN＝∠B＝45°，
∴∠NMC＝∠AMC﹣∠AMN＝45°，
∵M是BC的中点，
∴CM＝BC＝3，
∵＝2，
∴MG＝CM﹣CG＝，
当GN⊥MN时，GN最小，
此时△MNG是等腰直角三角形，则GN＝MG＝1，
即GN的最小值为1．
27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP＝∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由于抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，那么可以得到方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，然后利用根与系数即可确定a、b的值．
（2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使MA+MC的值最小，则点M就是BC与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，把抛物线对称轴x＝2代入即可得到点M的坐标；
（3）过点B作BE⊥AB交CP与E，证明△ABC≌△EBC（ASA），根据全等三角形的性质得BE＝AB＝2，求得E的坐标，由点E、C的坐标可得直线CP的解析式，联立y＝x2﹣4x+3即可求得P点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，
∴方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，
∴1+3＝﹣，1×3＝，
∴a＝1，b＝﹣4，
∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3；
（2）∵二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，C（0，3）．
∵点A、B关于对称轴对称，
∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC＝BC的值最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），
则，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∵抛物线的对称轴为直线x＝2．
∴当x＝2时，y＝1．
∴抛物线对称轴上存在点M（2，1）符合题意，
∵A（1，0）、B（3，0），C（0，3）．
∴AC＝＝，BC＝＝3，
∴AC+BC＝+3，
∴在抛物线的对称轴上存在点M，使△ACM的周长最小，△ACM周长的最小值为+3；
（3）抛物线上存在一点P，使得∠BCP＝∠ACB．
∵B（3，0），C（0，3）．
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∴∠OBC＝∠EBC＝45°，
∵BC＝BC，∠BCP＝∠ACB．
∴△ABC≌△EBC（ASA），
∴BE＝AB＝2，
∴E（3，2），
设直线CP的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线CP的解析式为y＝﹣x+3，
联立y＝x2﹣4x+3得，或（舍去），
∴抛物线上存在一点P，使得∠BCP＝∠ACB．P点的坐标为（，）．
2022年山东省济南市历下区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．9的相反数是（ ）
A．﹣9 B．9 C． D．﹣
2．第七次人口普查显示，济南市历下区常住人口约为820000人，将数据820000用科学记数法表示为（ ）
A．8.2×104 B．82×104 C．8.2×105 D．0.82×106
3．如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB∥CD，且被直线l所截，若∠1＝54°，则∠2的度数是（ ）
A．154° B．126° C．116° D．54°
5．2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a3）2＝4a6 B．a2•a3＝a6
C．3a+a2＝3a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
7．△ABC的顶点分别位于正方形网格的格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，已知点C（﹣1，1），将△ABC先沿x轴方向向右平移3个单位长度，再沿y轴方向向下平移2个单位长度，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣6，6） B．（0，2） C．（0，6） D．（﹣6，2）
8．一个不透明袋子中装有红球两个，绿球一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．当a≠0时，函数y＝ax+1与函数y＝在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，甲、乙两楼的距离AC＝30m，甲楼高AB＝20m，自甲楼楼顶的B处看乙楼楼顶的D处，仰角为28°，则乙楼的高CD为（ ）m．（结果精确到1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
A．34 B．36 C．46 D．56
11．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠C＝90°，以A点为圆心，AC长为半径作圆弧交AB于E，连接CE，再分别以C、E为圆心，大于CE的长度为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC与点D，连接DE，则下列说法中错误的是（ ）
A．DE＝CD B．△BDE∽△BAC C．AB＝AC+DE D．BD＝4
12．已知抛物线P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．因式分解：x2﹣4＝ ．
14．如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．
15．如果分式与的值相等，则x＝ ．
16．如图是中国古代建筑中的一个正六边形的窗户，则它的内角和为 ．
17．A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（m）与时间t（h）之同的关系．当甲车出发1小时时，两车相距 km．
18．如图，将矩形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕为EF；展开
后再次折叠，使点A与点D重合于EF上的点P处，折痕分别为BM、CN，若AB＝10，BC＝16，则tan∠PCN＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2020）0﹣2sin30°+（）﹣1
20．（6分）求不等式组的整数解．
21．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．
22．（8分）2021年12月9日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行科普知识竞赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：
A．80≤x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D.95≤x≤100
其中，七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
93
b
52
八年级
92
c
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 年级成绩更稳定；
（2）直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）该校八年级共1000人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是多少？
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点F是AB上方半圆上的一点（F不与A、B重合），DE是⊙O的切线，DE⊥AF交射线AF于点E．
（1）求证：AD平分∠BAF；
（2）若AE＝4，AB＝5，求AD长．
24．（10分）某商场计划购进A、B两种新型台灯共80盏，它们的进价与售价如表所示：
类型价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
（1）若商场预计进货款为2900元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）将两种台灯全部售出，若总利润不低于1500元，则该商场需要至少购进多少盏A型台灯？
25．（10分）如图1，点A（1，a）、点B（0，1）在直线y＝2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．
（1）求a和k的值；
（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作CF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求线段CE的长度；
②在线段AB运动过程中，连接AD，若△ACD是直角三角形，求所有满足条件的m值．
26．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AF，连接EF．点M和点N分别是边BC，EF的中点．
【问题发现】
（1）如图1，若∠BAC＝60°，当点E是BC边的中点时，＝ ，直线BE与MN相交所成的锐角的度数为 度．
【解决问题】
（2）如图2，若∠BAC＝60°，当点E是BC边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【拓展探究】
（3）如图3，若∠BAC＝90°，AB＝6，，在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值．
27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP＝∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2022年山东省济南市历下区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．9的相反数是（ ）
A．﹣9 B．9 C． D．﹣
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【解答】解：9的相反数是﹣9，
故选：A．
2．第七次人口普查显示，济南市历下区常住人口约为820000人，将数据820000用科学记数法表示为（ ）
A．8.2×104 B．82×104 C．8.2×105 D．0.82×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：820000＝8.2×105．
故选：C．
3．如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】将图形分成三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的．
【解答】解：该几何体的主视图有三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的．
故选：A．
4．如图，AB∥CD，且被直线l所截，若∠1＝54°，则∠2的度数是（ ）
A．154° B．126° C．116° D．54°
【分析】由平行线的性质得到∠2与∠3的关系，再根据对顶角的性质得到∠1与∠3的关系，最后求出∠2．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2+∠3＝180°．
∵∠3＝∠1＝54°，
∴∠2＝180°﹣∠3
＝180°﹣54°
＝126°．
故选：B．
5．2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
6．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a3）2＝4a6 B．a2•a3＝a6
C．3a+a2＝3a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵（﹣2a3）2＝4a6，故选项A正确；
∵a2•a3＝a5，故选项B错误；
∵3a+a2不能合并，故选项C错误；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误；
故选：A．
7．△ABC的顶点分别位于正方形网格的格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，已知点C（﹣1，1），将△ABC先沿x轴方向向右平移3个单位长度，再沿y轴方向向下平移2个单位长度，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣6，6） B．（0，2） C．（0，6） D．（﹣6，2）
【分析】根据坐标系写出点A的坐标，根据坐标平移规律解答即可．
【解答】解：由平面直角坐标系可知，点A的坐标为（﹣3，4），
沿x轴方向向右平移3个单位长度，得到（0，4），
再沿y轴方向向下平移2个单位长度得到（0，2），
则点A的对应点A′的坐标（0，2），
故选：B．
8．一个不透明袋子中装有红球两个，绿球一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：红色小球用数字1、2表示，绿色小球分别用3表示，列表得：
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中第一次摸到红球，第二次摸到绿球的结果有2个，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选：D．
9．当a≠0时，函数y＝ax+1与函数y＝在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．
【解答】解：当a＞0时，y＝ax+1过一、二、三象限，y＝过一、三象限；
当a＜0时，y＝ax+1过一、二、四象限，y＝过二、四象限；
故选：C．
10．如图，甲、乙两楼的距离AC＝30m，甲楼高AB＝20m，自甲楼楼顶的B处看乙楼楼顶的D处，仰角为28°，则乙楼的高CD为（ ）m．（结果精确到1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
A．34 B．36 C．46 D．56
【分析】过点B作BE⊥CD，垂足为E，可得四边形ABEC是矩形，从而得AB＝EC＝20（m），AC＝EC＝30（m），然后在Rt△BDE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点B作BE⊥CD，垂足为E，
则四边形ABEC是矩形，
∴AB＝EC＝20（m），AC＝EC＝30（m），
在Rt△BDE中，∠DBE＝28°，
∴DE＝BEtan28°≈30×0.53＝15.9（m），
∴CD＝DE+CE＝15.9+20≈36（m），
∴乙楼的高CD为36m，
故选：B．
11．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠C＝90°，以A点为圆心，AC长为半径作圆弧交AB于E，连接CE，再分别以C、E为圆心，大于CE的长度为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC与点D，连接DE，则下列说法中错误的是（ ）
A．DE＝CD B．△BDE∽△BAC C．AB＝AC+DE D．BD＝4
【分析】由题意可得AC＝AE，AP为CE的垂直平分线，得出CD＝DE，根据相似三角形的判定可知△BDE∽△BAC，由等腰直角三角形的性质可得出AB＝AC+DE，BD＝8﹣4，则可得出结论．
【解答】解：∵AC＝BC＝8，∠C＝90°，
∴∠CAE＝45°，
由题意可得AC＝AE，AP为CE的垂直平分线，
∴CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝22.5°，
∴∠BDE＝45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴∠DEB＝90°，DE＝BE，
在△BDE和△BAC中，∠ABC＝∠EBD＝90°，∠BDE＝∠CAB＝45°，
∴△BDE∽△BAC，
∵AB＝AE+BE，
∴AB＝AC+DE．
故A，B，C选项的说法正确，
∵AB＝8，AC＝AE＝8，
∴BE＝8﹣8，
∴BD＝8﹣4，
故D选项说法错误．
故选：D．
12．已知抛物线P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设抛物线P'上任意一点（x，y），则点（x，y）原点旋转180°后对应的点为（﹣x，﹣y），由此求出抛物线P'的解析式为y＝﹣x2+4ax+3，再分三种情况讨论：①当2a＜1时，2+4a≤3，此时a≤；②当2a＞3时，﹣6+12a≤3，此时a不存在；③当1≤2a≤3时，4a2+3≤3此时a不存在．
【解答】解：设抛物线P'上任意一点（x，y），
则点（x，y）原点旋转180°后对应的点为（﹣x，﹣y），
∴﹣y＝x2﹣4ax﹣3，
∴抛物线P'的解析式为y＝﹣x2+4ax+3，
∵y＝﹣x2+4ax+3＝﹣（x﹣2a）2+4a2+3，
当x＝2a时，y有最大值4a2+3，
∵1≤x≤3，
①当2a＜1时，即a＜，x＝1时y有最大值，
∴2+4a≤3，
∴a≤，
此时a≤；
②当2a＞3时，即a＞，x＝3时y有最大值，
∴﹣6+12a≤3，
∴a≤，
此时a不存在；
③当1≤2a≤3时，即≤a≤，x＝2a时y有最大值，
∴4a2+3≤3
∴a＝0，
此时a不存在；
综上所述：0＜a≤，
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．因式分解：x2﹣4＝ （x+2）（x﹣2） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
14．如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．
【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．
【解答】解：∵游戏板的面积为3×3＝9，其中黑色区域为3，
∴小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是＝，
故答案是：．
15．如果分式与的值相等，则x＝ 9 ．
【分析】根据题意得出分式方程，求出方程的解．再代入（x﹣1）（x+3）进行检验即可．
【解答】解：根据题意得：＝，
方程两边都乘以（x﹣1）（x+3）得：2x+6＝3x﹣3，
解这个方程得：2x﹣3x＝﹣3﹣6，
﹣x＝﹣9，
x＝9，
检验：把x＝9代入（x﹣1）（x+3）≠0，
即x＝9是原方程的解，
故答案为：9．
16．如图是中国古代建筑中的一个正六边形的窗户，则它的内角和为 720° ．
【分析】根据正多边形的内角和公式即可得到结论．
【解答】解：正六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
故答案为：720°．
17．A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（m）与时间t（h）之同的关系．当甲车出发1小时时，两车相距 km．
【分析】根据图象可以求得甲、乙的速度，再根据题意求得结论．
【解答】解：甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h），
∴甲走完全程所用时间为80÷40＝2（小时），
∴乙比甲先出发1小时，
乙的速度是40÷3＝（km/h），
由图象知，当甲车出发1小时时，两车相距：[20+40×（2﹣1.5）]﹣×2＝（km），
故答案为：．
18．如图，将矩形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕为EF；展开
后再次折叠，使点A与点D重合于EF上的点P处，折痕分别为BM、CN，若AB＝10，BC＝16，则tan∠PCN＝ ．
【分析】由矩形ABCD两次折叠可知：AB＝BP＝EF＝PC＝CD＝10，BE＝CE＝BC＝DF＝AF＝AD＝8，∠BEP＝∠CEP＝90°，DN＝PN，∠D＝∠CPN＝90°，设PN＝x，则DN＝x，然后利用勾股定理求出x的值，再根据锐角三角函数即可解决问题．
【解答】解：由矩形ABCD两次折叠可知：
AB＝BP＝EF＝PC＝CD＝10，
BE＝CE＝BC＝DF＝AF＝AD＝8，
∠BEP＝∠CEP＝90°，
DN＝PN，
∠D＝∠CPN＝90°，
∴PE＝＝＝6，
∴PF＝EF﹣PE＝10﹣6＝4，
设PN＝x，则DN＝x，
∴FN＝DF﹣DN＝8﹣x，
在Rt△PFN中，根据勾股定理，得：
PF2+FN2＝PN2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴PN＝5，
∴tan∠PCN＝＝＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2020）0﹣2sin30°+（）﹣1
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法、除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|﹣3|+（π﹣2020）0﹣2sin30°+（）﹣1
＝3+1﹣2×+3
＝6
20．（6分）求不等式组的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式2（x+1）＞3x，得：x＜2，
解不等式≥﹣2，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
则不等式组的整数解为﹣1、0、1．
21．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵E，F是对角线AC的三等分点，
∴AE＝CF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
22．（8分）2021年12月9日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行科普知识竞赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：
A．80≤x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D.95≤x≤100
其中，七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
93
b
52
八年级
92
c
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 八 年级成绩更稳定；
（2）直接写出上述a、b、c的值：a＝ 40 ，b＝ 96 ，c＝ 93 ；
（3）该校八年级共1000人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是多少？
【分析】（1）根据方差的意义即可得出答案；
（2）用360°乘以D所占的百分比，求出a，再根据众数和中位数的定义即可得出答案；
（3）用该校八年级的人数乘以成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）∵七年级成绩的方差为52，八年级成绩的方差为50.4，
∴八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴八年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：八；
（2）∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为3÷10×100%＝30%，
∴a%＝1﹣（20%+10%+30%）＝40%，即a＝40；
将七年级成绩出现最多的是96，
所以其众数b＝96，
八年级A、B组人数共有10×（10%+20%）＝3（人），
∴八年级成绩的第5、6个数据分别为92、94，
所以八年级成绩的中位数c＝＝93，
故答案为：40、96、93；
（3）根据题意得：
1000×（1﹣20%﹣10%）＝700（人），
答：估计参加此次知识竞赛活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是700人．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点F是AB上方半圆上的一点（F不与A、B重合），DE是⊙O的切线，DE⊥AF交射线AF于点E．
（1）求证：AD平分∠BAF；
（2）若AE＝4，AB＝5，求AD长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到DE⊥OD，证明OD∥AF，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠OAD＝∠DAF，根据角平分线的定义证明结论；
（2）连接BD，证明△AED∽△ADB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AF，
∴OD∥AF，
∴∠ODA＝∠DAF，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠DAF，
∴AD平分∠BAF；
（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AED＝∠ADB，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴＝，即＝，
解得：AD＝2．
24．（10分）某商场计划购进A、B两种新型台灯共80盏，它们的进价与售价如表所示：
类型价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
（1）若商场预计进货款为2900元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）将两种台灯全部售出，若总利润不低于1500元，则该商场需要至少购进多少盏A型台灯？
【分析】（1）设购进A型台灯x盏，B型台灯y盏，可得：，即可解得购进A型台灯55盏，B型台灯25盏；
（2）设购进A型台灯a盏，B型台灯（80﹣a）盏，根据题意得（45﹣30）a+（70﹣50）（80﹣a）≥1500，即可解得答案．
【解答】解：（1）设购进A型台灯x盏，B型台灯y盏，
根据题意得：，
解得，
答：购进A型台灯55盏，B型台灯25盏；
（2）设购进A型台灯a盏，B型台灯（80﹣a）盏，
根据题意得：（45﹣30）a+（70﹣50）（80﹣a）≥1500，
解得a≤20，
答：该商场至少需要购进20盏A型台灯．
25．（10分）如图1，点A（1，a）、点B（0，1）在直线y＝2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．
（1）求a和k的值；
（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作CF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求线段CE的长度；
②在线段AB运动过程中，连接AD，若△ACD是直角三角形，求所有满足条件的m值．
【分析】（1）将点A（1，a）、点B（0，1）在直线y＝2x+b上和y＝（x＞0）即可得出答案；
（2）根据平移的性质知点D的纵坐标为1，从而得出平移的距离，进而得出点C的坐标，可得答案；
（3）由平移可得C（1+m，3），D（m，1），则AC＝m，CD＝AB＝，AD＝，再进行分类，利用勾股定理列方程解决问题．
【解答】解：（1）∵点A（1，a）、点B（0，1）在直线y＝2x+b上，
∴b＝1，
∴y＝2x+1，
∴a＝3，
∴A（1，3），
∴k＝1×3＝3；
（2）①由（1）知，y＝，
当y＝1时，x＝3，
∴D（3，1），
∴BD＝AC＝3，
∴C（3，3），
当x＝3时，y＝1，
∴EF＝1，CF＝3，
∴CE＝2；
②由平移知，C（1+m，3），D（m，1），
∴AC＝m，CD＝AB＝，AD＝，
当∠ADC＝90°时，（m﹣1）2+4+5＝m2，
解得m＝5，
当∠DAC＝90°时，m2+（m﹣1）2+4＝5，
解得m1＝0（舍），m2＝1，
当∠ACD＝90°时，m2+5＝（m﹣1）2+4，
解得m＝0（舍），
综上：m＝5或1．
26．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AF，连接EF．点M和点N分别是边BC，EF的中点．
【问题发现】
（1）如图1，若∠BAC＝60°，当点E是BC边的中点时，＝ ，直线BE与MN相交所成的锐角的度数为 30 度．
【解决问题】
（2）如图2，若∠BAC＝60°，当点E是BC边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【拓展探究】
（3）如图3，若∠BAC＝90°，AB＝6，，在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值．
【分析】（1）设AB＝2a，证△ABC是等边三角形，得AB＝BC＝2a，AE⊥BC，BE＝a，则AE＝a，再证△AEF是等边三角形，得∠AEF＝60°，EF＝AE＝a，则∠NEC＝30°，然后由等边三角形的性质得AN⊥EF，MN＝EF＝a，即可得出结论；
（2）连接AM、AN，证△ABC为等边三角形，则AM⊥BC，再证△MAN∽△BAE，得，∠AMN＝∠ABE＝60°，则∠NMC＝∠AMC﹣∠AMN＝30°；
（3）连接AM、AN，同（2）得AM⊥BC，△MAN∽△BAE，则∠AMN＝∠B＝45°，∠NMC＝45°，再求出MG＝，当GN⊥MN时，GN最小，此时△MNG是等腰直角三角形，即可解决问题．
【解答】解：（1）设AB＝2a，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝2a，
∵点E是BC边的中点，点M是BC边的中点，
∴E与M重合，AE⊥BC，BE＝a，
∴AE＝＝＝a，
由旋转的性质得：∠EAF＝∠BAC＝60°，AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，EF＝AE＝a，
∴∠NEC＝∠AEC﹣∠AEF＝90°﹣60°＝30°，
∵点N是EF的中点，
∴AN⊥EF，MN＝EF＝a，
∴＝，
故答案为：，30；
（2）上述两个结论均成立，理由如下：
如图2，连接AM、AN，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵M是BC中点，
∴AM⊥BC，
∴∠BMA＝90°，
在Rt△ABM中，∠B＝60°，
∴∠BAM＝90°﹣∠B＝30°，，
同理可得∠EAN＝30°，sin∠AEF＝＝，
∴∠MAN＝∠BAE，，
∴△MAN∽△BAE，
∴＝＝，∠AMN＝∠ABE＝60°，
∴∠NMC＝∠AMC﹣∠AMN＝90°﹣60°＝30°，
综上所述，，直线BE和MN相交所成的锐角的度数为30°；
（3）如图3，连接AM、AN，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，BC＝AB＝6，
同（2）得：AM⊥BC，△MAN∽△BAE，
∴∠AMN＝∠B＝45°，
∴∠NMC＝∠AMC﹣∠AMN＝45°，
∵M是BC的中点，
∴CM＝BC＝3，
∵＝2，
∴MG＝CM﹣CG＝，
当GN⊥MN时，GN最小，
此时△MNG是等腰直角三角形，则GN＝MG＝1，
即GN的最小值为1．
27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP＝∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由于抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，那么可以得到方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，然后利用根与系数即可确定a、b的值．
（2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使MA+MC的值最小，则点M就是BC与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，把抛物线对称轴x＝2代入即可得到点M的坐标；
（3）过点B作BE⊥AB交CP与E，证明△ABC≌△EBC（ASA），根据全等三角形的性质得BE＝AB＝2，求得E的坐标，由点E、C的坐标可得直线CP的解析式，联立y＝x2﹣4x+3即可求得P点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，
∴方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，
∴1+3＝﹣，1×3＝，
∴a＝1，b＝﹣4，
∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3；
（2）∵二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，C（0，3）．
∵点A、B关于对称轴对称，
∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC＝BC的值最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），
则，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∵抛物线的对称轴为直线x＝2．
∴当x＝2时，y＝1．
∴抛物线对称轴上存在点M（2，1）符合题意，
∵A（1，0）、B（3，0），C（0，3）．
∴AC＝＝，BC＝＝3，
∴AC+BC＝+3，
∴在抛物线的对称轴上存在点M，使△ACM的周长最小，△ACM周长的最小值为+3；
（3）抛物线上存在一点P，使得∠BCP＝∠ACB．
∵B（3，0），C（0，3）．
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∴∠OBC＝∠EBC＝45°，
∵BC＝BC，∠BCP＝∠ACB．
∴△ABC≌△EBC（ASA），
∴BE＝AB＝2，
∴E（3，2），
设直线CP的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线CP的解析式为y＝﹣x+3，
联立y＝x2﹣4x+3得，或（舍去），
∴抛物线上存在一点P，使得∠BCP＝∠ACB．P点的坐标为（，）．
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