中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与旋转变换综合问题（2份打包，教师版+原卷版）

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1.已知抛物线G：y＝(m＋1)x2＋2(n﹣1)x＋n＋1(m≠﹣1，m为常数)的对称轴与直线y＝kx＋k(k＞0，k为常数)相交于x轴上一点P．
(1)求m与n的数量关系；
(2)若直线y＝kx＋k与y轴交于点Q，且OQ＝OP，
①把直线y＝kx＋k绕点Q顺时针旋转45°得到的直线与抛物线G相交于A、B两点，若AB＝4，求m的值；
②将直线y＝kx＋k向上平移2k个单位，得到的直线与抛物线G的两个交点的横坐标x1，x2满足﹣2＜x1＜x2＜2，求m的取值范围．
2.如图，二次函数y＝﹣eq \f(1,6)x2＋bx＋4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为(﹣8，0)，P是抛物线上一点(点P与点A、B、C不重合)．
(1)b＝ ，点B的坐标是 ；
(2)连接AC、BC，证明：∠CBA＝2∠CAB；
(3)点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E点的坐标．
3.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝eq \f(3,4)x＋m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，﹣1)，抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c经过点B，且与直线l的另一个交点为C(4，n)．
(1)求n的值和抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0＜t＜4)．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形(如图2)．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
(3)M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
4.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝﹣eq \f(1,4)x2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中A(﹣4eq \r(2)，0)，B(4eq \r(2)，0)，设点F(m，0)是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．
(1)求抛物线C的函数解析式；
(2)若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；
(3)如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
5.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，点A(4，0)，∠AOC＝60°，点C的纵坐标为eq \r(3)，点D是边BC上一点，连接OD，将线段OD绕点O逆时针旋转60°得到线段OE．
给出如下定义：
如果抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)同时经过点A，E，则称抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)为关于点A，E的“伴随抛物线”．
(1)如图1，当点D与点C重合时，点E的坐标为 ，此时关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式为 ；
(2)如图2，当点D在边BC上运动时，连接CE．
①当CE取最小值时，求关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式；
②若关于点A，E的“伴随抛物线”y＝ax2＋bx(a≠0)存在，直接写出a的取值范围．
6.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x＋3交x轴于点A，y轴于点D，抛物线y＝x2＋bx﹣3与x轴交于A，B两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P在第三象限抛物线上，P点横坐标为t，连接AP、DP，△APD的面积为s，求s关于t的函数关系式；(不要求写自变量t的取值范围)
(3)在(2)的条件下，PD绕点P逆时针旋转，与线段AD相交于点E，且∠EPD＝2∠PDC，过点E作EF⊥PD交PD于G，y轴于点F，连接PF，若sin∠PFC=eq \f(1,3)，求线段PF的长．
7.如图，抛物线y＝eq \f(1,4)x2＋bx＋c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A(﹣3，0)和B，将抛物线y＝eq \f(1,4)x2＋bx＋c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1、A1为点M、A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．
(1)写出点B的坐标及求原抛物线的解析式；
(2)求证A，M，A1三点在同一直线上；
(3)设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．
8.定义：如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，则称抛物线C1与C2关联．例如，如图，抛物线y＝x2的顶点(0，0)在抛物线y＝﹣x2＋2x上，抛物线y＝﹣x2＋2x的顶点(1，1)也在抛物线y＝x2上，所以抛物线y＝x2与y＝﹣x2＋2x关联．
(1)已知抛物线C1：y＝(x＋1)2﹣2，分别判断抛物线C2：y＝﹣x2＋2x＋1和抛物线C3：y＝2x2＋2x＋1与抛物线C1是否关联；
(2)抛物线M1：y＝eq \f(1,8)(x＋1)2﹣2的顶点为A，动点P的坐标为(t，2)，将抛物线M1绕点P(t，2)旋转180°得到抛物线M2，若抛物线M1与M2关联，求抛物线M2的解析式；
(3)抛物线M1：y＝eq \f(1,8)(x＋1)2﹣2的顶点为A，点B是与M1关联的抛物线的顶点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AB1，若点B1恰好在y轴上，请直接写出点B1的纵坐标．
9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(0，﹣3)，与x轴的交点为B、C，直线l：y＝2x＋2与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，P是直线l下方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)过点P作线段PM∥x轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；
(3)把抛物线绕点O旋转180°，再向上平移使得新抛物线过(2)中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．
10.如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a(x﹣h)2＋k(a≠0)图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其中点B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，4)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面积最大时，求△APM周长的最小值；
(3)如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．