中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与相似问题（2份打包，教师版+原卷版）

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1.如图，抛物线y＝x2﹣bx＋c过点B(3，0)，C(0，﹣3)，D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；
(2)连接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；
(3)点C关于抛物线y＝x2﹣bx＋c对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，在(2)的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使△CDB和△BMP相似，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．
2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋8与x轴交于A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设四边形PBOC和△AOC的面积分别为S四边形PBOC和S△AOC，记S＝S四边形PBOC﹣S△AOC，求S最大值点P的坐标及S的最大值；
(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝eq \f(1,4)x2＋c经过点A(4，3)，顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点(0，﹣2)且垂直于y轴的直线，连接PO．
(1)求抛物线的表达式，并求出顶点B的坐标；
(2)试证明：经过点O的⊙P与直线l相切；
(3)如图②，已知点C的坐标为(1，2)，是否存在点P，使得以点P，O及(2)中的切点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
4.已知，二次函数y＝ax2＋bx﹣3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于C点，点A的坐标为(﹣1，0)，且 OB＝OC．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当0≤x≤4 时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？
(3)设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5.在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(﹣2，0)，B(﹣3，3)及原点O，顶点为C．
(1)求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；
(2)设该抛物线上一动点P的横坐标为t．
①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；
②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
③在图3中，若P是y轴左侧该抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点)，按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．
(1)直接写出C′的坐标，并求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式；
(2)点P在第四象限的抛物线上，求△C′OP的最大面积；
(3)如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x＋3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A和点C(0，﹣3)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第一象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，直接写出四边形ACED的形状，并求出此时点D的坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，连接CD，交x轴于点M，点P为直线CD下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴，交CD于点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求出线段FP的长度；若不存在，请说明理由．
8.如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的顶点D坐标为(1，4)，且与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．
(1)求抛物线解析式；
(2)设点F横坐标为m，
①用含有m的代数式表示点E的横坐标为 (直接填空)；
②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；
③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；
(3)过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F的坐标．
9.如图①，已知抛物线y＝﹣(x﹣1)2＋k交x轴于A，B两点，交y轴于点C，P是抛物线上的动点，且满足OB＝3OA．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在第一象限，直线y＝eq \f(1,2)x＋b经过点P且与直线BC交于点E，设点P的横坐标为t，当线段PE的长度随着t的增大而减小时，求t的取值范围；
(3)如图②，过点A作BC的平行线m，与抛物线交于另一点D．点P在直线m上方，点Q在线段AD上，若△CPQ与△AOC相似，且点P与点O是对应点，求点P的坐标．
10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2＋2kx＋2k2＋1与x轴的左交点为A，右交点为B，与y轴的交点为C，对称轴为直线l，对于抛物线上的两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜k＜x2)，当x1＋x2＝2时，y1﹣y2＝0恒成立．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点，过点M作MN⊥AC于点N，求线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标；
(3)点P是直线l右侧抛物线上的一点，PQ⊥l于点Q，AP交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PQF与△ACO相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．