中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与对称变换综合问题（2份打包，教师版+原卷版）

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(1)求b的值及该二次函数图象的对称轴；
(2)连接AC，AD，CD，求△ADC的面积；
(3)在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标．
【答案解析】解：(1)把点D(﹣1，4)代入二次函数y＝﹣x2＋bx＋3中得：﹣1﹣b＋3＝4，
∴b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x＋3＝﹣(x＋1)2＋4，
∴对称轴是：直线x＝﹣1；
(2)如图1，连接OD，
当y＝0时，﹣(x＋1)2＋4＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1，
∴A(﹣3，0)，
∵D(﹣1，4)，C(0，3)，
∴△ADC的面积＝S△AOD＋S△CDO﹣S△AOC＝eq \f(1,2)×3×4＋eq \f(1,2)×3×1﹣eq \f(1,2)×3×3＝3；
(3)如图2，过点M作MN∥y轴，交AC于点N，
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，
∴设直线AC的解析式为y＝kx＋m，
则，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝x＋3，
设点M的坐标为(t，﹣t2﹣2t＋3)，则N(t，t＋3)，
∵点M是在AC上方抛物线上有一动点，
∴﹣3＜t＜0，MN＝(﹣t2﹣2t＋3)﹣(t＋3)＝﹣t2﹣3t，
∴S△AMC＝eq \f(1,2)•MN•OA＝eq \f(3,2)(﹣t2﹣3t)＝﹣eq \f(3,2)(t＋eq \f(3,2))2＋eq \f(27,8)，
∵﹣eq \f(3,2)＜0，
∴当t＝eq \f(3,2)时，△ACM的面积有最大值，此时点M的坐标为(﹣eq \f(3,2)，eq \f(15,4))．
如图，在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(0，2)，以AB为边向右作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，二次函数y=eq \f(1,2)x2＋bx﹣2的图象经过点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出直线l平移的最远距离；
(3)将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到△AB'C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)过点C作CK⊥x轴交于点K，如图：
∵∠BAO＋∠CAK＝90°，∠BAO＋∠OBA＝90°，
∴∠CAK＝∠OBA，
又∠AOB＝∠AKC＝90°，AB＝AC，
∴△ABO≌△CAK(AAS)，
∴OB＝AK＝2，AO＝CK＝1，
∴OK＝AO＋AK＝1＋2＝3，
∴点C的坐标为(3，1)，
将点C的坐标代入y＝eq \f(1,2)x2＋bx﹣2得：1＝eq \f(1,2)×9＋3b﹣2，解得：b＝﹣eq \f(1,2)，
∴二次函数表达式为y＝eq \f(1,2)x2﹣eq \f(1,2)x﹣2；
(2)由y＝eq \f(1,2)x2﹣eq \f(1,2)x﹣2可知抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(1,2)，且当直线l将△ABC的面积分为左部分比右部分＝2：1时，直线l平移的距离最远，如图：
设此时直线l分别交边BC、AC分别为点M、N，
由B(0，2)，C(3，1)可得直线BC解析式为y＝﹣eq \f(1,3)x＋2，
由A(1，0)，C(3，1)可得直线AC解析式为y＝eq \f(1,2)x﹣eq \f(1,2)，
设点M的坐标为(t,﹣eq \f(1,3)t＋2)，点N坐标为(t,eq \f(1,2)t﹣eq \f(1,2))，1≤t＜3，
∵直线l将△ABC的面积分为左部分比右部分＝2：1，
∴S△CMN＝eq \f(1,3)S△ABC，
又AB＝eq \r(5)，
∴eq \f(1,2)×(3﹣t)(﹣eq \f(1,3)t＋2﹣eq \f(1,2)t＋eq \f(1,2))＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(5)×eq \r(5)，解得t=3﹣eq \r(2)或3＋eq \r(2)(舍去)，
∴直线l平移的距离最远是3﹣eq \r(2)﹣eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)﹣eq \r(2)；
(3)在二次函数图象上存在点P，使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形，理由如下：
①当∠PCB'＝90°时，如图：
∵B，B'关于直线AC对称，
∴∠BCA＝∠B'CA＝45°，
∴∠BCB'＝90°，即点P为直线BC与抛物线的另外一个交点，
由得：或，
∴点P的坐标为；
②当∠CB'P＝90°时，过B'作BT⊥x轴于T，如图：
∵B，B'关于直线AC对称，∠BAC＝90°，
∴BA＝B'A，
∵∠BAO＝∠B'AT，∠BOA＝90°＝∠B'TA，
∴△BOA≌△B'TA(AAS)，
∴AT＝AO＝1，OB＝B'T＝2，
∴OT＝AO＋AT＝2，
∴B'(2，﹣2)，
由①知，∠BCB'＝90°，
∴过B'作BC的平行线，与抛物线的交点即为P，
∵直线BC解析式为y＝﹣eq \f(1,3)x＋2，B'(2，﹣2)，
∴B'P解析式为y＝﹣eq \f(1,3)x﹣eq \f(4,3)，
由得或，
∴点P的坐标为(﹣1，﹣1)或(eq \f(4,3),﹣eq \f(16,9))，
综上所述，点P的坐标为：或(﹣1，﹣1)或．
定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”．
(1)函数y＝﹣x＋1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 ，函数y＝(x﹣2)2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 ；
(2)已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q(0，1)互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；
(3)已知点A(0，1)，点B(4，1)，点C(2，0)，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)，与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
【答案解析】解：(1)∵两个函数是关于原点O的“对称函数”，
∴两个函数的点分别关于原点中心对称，
设函数y＝﹣x＋1上的任一点为(x，y)，则它的对称点为(﹣x，﹣y)，
将(﹣x，﹣y)代入函数y＝﹣x＋1得：﹣y＝x＋1，
∴y＝﹣x﹣1．
函数y＝x＋1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为y＝﹣x﹣1；
同理可得，函数y＝(x﹣2)2＋1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为y＝﹣(x＋2)2﹣1，
故答案为：y＝﹣x﹣1；y＝﹣(x＋2)2﹣1；
(2)函数G的解析式为y＝﹣(x＋1)2＋3，
如图，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，
∵“对称函数”的开口方向向下，
∴在对称轴的右侧y随自变量x的增大而减小，
函数y＝x2﹣2x在对称轴的左边y随自变量x的增大而减小，
∴函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜1；
(3)①当“对称函数”的顶点在AB上时，如图，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a(x﹣1)2﹣4a，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，
∵点C(2，0)为对称中心，
∴函数N的对称轴为直线x＝3，
∴函数N的顶点坐标为(3，1)，
∵(3，1)关于点C(2，0)对称的点为(1，﹣1)，
∴将(1，﹣1)代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：
a﹣2a﹣3a＝﹣1，
∴a＝eq \f(1,4)，；
②当两个函数的交点在AB上时，如图，
二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴的交点为(﹣1，0)和(3，0)，
∵点C(2，0)为对称中心，
∴函数N与x轴的交点为(5，0)和(1，0)，
∴函数N的解析式为y＝﹣ax2＋6ax﹣5a，
当y＝1时，
，
解得：a＝eq \f(\r(3),6)；
③当“伴随函数”经过点B时，如图，
∵点B(4，1)，
∴1＝﹣a×16＋6a×4﹣5a，解得：a＝eq \f(1,3)．
综上，图形W与线段AB恰有2个公共点，a的取值范围为a＝eq \f(1,4)或a＝eq \f(\r(3),6)或a＞eq \f(1,3)．
如图所示，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点．已知AO＝8，AD＝10．
(1)求F点的坐标；
(2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过O，F，且直线y＝6x﹣36是该抛物线的切线．求抛物线的解析式．并验证点M(5，﹣5)是否在该抛物线上．
(3)在(2)的条件下，若点P是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较∠POF与∠MOF的大小(不必证明)，并写出此时点P的横坐标xP的取值范围．
【答案解析】解：(1)由折叠可知AD＝AF，
∵AD＝10，
∴AF＝10，
∵AO＝8，
∴OF＝6，
∴F(6，0)；
(2)设y＝ax2＋bx，
将F(6，0)代入可得b＝﹣6a，
∴y＝ax2﹣6ax，
联立方程组，
整理得ax2﹣6ax﹣6x＋36＝0，
∴Δ＝0，可得a＝1，
∴y＝x2﹣6x，
将点M(5，﹣5)代入y＝x2﹣6x，等式成立，
∴M点在抛物线上；
(3)设P(xP，xP2﹣6xP)，
∵M(5，﹣5)，
过点M作MG⊥x轴交于G，过P点作PH⊥x轴交于H，
∴MG＝OG＝5，
∴∠MOF＝45°，
当∠POH＝45°时，xP＝xP2﹣6xP，
∴xP＝0(舍)或xP＝7，
∴当xP＝7时∠POF＝∠MOF；
当xP＞7时∠POF＞∠MOF；
当3＜xP＜7时∠POF＜∠MOF．
如图，已知抛物线与坐标轴相交于点A(﹣1，0)，C(0，﹣3)两点，对称轴为直线x＝1，对称轴与x轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的点，当∠ACP＝45°时，求点P的坐标；
(3)点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
【答案解析】解：(1)∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴设抛物线y＝a(x﹣1)2＋k，
把A(﹣1，0)，C(0，﹣3)代入y＝a(x﹣1)2＋k得：
，∴，
∴y＝(x﹣1)2﹣4；
(2)如图过AC作AQ⊥AC，且AQ＝AC，过A作MN∥y轴，过C作CN⊥MN于N，过Q作QM⊥MN于M，
∴∠ACQ＝45°，点P即所求的点，
∴∠QMA＝∠CNA＝90°，∠QAC＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠MQA＝90°，
∴∠2＝∠MQA，
∴△MQA≌△NAC(AAS)，
∴MA＝NC＝1，MQ＝AN＝3，
∴Q(2，1)，
设直线CQ的解析式为y＝kx＋b，
∴，∴，
∴yCQ＝2x﹣3，
∴，∴，，
∴P(4，5)；
(3)∵y＝(x﹣1)2﹣4，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
依题意设N(1，n)，M(m，m2﹣2m﹣3)，
∵C(0，﹣3)，对称轴为直线x＝1，
∴F(2，﹣3)，
∵A(﹣1，0)，F(2，﹣3)，N(1，n)，M(m，m2﹣2m﹣3)，当以AF为对角线时，
，
∴m＝0，
∴M(0，﹣3)，
当以AN为对角线时，
，
∴m＝﹣2，
∴M(﹣2，5)，
当以AM为对角线时，
，
∴m＝4，
∴M(4，5)，
综上所述：M(0，﹣3)或M(﹣2，5)或M(4，5)．
如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点C(2，﹣3)，且与x轴交于原点及点B(8，0)，点A为抛物线的顶点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；
(3)若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2eq \r(2)，求eq \f(1,2)AP＋PB的最小值．
【答案解析】解：(1)由题意，解得：，
∴二次函数的表达式为y＝eq \f(1,4)x2﹣2x；
(2)过点A作直线AF⊥x轴于点F，
由(1)得y＝eq \f(1,4)(x﹣4)2﹣4，
∴抛物线的顶点A(4，﹣4)，
①AM＝BM，
∵B(8，0)，
∴BF＝4，
∵∠AFB＝90°，AF＝BF＝4，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴M在点F处，△ABM是等腰直角三角形，此时M为(4，0)，
②AB＝AM，
由①得△ABF是等腰直角三角形，BF＝4，
∴AB＝4eq \r(2)，
∴M为(4，﹣4﹣4eq \r(2))或(4，﹣4＋4eq \r(2))，
③AB＝BM，
∵AB＝BM，BF⊥AM，
∴MF＝AF，
∴M为(4，4)，
综上所述，M为(4，0)，(4，﹣4﹣4eq \r(2))或(4，﹣4＋4eq \r(2))或(4，4)；
(3)如图2，以O为圆心，2eq \r(2)为半径作圆，则点P在圆周上，
在OA上取点D，使OD＝eq \r(2)，连接PD，
则在△APO和△PDO中，满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，
∴△APO∽△PDO，
∴＝＝＝2，
从而得：PD＝eq \f(1,2)AP，∴eq \f(1,2)AP＋PB＝PD＋PB，
∴当B、P、D三点共线时，PD＋PB取得最小值，
过点D作DG⊥OB于点G，由于OD＝eq \r(2)，且△ABO为等腰直角三角形，
则有DG＝1，∠DOG＝45°，
∴eq \f(1,2)AP＋PB的最小值为：eq \f(1,2)AP＋PB＝DB＝5eq \r(2)．
已知二次函数解析式为y＝x﹣1(a≠0)，该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，DE⊥y轴交抛物线于点E．
(1)求点D的纵坐标．
(2)当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值．
(3)当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围．
(4)设点R(a﹣3，﹣1)，点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围．
【答案解析】解：(1)当x＝2时，y＝﹣3，
∴D(2，﹣3)；
(2)令x＝0，则y＝﹣1，
∴A(0，﹣1)，
∵y＝x﹣1＝(x﹣)2﹣，
∴顶点B(，﹣)，
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴C(a＋2，﹣1)，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB⊥BC，
∴||＝|﹣1＋|，
解得a＝±2或a＝﹣eq \f(2,3)，
当a＝2时，B(0，1)，C(0，﹣1)，此时C点与A点重合，
∴a＝2(舍)；
∴a＝﹣2或a＝﹣eq \f(2,3)；
(3)∵抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(1,2)a＋1，
①当eq \f(1,2)a＋1＜0时，a＜﹣2，
此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，
当x＝2时，函数有最小值﹣3，
∴函数的最大值与最小值的差为2；
②当eq \f(1,2)a＋1＞2时，a＞2，
此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，
当x＝2时，函数有最小值﹣3，
∴函数的最大值与最小值的差为2；
③当0≤eq \f(1,2)a＋1≤1时，﹣2≤a＜0，
此时当x＝eq \f(1,2)a＋1，函数有最大值﹣，
当x＝2时，函数有最小值﹣3，
∵函数的最大值与最小值的差为2，
∴﹣＋3＝2，∴＝1，解得a＝﹣2；
④当1＜eq \f(1,2)a＋1≤2时，0＜a≤2，
此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，
当x＝eq \f(1,2)a＋1时，函数有最小值﹣，
∵函数的最大值与最小值的差为2，
∴﹣1＋＝2，∴＝3，解得a＝2；
综上所述：a≤﹣2或a≥2时，函数的最大值与最小值的差为2；
(4)∵D(2，﹣3)，DE⊥y轴，
∴DE所在直线为y＝﹣3，
∵A(0，﹣1)，R(a﹣3，﹣1)，
∴N(0，﹣5)，R(a﹣3，﹣5)，
当a＞0且eq \f(1,2)a＋1≥a﹣3时，
∴0＜a≤8，
∵a﹣3＞0，
∴3＜a≤8；此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小；
当a＞0且eq \f(1,2)a＋1＜a﹣3时，解得a＞8，
∵a﹣3＞0，
∴a＞3，
∵eq \f(1,a)(a﹣3)2﹣eq \f(1,2)a＋1•(a﹣3)﹣1≤﹣5，解得a≥15；
此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小；
当a＜0时，﹣≥﹣1，
解得a＜0，此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而增大；
综上所述：a≥15或a＜0或3＜a≤8时，符合题意．
若直线y＝﹣2x＋4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2＋3x＋c的图象经过点A，交x轴于C、D两点，且抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(3,2)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)过点C作直线CE∥AB交y轴于点E，点P是直线CE上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标；
(3)在(2)的结论下，点E是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点G，直线EQ交x轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得∠MFQ＋∠CAO＝45°，求点M的坐标．
【答案解析】解：(1)由直线y＝﹣2x＋4与y轴交于点A，得A(0，4)，
又抛物线经过点A且对称轴为直线x＝eq \f(3,2)，
则c＝4，由﹣＝，得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2＋3x＋4．
(2)如图1，作QH⊥AB于点H，QN∥y轴交直线AB于点N．
设点Q(x，﹣x2＋3x＋4)，则F(x，﹣2x＋4)；
当y＝0时，由﹣x2＋3x＋4＝0得，x1＝﹣1，x2＝4，
∴C(﹣1，0)，D(4，0)；
由﹣2x＋4＝0，得x＝2，
∴B(2，0)，
∴AB＝2eq \r(5)．
∵∠HNQ＝∠OAB，
∴，
∴HQ＝eq \f(\r(5),5)QN＝eq \f(\r(5),5)(﹣x2＋3x＋4＋2x﹣4)＝eq \f(\r(5),5)(﹣x2＋5x)，
由CE∥AB，可得，
∴S四边形APBQ＝S△ABQ＋S△ABP＝﹣x2＋5x＋6＝﹣(x﹣eq \f(5,2))2＋12eq \f(1,4)，
∴当x＝eq \f(5,2)时，四边形APBQ的面积最大，四边形APBQ的最大面积为12eq \f(1,4)，此时Q(eq \f(5,2)，eq \f(21,4))．
(3)存在．
如图2，由y＝﹣x2＋3x＋4＝﹣(x﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(25,4)，得E(eq \f(3,2)，eq \f(25,4))，又Q(eq \f(5,2)，eq \f(21,4))，
设直线EF的解析式为y＝kx＋b，则，解得，
∴F(，0)，GF＝＝＝GE，
∴△EGF是等腰直角三角形．
若点M在直线EF下方，当时，则∠GFM＝∠CAO，
∴∠MFQ＋∠CAO＝45°，此时MG＝×＝，∴M(，)．
若点M在直线EF上方，作点M关于直线EF的对称点J，连接EJ，则△MEJ是等腰直角三角形，∴EJ∥x轴．
∵EJ＝EM＝，∴J(，)．
设直线FJ的解析式为y＝mx＋n，则
，解得，
∴y＝﹣4x＋31，当x＝eq \f(3,2)时，y＝﹣4×eq \f(3,2)＋31＝25，此时，M(eq \f(3,2)，25)．
综上所述，点M的坐标为(，)或(，25)
如图1所示，直线y＝eq \f(3,4)x＋3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C(1，2)在经过点A，B的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为线段AB上(不与端点重合)的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ＋eq \f(4,5)PB取得最大值时点P的坐标；
(3)如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G(﹣1，0)，直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD＋∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．
【答案解析】解：(1)由题意得：A(﹣4，0)，B(0，3)，
∴，∴，
∴y＝﹣﹣＋3；
(2)如图1，
作PD⊥OB于D，
设Q(m，﹣﹣＋3)，P(m，m＋3)，
∴PQ＝﹣﹣＋3﹣(＝﹣﹣，
∵PD∥OA，
∴△BPD∽△BAO，
∴＝，∴＝，∴PB＝﹣，
∴PQ＋PB＝﹣﹣m﹣m＝﹣﹣，∴当m＝﹣，
∵＋3＝，∴P(﹣，)；
(3)如图2，
作CN⊥AD于N，作MT⊥AB于T，
∵C(1，2)，G(﹣1，0)，
∴CN＝GN＝2，
∴∠CGN＝∠NCG＝45°，
∴∠CFD＋∠GDF＝45°，
∵∠CFD＋∠ABH＝45°，
∴∠GDF＝∠ABH，
∵∠GDF＝∠HBO，
∴∠ABH＝∠HBO，
∴OM＝MT，
∵S△ABM＋S△BOM＝S△AOB，
∴，
∴5OM＋3OM＝3×4，
∴OM＝eq \f(3,2)，
∴M(﹣eq \f(3,2)，0)，
∴直线BM的解析式为：y＝2x＋3，
∵C(1，2)，G(﹣1，0)，
∴直线CG的解析式为：y＝x＋1，
由2x＋3＝x＋1得，x＝﹣2，
∴x＋1＝﹣1，
∴H(﹣2，﹣1)．
抛物线y＝x2＋bx＋c过A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称．
(1)抛物线的解析式是 ，△ABD的面积为 ；
(2)在直线AD下方的抛物线上存在点P，使△APD的面积最大，求出最大面积．
(3)当t≤x≤t＋1时，函数y＝x2＋bx＋c的最小值为5，求t的值．
(4)若点M在y轴上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时M点的坐标．
【答案解析】解：(1)把A(﹣1，0)，B(3，0)分别代入y＝x2＋bx＋c(a≠0)中，
得，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C(0，﹣3)，
∵点C、D关于抛物线的对称轴对称，y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝1，点D(2，﹣3)，
∴△ABD的面积为eq \f(1,2)AB•OC＝eq \f(1,2)×4×3＝6，
故答案为：y＝x2﹣2x﹣3，6；
(2)过点P作PM⊥x轴于点M，交AD于点N．
设直线AD的解析式为y＝kx＋a，
把A(﹣1，0)，D(2，﹣3)分别代入y＝kx＋a中，
得，解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1，
设点P的横坐标为m，则P(m，m2﹣2m﹣3)，N(m，﹣m﹣1)，
∴PN＝﹣m﹣1﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2＋m＋2．
∴S△APD＝S△APN＋S△DPN＝eq \f(1,2)PN•(xD﹣xA)
＝eq \f(1,2)×(﹣m2＋m＋2)×(2＋1)＝﹣eq \f(3,2)×(m2﹣m﹣2)＝﹣eq \f(3,2)(m﹣eq \f(1,2))2＋eq \f(27,8)．
∴当m＝eq \f(1,2)时，△APD的最大面积为eq \f(27,8)；
(3)∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，﹣4)，
①当t＋1＜1时，t＜0，
当x＝t＋1时，y＝(t＋1﹣1)2﹣4＝5为最小值，解得t＝3(舍去)或t＝﹣3；
②当t≤1，t＋1≥1时，0≤t≤1，
此时，函数的最小值为﹣4≠5；
③当t＞1时，
x＝t时，y＝(t﹣1)2﹣4＝5为最小值，解得t＝4或t＝﹣2(舍去)，
综上所述，t的值为﹣3或4；
(4)①当∠DNM＝90°，ND＝NM时，如图，过点D作DE⊥x轴于E，
∴DE＝3，OE＝2，
∵∠MON＝∠DEN＝90°，∠DNM＝90°，
∴∠MNO＝∠NDE，
∵ND＝NM，
∴△MNO≌△NDE(AAS)，
∴OM＝EN，ON＝DE＝3，
∴OM＝EN＝ON﹣OE＝3﹣2＝1，
∴M(0，1)，
如图，同理可得NE＝OM＝ON＋OE＝DE＋OE＝3＋2＝5，
∴M(0，5)；
②当∠DMN＝90°，MN＝MD时，∵点C、D关于抛物线的对称轴对称．
∴CD⊥y轴，
∴∠DCM＝∠MON＝90°＝∠DMN，
∴∠DMC＝∠MNO，
∵MN＝MD，
∴△MNO≌△DMC(AAS)，
∴OM＝CD＝2，
∴M(0，2)或(0，﹣2)，
③当∠NDM＝90°时，过点D作DE⊥x轴于E，
同理可得△DCM≌△DEN，则DC＝DN，
∵D(2，﹣3)，
∴DC＝2，DN＝3，与DC＝DN矛盾，故此种情况不存在，
综上所述，满足条件的M点的坐标为(0，1)或(0，5)或(0，2)或(0，﹣2)．