四川省成都市简阳市2022-2023学年九年级下学期开学学业质量检测数学试题（含详细答案）

四川省成都市简阳市2022-2023学年九年级下学期开学学业质量检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成，它的俯视图是（      ）

A． B． C． D．

2．把一元二次方程化成一般形式后，一次项系数的一半为（    ）

A．8 B．4 C． D．-4

3．若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．15

4．下列性质中，矩形不一定具有的是（    ）

A．对角线互相垂直 B．对角线相等

C．对角线互相平分 D．邻边互相垂直

5．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ）

A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3

7．已知，函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

8．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中，与相似的阴影三角形是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

9．已知，则_________．

10．某口罩厂八月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量增加，十月份的产量增加到121万只，设九月、十月口罩产量的月平均增长率为，则可列方程为_________．

11．如图，菱形的边长为，其中对角线的长为，则菱形的面积为_________．

12．若点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是___________（用“<”连接）．

13．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线；③以点B为圆心，以为半径画弧交直线于点G；④连接交于点P．则_________．

三、解答题

14．解方程

(1)

(2)

15．某校为了提高食堂晚餐的就餐质量，在特色菜窗口新增四种菜品：A蒸菜，B凉拌菜，C铁板烧烤，D红烧菜，为了解孩子们对这四种菜品的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

(1)本次调查中，共抽查了_________名学生；

(2)补全条形统计图；

(3)初三一班随机抽取了两人，其中只有一人喜欢红烧菜的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）

16．简阳市南门的圣德寺塔又名“白塔”，是全国重点文物保护单位，某校九年级数学兴趣小组想用直角三角板与皮尺测量“白塔”的高度．如图，让一名同学直立在点F处，手拿一块直角三角板放在头顶C上，，保持斜边与地面平行，延长交于点G，另一同学沿着射线的方向观察，刚好看到塔的顶端A点，这时用皮尺测得点F到塔底端的距离为米，已知该同学的身高为米，求塔的高度．（结果精确到米，）

17．如图，平行四边形中，平分，，延长与交于点P，连接．

(1)求证：；

(2)判断四边形的形状，并证明你的结论．

18．如图，在平面直角坐标系中，点，点在反比例函数的图象上．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求的面积；

(3)在反比例函数图象上是否存在点P，使的面积是面积的2倍．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

四、填空题

19．若，是方程的两个实数根，则的值为_________．

20．如图，正方形是飞镖游戏板，对角线相交于点O，，任意投掷一个飞镖都落在游戏板上，则飞镖落在阴影部分的概率为__________．

21．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知点的横坐标为1，当时，的取值范围为__________．

22．如图，线段，点C是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，以此类推，则__________．

五、解答题

23．如图，在菱形中，，，G为边上一动点，作于点，于点H，当取得最小值时，__________．

24．2022年夏天，某地最高温度达到了40.2℃．某电器城抓住这波“高温”大搞电器促销活动销售某种空调，每台进价为2500元．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天能多售出4台．若设每台空调降价元，平均每天销售空调的数量为台．

(1)求与的函数表达式；

(2)商场要想使这种空调的销售利润平均每天达到5000元，每台空调的定价应为多少元？

25．如图，点A，B是反比例函数上两点，点B位于点A右侧，若点A的坐标为，点B的横坐标为，过点A作轴，过点B作轴，交于点C，连接，过B作x轴的平行线，与交于点D，连接交于点E．

(1)求k的值，求点B的坐标，求直线的表达式；

(2)求点D的坐标，根据坐标判断四边形的形状，并说明理由；

(3)猜想与的关系，并证明你的猜想．

26．如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形交直线于点H．

【尝试初探】

(1)在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由；

【深入探究】

(2)随着E点位置的变化，H点的位置也随之发生变化，当B，C，G共线时，连接，求的数量关系；

【拓展延伸】

(3)连接，当的长度为时，求的最小值（用含n和的代数式表示）．

参考答案：

1．C

【分析】根据从上往下看为俯视图即可得到答案.

【详解】从上往下看，得到的俯视图为，

故选：C.

【点睛】本题主要考查简单组合体的三视图，解题时需注意俯视图是从上往下看得到的图形为俯视图.

2．D

【分析】将方程化为一般形式，再求出答案即可．

【详解】解：原方程变为，

可知一次项系数的一半是．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，判断系数是解题的关键．

3．C

【分析】根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可．

【详解】解：∵a，b，b，c是成比例线段，

∴，

∵，，

∴，

解得．

故选：C．

【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质，列方程求解．

4．A

【分析】根据矩形的性质解答即可．

【详解】解：A、矩形的对角线平分、相等，故A选项不正确，符合题意；

B、矩形的对角线平分、相等，故B选项正确，但不符合题意；

C、矩形的对角线平分、相等，故C选项正确，但不符合题意；

D、矩形的四个角都是直角，则邻边互相垂直，故D选项正确，但不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查矩形的性质：对边平行且相等，矩形的对角线平分、相等，四个角都是直角．

5．D

【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．

【详解】解：由关于的一元二次方程有实数根，

得，

解得，

故选：D．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．

6．B

【分析】根据两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求解．

【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为，

∴，，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键．

7．A

【分析】根据一次函数与y轴的正半轴相交，即可排除C、D两项，再根据一次函数和反比例函数中的系数k的符号即可作答．

【详解】当时，，

即一次函数与y轴的正半轴相交，交点为：，故C、D两项错误，不符合题意，

A项，由一次函数的图象经过一、二、三象限可知，由反比例的图象经过一、三象限可知，故A项正确，符合题意；

B项，由一次函数的图象经过一、二、四象限可知，由反比例的图象经过一、三象限可知，二者矛盾，故B项错误，不符合题意；

故选：A．

【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键．

8．B

【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．

【详解】解：因为中有一个角是，夹角两边为，，

选项中，有角的三角形只有B，夹角两边为，，

故满足两边成比例且夹角相等，

故选：B．

【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

9．2

【分析】根据比例的性质设，代入代数式进行计算即可求解．

【详解】解：∵，

设，，

∴，

故答案为：2．

【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．

10．

【分析】设九月、十月口罩产量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可求解．

【详解】解：设九月、十月口罩产量的月平均增长率为，则可列方程为

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

11．96

【分析】首先根据菱形的性质可得，，，然后再根据勾股定理计算出长，进而得到答案．

【详解】解：∵四边形是菱形，

∴，，，

∵，

∴，

∵，

∴

∴．

∴．

故答案为：96．

【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系．

12．

【分析】根据反比例函数的性质得出图象在第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据点的横坐标比较即可．

【详解】解：∵中，

∴图象在第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，

∵点，，都在反比例函数的图象上，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．

13．105°##105度

【分析】如图，由题意易得，，，则有，进而问题可求解．

【详解】解：如图所示：

由题意得垂直平分，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、三角函数及线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质、三角函数及线段垂直平分线的性质是解题的关键．

14．(1)，

(2)，

【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；

（2）根据因式分解法解一元二次方程．

【详解】（1），

∴或，

解得，；

（2），

，

∴或，

解得，．

【点睛】本题题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

15．(1)40

(2)见解析

(3)

【分析】（1）根据选择C的人数和所占的百分比即可求得本次调查的学生数；

（2）根据条形统计图中的是和（1）中的结果，可以计算出B的人数，然后补全条形统计图即可；

（3）先列表求出所有可能结果数和满足题意的结果数，然后再运用概率公式计算即可．

【详解】（1）解：（名），即本次共调查了40名学生．

故答案为：40．

（2）解：B组的人数为：

故补条形全统计图如下：

（3）解：根据题意列表如下：

共16种结果，只有一人喜欢红烧菜有6种，

∴概率为．

【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用、画条形统计图、列表法求概率等知识点，正确从统计图中获取有用信息是解答本题的关键．

16．米

【分析】在中，，解，根据，即可求解．

【详解】解：由题意得：，，，

∴，

∴四边形为矩形，

∴，，

在中，，

则

∴，

答：白塔的高度为米．

【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．

17．(1)见解析

(2)菱形，证明见解析

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，，进而证明，得出，等量代换即可得证；

（2）根据（1）知，得出，根据角平分线的定义得出，，得出，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证．

【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，

∴，，

∴，

在和中，

∴，

∴，

又∵，

∴；

（2）由（1）知

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴四边形是菱形．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定定理，全等三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键．

18．(1)

(2)3

(3)存在，，，，

【分析】（1）把把，代入得出即可求出反比例函数的表达式

（2）把代入得，确定点B的坐标，再根据待定系数法得出直线的表达式，求出与轴的交点，再根据即可

（3）设点为，根据列出方程解之即可

【详解】（1）解：把，代入得：，

∴反比例函数的表达式为，

（2）把代入得，

∴为；

设直线的表达式为：，

把点，点代入得：，

解得：

∴，

∴与轴的交点，

∴；

（3）设点为，

∴，

∵，

∴或，

∴，，，

∴为，，，．

【点睛】本题考查了反比例函数与几何，反比例函数与一次函数，根据列出方程是解题的关键

19．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而问题可求解．

【详解】解：由，是方程的两个实数根，可得：，且，

∴；

故答案为．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

20．0.25##

【分析】根据正方形的性质可得阴影部分的面积为正方形面积的四分之一，然后问题可求解．

【详解】解：∵四边形是正方形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴四边形的面积等于的面积，

∴任意投掷一个飞镖都落在游戏板上，则飞镖落在阴影部分的概率为，

故答案为．

【点睛】本题主要考查正方形的性质及概率，熟练掌握正方形的性质及概率公式是解题的关键．

21．或

【分析】直接利用正比例函数的性质得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围．

【详解】解：∵正比例函数与反比例函y2＝的图象相交A、B两点，其中点A的横坐标为1，

∴B点的横坐标为，

不等式表示的是正比例函数的图象位于反比例函数的图象的下方，

x的取值范围是：或．

故答案为：或．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称．

22．

【分析】先按照黄金分割比例依次计算出、、，然后按照规律即可得到．

【详解】解：设，，

点C是线段的黄金分割点，

，

即，整理得，

解得或（舍去），

∴，，

是线段的黄金分割点，

，，

是线段的黄金分割点，

，，

、、，

以此类推，，

故答案为：．

【点睛】本题考查了黄金分割、规律探究表达，求出黄金分割比，并按照规律表示出是解题关键．

23．##

【分析】作点O关于的对称点，连接，，证明，，点、、F在同一直线上，且时，最小，作点O关于的对称点，过点作，垂足为F，交于点G，交于点M，根据菱形的性质，利用三角函数和平行线的判定和性质，求出即可．

【详解】解：作点O关于的对称点，连接，，如图所示：

则，

∵四边形为菱形，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴四边形为矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴点、、F在同一直线上，且时，最小，

作点O关于的对称点，过点作，垂足为F，交于点G，交于点M，如图所示：

∵四边形为菱形，

∴，，，

，，

∴为等边三角形，

∴，，

∴，，

∵点O关于的对称点，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，三角函数的应用，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，轴对称的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，找出点G的位置．

24．(1)

(2)2750元

【分析】（1）利用题意列出y与x的函数表达式即可；

（2）利用“商场销售这种冰箱每天获得的利润=每台冰箱的销售利润×平均每天的销售数量”列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入中即可解答．

【详解】（1）解：由题意得：，即．

（2）（2）由题意得：，

整理得：，解得：，

∴．

答：每台空调的定价应为2750元．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、列函数关系式等知识点，明确各量之间的关系是解答本题的关键．

25．(1)，，

(2)，矩形，理由见解析

(3)，证明见解析

【分析】（1）把点坐标代入即可求出值，把点的横坐标代入反比例函数解析式即可得出点的坐标，根据点和点坐标确定出点坐标即可求出直线表达式；

（2）先根据点确定点的横坐标，再代入直线表达式即可得出点坐标，根据矩形的判定进行证明四边形为矩形，即可；

（3）根据矩形性质和三角形外角和定理得出，再根据勾股定理求出和的长，根据等边对等角得出，最后即可得出平行线性质得出．

【详解】（1）把点为代入，并解得，

∴，

∵点的横坐标为，

∴纵坐标，

∴点为，

∴点为，

设直线表达式为，

把点代入并解得，

∴直线表达式为；

（2）∵轴，

∴的纵坐标与的纵坐标相等为，

∴代入直线：得横坐标，

∴点为，

四边形为矩形，理由如下：

∵轴，轴，∴，

∵点为，点为，∴轴，

∵轴，∴，

∴四边形为平行四边形，

又∵，

∴四边形为矩形；

（3），理由如下：

∵四边形为矩形，

∴，

∴，

∴，

∵，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∵轴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合，熟练掌握反比例函数的性质，一次函数b表达式的求法，矩形的判定与性质，平行线的性质等知识点是解题的关键．

26．(1)见解析

(2)

(3)

【分析】（1）先说明，再说明即可证明结论；

（2）由可得，再证明可得即，然后易证可得，代入即可证明结论；

（3）如图，连接BD，BG，再分别说明和可得即，易得进而得到，最后在中运用勾股定理即可解答．

【详解】（1）解：∵四边形和四边形是矩形，

∴，

∴，

∴，

∵矩形矩形，

∴，

∴，

∴在点E的运动过程中，与始终保持相似关系．

（2）解：如图，

∵，

∴，D、C、F三点共线，即F点在DC的延长线上，

∴，

在和中，

，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

易证，

∴，

∴．

（3）解：如图，连接BD，BG，

∵矩形矩形，

∴，

∴，

∴，

∵矩形矩形，

∴，

∴，

∴，即恒等于90°，

∴当时，有最小值，

易证，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得，

∴．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理是解题的关键．