2023年四川省成都市锦江区九年级一诊数学试题（含详细答案）

这是一份2023年四川省成都市锦江区九年级一诊数学试题（含详细答案），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省成都市锦江区九年级一诊数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图，是一个由长方体截去一部分后得到的几何体，其主视图是（    ）

A． B． C． D．
2．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ）
A． B． C． D．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
4．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ）

A． B． C． D．
5．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点B的坐标是，点D的坐标是，点A在x轴上，则点C的坐标是（    ）

A． B． C． D．
6．一个不透明的箱子里共装有m个球，其中红球5个，这些球除颜色不同外其余都相同．每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则可以估算出m的值为（    ）
A．1 B．5 C．20 D．25
7．如图，在方格纸上，以点O为位似中心，把线段缩小到原来的，则点A的对应点为（    ）

A．点D或点G B．点E或点F C．点D或点F D．点E或点G
8．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，则的周长为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

二、填空题
9．若 则=  _____．
10．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________．
11．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则和的大小关系为__________．
12．小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得，．接着，她又将这个学其活动成为图2所示正方形，此时的长为__________．

13．如图，在中，，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交AC于点H，若H恰好为的中点，则的长为__________．


三、解答题
14．（1）计算：；
（2）解方程：．
15．中国共产党第二十次全国代表大会于月日至日在北京举行，这是一次具有里程碑意义的大会，必将对中国和世界产生深远影响．某校积极组织学生学习二十大相关会议精神，并组织了二十大知识问答赛，将比赛结果分为A，B，C，D四个等级，根据如下不完整的统计图解答下列问题：

(1)求该校参加知识问答赛的学生人数；
(2)求扇形统计图中C级所对应的圆心角的度数；
(3)现准备从结果为A级的4人（两男两女）中随机抽取两名同学参加二十大宣讲，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生参加宣讲活动的概率．
16．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．

(1)求的长；
(2)求灯泡到地面的高度．
17．如图1，的各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．

(1)求证：四边形为矩形；
(2)如图2，当为矩形时，
①求证：四边形EFGH为正方形；
②若，四边形的面积为8，求AB的长．
18．如图1，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A（2，a），B两点．

(1)求反比例函数的表达式及A，B两点的坐标；
(2)M是x轴上一点，N是y轴上一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点M的坐标；
(3)如图2，反比例函数的图象上有P，Q两点，点P的横坐标为，点Q的横坐标与点P的横坐标互为相反数，连接，，，．若的面积是的面积的3倍，求m的值．

四、填空题
19．已知一元二次方程的两个根为，则的值为__________．
20．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________．

21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在函数的图象上，顶点B在x轴正半轴上，边，分别交的数，的图象于点M，N．连接，若轴，则的面积为__________．

22．如图，在矩形中，，，点P是DC上一点，且，点E，F分别是上的动点，连接，始终满足．连接，记四边形的面积为，记的面积为，记的面积为，记的面积为，则__________．

23．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C的坐标分别为，．已知线段的端点M，N的坐标分别为，，平移线段，使得平移后的线段的两个端点均落在正方形的边上，此时正方形被该线段分为两部分，其中三角形部分的面积为__________；已知线段的端点坐标分别为，，且，，．平移线段，使得平移后的线段的两个端点均落在正方形的边上，且线段将正方形的面积分为两部分，取的中点H，连接，则的长为__________．


五、解答题
24．电影《长津湖》是一部讲述抗美援朝题材影片，该片以朝鲜长津湖战役为背景，讲述一个志愿军连队在极寒严酷环境下坚守阵地奋勇杀敌、为战役胜利作出重要贡献的故事，2021年8月首映，深受人们的喜爱．2022年清明节来临之际某电影院开展“清明祭英烈共铸中华魂”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价元，这样按原定票价需花费元购买的门票张数，现在只花费了元．

(1)求每张零售电影票的原定价；
(2)为了弘扬爱国主义精神，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求原定零售票价平均每次的下降率．
25．已知在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图像上．

(1)求k的值；
(2)将反比例函数的图像中x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到新的函数图像如图1所示，新函数记为函数F．
①如图2，直线与函数F的图像交于A，B两点，点A横坐标为，点B横坐标为，且，．点P在y轴上，连接AP，BP．当最小时，求点P的坐标；
②已知一次函数）的图像与函数F的图像有三个不同的交点，直接写出n的取值范围．
26．【问题背景】如图1，在矩形中，点M，N分别在边，上，且，连接，点P在上，连接并延长至点Q，使，连接．

【尝试初探】求证：；
【深入探究】若，，点P为中点，连接，，求证：；
【拓展延伸】如图2，在正方形中，点P为对角线上一点，连接并延长至点Q，使，连接，若，求的值（用含n的代数式表示）

参考答案：
1．C
【分析】从正面看，确定主视图即可．
【详解】解：几何体的主视图为：

故选C．
【点睛】本题考查三视图．熟练掌握三视图的确定方法，是解题的关键．注意，存在看不见的用虚线表示．
2．A
【分析】根据反比例函数的定义，即可判断．
【详解】解：A、，y是x的反比例函数，故A符合题意；
B、，y不是x的反比例函数，故B不符合题意；
C、，y不是x的反比例函数，故C不符合题意；
D、，y不是x的反比例函数，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键，一般地，形如且k是常数的函数叫做反比例函数．
3．C
【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设方程的另一个解为x1，
根据题意得：﹣1+x1=2，
解得：x1=3，
故选C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
4．B
【分析】由相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解．
【详解】因为两个图形相似：

解得：
A选项正确，不符合题意；

B选项错误，符合题意；

C选项正确，不符合题意；
，
D选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质；根据性质求出对应边和对应角是解题的关键．
5．C
【分析】首先连接 、 相交于点 ，由在菱形 中，点 在 轴上，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，可求得点 的坐标，继而求得答案．
【详解】解：连接，相交于点，
四边形是菱形，
，，，
点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，
，轴，
，
，
点的坐标为：．
故选：C．

【点睛】本题考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是注意菱形的对角线互相平分且垂直．
6．D
【分析】用红球的数量除以红球的频率即可．
【详解】解：（个），
所以可以估算出m的值为25，
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
7．A
【分析】作射线，根据位似中心的概念、线段的位似比解答即可．
【详解】解：作射线，
，
射线经过点D和点G，且，，
∴点A的对应点为点D或点G，
故选：A．
【点睛】本题考查位似变换，正确记忆位似图形的特征是解题关键．
8．D
【分析】利用勾股定理算出的长度，根据矩形的性质即可得出的长度，再根据中位线的性质求出周长即可．
【详解】在矩形中，，,
，
对角线，相交于点O，
,
点E，F分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
的周长为：
，
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质和中位线的应用，关键在于根据矩形的性质转变边长，中位线的性质求出边长．
9．
【分析】将变形为，然后代入计算即可．
【详解】解：∵
∴
将代入得

故答案为：
【点睛】本题考查了已知式子值，求代数式值，分式化简求值，熟练分式化简求值是解题关键．
10．
【分析】先将一元二次方程可转化为一般形式，再根据一元二次方程解的根的判别式的意义得到，然后求出a的取值范围．
【详解】一元二次方程可转化为，
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴
∴
∴
【点睛】本题考查一元二次方程解的根的判别式的意义，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
11．##
【分析】根据反比例函数的图象和性质进行判断即可，由于点，都在反比例函数的图象上，若，在第三象限，随的增大而减小，进而得出答案．
【详解】解：由于点，都在反比例函数的图象上，且，
由在第三象限内，随的增大而减小可得，．
故答案为：或．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解并掌握当时，在每个象限内随的增大而减小的性质是正确解答的关键．
12．
【分析】根据菱形的性质和，求出的长度，然后再运用勾股定理求解即可．
【详解】由题意可知是菱形，

，
是等边三角形，

,
是正方形，

，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形、正方形的、等边三角形的性质以及勾股定理；灵活运用性质正确计算是解题的关键．
13．
【分析】连接，如图所示，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示，
由题意得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵H是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 相似三角形的性质与判定，证明得到，进一步证明是解题的关键．
14．（1）；（2），
【分析】（1）根据实数的混合计算法则，零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可；
（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得，．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，解一元二次方程，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
15．(1)，
(2)，
(3)．

【分析】（1）根据A在频数统计图数据除以扇形统计图中的数据即可；
（2）根据（1）和频数统计图求出C级人数，然后用乘以C的总人数所占的比例即可；
（3）画树状图，求出所有可能和符合条件数，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：总人数为：
（人）；
（2）C级人数为：
（人），
C级所对应的圆心角的度数为：
；
（3）画树状图如下：

从两男两女中随机抽取两名同学共有种可能，
恰好抽到一名男生和一名女生有种可能，
恰好抽到一名男生和一名女生的概率为：
．
【点睛】本题考查了统计和随机抽样的概率；根据题意求出总人数、正确画出树状图并按照公式求解是解题的关键．
16．(1)
(2)．

【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长．
【详解】（1）解：（1）由题意可得：，
则，
∴，
∴，
解得：，
答：的长为；
（2）解：∵，
∴，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
17．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②6

【分析】（1）根据平行四边形的邻角互补，以及角平分线平分角，得到四边形的四个内角均为，即可得证；
（2）①由（1）可知，四边形为矩形，根据矩形的性质以及角平分线平分角，得到均为等腰直角三角形，进而推出，得到四边形EFGH为正方形；②根据正方形的面积为8，得到正方形的边长为，利用勾股定理和等腰三角形的性质，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理和等腰三角形的性质，求出AB的长．
【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵的各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，
∴，即：，
同理可得：，
∵，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：①同（1）法可得：四边形为矩形；
∵为矩形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
即：，
又∵四边形为矩形，
∴四边形为正方形；
②由①得：，
∵四边形的面积为8，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的邻角互补，是解题的关键．
18．(1)，A（2，1），
(2)或
(3)

【分析】（1）将A（2，a），代入一次函数解析式，求出值，再求出反比例函数的解析式，联立两个解析式，求出点坐标；
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，利用平移思想进行求解即可；
（3）分别用含的式子表示出，的面积，再利用的面积是的面积的3倍，列式计算即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A（2，a），B两点，
将A（2，a），代入，得：，
∴A（2，1），
∴，
∴，
联立，得：，整理，得：，
解得：，
当时，，
∴；
（2）解：设，，
∵A（2，1），，
∴点是由点先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到的；
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形，
①将点先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到，
则：，即：，，
∴；

②将点先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到，
则：，，即：，
∴；

综上：当点坐标为或时，以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形；
（3）如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点，

由题意，可知：，
设直线的解析式为，
将，代入，则：
解得：
则直线的解析式为
当时，，则；
∵
∴，
∴


；
设直线的解析式为
将， 代入得：
解得：
则直线的解析式为
当时，则：，
∵，
∴，



；
∵，
∴，
解得：，，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
19．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出的值即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟记两根之和与两根之积与系数之间的关系．
20．##50度
【分析】根据矩形的性质，得到，利用三角形外角求出，利用垂直可求出结果．
【详解】∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质；灵活运用矩形的性质求解是解题的关键．
21．6
【分析】设M点的坐标为，N点的坐标为，表示出，根据相似，求出，，进而求出的面积．
【详解】∵轴，
∴，点M，N的纵坐标相同，
设M点的坐标为，N点的坐标为，
∴，
如图，过点M作轴，点A作轴，

∴，
根据反比例函数与三角形的面积关系可得：，，
∴，
∵相似三角形中面积比等于相似比的平方，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵M点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数与三角形面积的关系，解题的关键是根据题意作出相应的辅助线，并通过设坐标法进行求解．
22．
【分析】根据题意假设当当点E和点D重合时，首先证明出，根据相似三角形的性质得到，然后根据三角形面积公式表示出，，的大小求解即可．
【详解】∵点E，F分别是上的动点，
∴假设当点E和点D重合时，如图所示，

∴，
∵在矩形中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴矩形的面积，
∴
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
23．          ##
【分析】明确三角形部分与形状大小完全相同，即可求解；明确的长度定了，不管怎么放，三角形部分，形状大小完全一样，长度一样，即可求解．
【详解】平移之后，如图所示，三角形部分与形状大小完全相同，
∴三角形部分的面积，

，平移后两端点落在正方形边上，
∵，，
∴不垂直四条边，
把正方形分成两部分为三角形部分和另一部分多边形，两部分的面积为，
可得，
的长度定了，的面积确定了，不管怎么放，三角形部分，形状大小完全一样，则长度一样，
令在如图位置，且，
解得，
∴的坐标为，的坐标为，
∴中点的坐标为，即的坐标为，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查四边形的综合题和移动线段问题，解题的关键是理解题意，画出图形，学会利用特殊点解决问题．
24．(1)每张零售电影票的原定价为40元．
(2)原定零售票价平均每次的下降率为．

【分析】（1）设每张零售电影票的原定价为x元，根据“在原定零售票价基础上每张降价元，这样按原定票价需花费元购买的门票张数，现在只花费了元”列方程，即可求解；
（2）设原定零售票价平均每次的下降率为m，根据“原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元”列方程求解即可．
【详解】（1）解：设每张零售电影票的原定价为x元，则题意可得，
，
解得，,
经检验，是原方程的根且符合题意，
答：每张零售电影票的原定价为40元．
（2）解：设原定零售票价平均每次的下降率为m，
由题意得，，
解得，（不合题意，舍去），
即原定零售票价平均每次的下降率为．
答：原定零售票价平均每次的下降率为．
【点睛】此题考查了分式方程和一元二次方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
25．(1)；
(2)①，②或．

【分析】（1）用待定系数法，将点带入求解即可；
（2）结合题意求出新函数解析式，设B的横坐标为，表示出A，B的坐标，然后找到找关于y轴的对称点，连接,则与y轴的交点为P为所求；一次函数和反比例函数联立方程，方程有两个不相等的实数根即可．
【详解】（1）解：点，在反比例函数的图像上，
∴，解得：，
反比例函数解析式为：；
（2）①依题意的新函数解析式为：
，
即：，
，，
设B的横坐标为，则A的横坐标为，
结合函数解析式：
，，
∴，解得：或，
，
，
，
，，
找关于y轴的对称点，连接，
则与y轴的交点为P，
设所在直线解析式为，
则，解得：，
，
与y轴的交点为；

②一次函数）的图像与函数F的图像有三个不同的交点，


当，与恒有一个交点，
故与有两个交点，
此时，
即，
，
，
当，
或，
∵的图像开口向上，
的解为：
或；


当，与恒有一个交点，
故与有两个交点，
此时，
即，
，
，恒成立，
所以，
综上所述：
或．
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的综合运用以及一元二次方程解的情况；理解函数图像的交点就是方程的解是解题的关键．
26．（1）见解析；
（2）见解析；
（3）．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理进行判定即可；
（2）连接,证是正方形，得垂直平分，在证明是平行四边形，利用平行四边形的性质判定即可；
在矩形中；
（3）过Q作交的延长线于M，于N，连接，结合题意用勾股定理逆定理证是直角三角形，然后借助和相似三角形解决．
【详解】（1）由题意可知在与中，
，
，
，
，
；
（2）如图：连接，
在矩形中，
，
，
是正方形，
P为中点，
垂直平分，，
，
由和可知，
，
，
，
，
是平行四边形，
，
；

（3）过Q作交的延长线于M，于N，连接，

在正方形中，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，，
,
，
，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理的逆定理；三角形相似的证明和性质的应用是解题的关键．