专题05 相交线与平行线压轴题三种模型全攻略-七年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题05 相交线与平行线压轴题三种模型全攻略

类型一、猪脚模型

例．（1）如图甲，AB∥CD，∠2与∠1+∠3的关系是什么？并写出推理过程；

（2）如图乙，AB∥CD，写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的数量关系，并写出证明过程；

（3）如图丙，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7还有类似的数量关系吗？

若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．

【变式训练1】如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：

第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，

第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，

第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，

第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En.

（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；

（3）猜想：若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）.

【变式训练2】把一块含60°角的直角三角尺放在两条平行线之间．

（1）如图1，若三角形的60°角的顶点放在上，且，求的度数；

（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；

（3）如图3，若把三角尺的直角顶点放在上，30°角的顶点落在上，请直接写出与的数量关系．

【变式训练3】如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．

（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；

（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；

（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．

类型二、铅笔模型

例．问题情境：如图1，，，．求 度数．

小明的思路是：如图2，过 作 ，通过平行线性质，可得 ．

问题迁移：

（1）如图3，，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时，，． 、 、 之间有何数量关系?请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直接写出 、 、 间的数量关系．

【变式训练1】问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．

经过讨论形成的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．

（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出∠APC的度数；

（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时， ，．请你判断 、、 之间有何数量关系？并说明理由；

（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与 ∠DFP的平分线相交于点Q，求的度数．

【变式训练2】下列各图中的MA1与NAn平行．

…

（1）图①中的∠A1+∠A2=     度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3=     度，

图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=     度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=     度，…，

第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=     度

（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=     ．

【变式训练3】问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？

小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足　   　关系．（直接写出结论）

问题情境2

如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足　   　关系．（直接写出结论）

问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：

已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F

（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；

（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．

（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝　   　．

【变式训练4】已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：

（1）∠1+∠2=　　；

（2）∠1+∠2+∠3=　　；

（3）∠1+∠2+∠3+∠4=　　；

（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=　　．

类型三、拐弯模型

例．已知，直线，点为平面上一点，连接与．

（1）如图1，点在直线、之间，当，时，求．

（2）如图2，点在直线、之间左侧，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由．

【变式训练1】已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．

(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；

(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠E的数量关系，并说明理由．

【变式训练2】如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；

（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；

（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；

（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．

【变式训练3】已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点

（1）如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．

（2）当点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和图3），上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由．

【变式训练4】(1)、如图（1），AB∥CD，点P在AB、CD外部，若∠B=40°，∠D=15°，则∠BPD    °．

(2)、如图（2），AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？证明你的结论；

(3)、在图（2）中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点M，如图（3），若∠BPD=90°，∠BMD=40°，求∠B+∠D的度数．