第4讲 一次方程（组）（练透）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

【2022讲通练透】二轮

第四讲  一次方程（组）

考点一  等式的性质

考点二  解一次方程（组）

考点三  含参数的一次方程（组）

考点四  一元一次方程的应用

考点五  二元一次方程组的应用

考点一  等式的性质

1．运用等式性质进行的变形，下列正确的是（　　）

A．如果ac2＝bc2，那么a＝b B．如果a+c＝b﹣c，那么a＝b 

C．如果a＝b，那么＝ D．如果a+5＝b+5，那么a＝b

2．若a＝b+2，则下面式子一定成立的是（　　）

A．a﹣b+2＝0 B．3﹣a＝b﹣1 C．2a＝2b+2 D．﹣＝1

3．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（　　）

A．若a＝b，则ac＝bc 

B．若a（x2+1）＝b （x2+1），则a＝b 

C．若a＝b，则＝ 

D．若x＝y，则x﹣3＝y﹣3

4．下列变形错误的是（　　）

A．如果a＝b，那么a+5＝b+5 B．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c 

C．如果ac＝bc，那么a＝b D．如果，那么a＝b

5．当x取任意一个有理数时，等式＝b恒成立，则ab的值为 　   　．

考点二  解一次方程（组）

1．解方程：

（1）5+3x＝2（5﹣x）；      （2）＝1﹣．

2．解方程：．

3．解方程：

①2x+5＝3（x﹣1）；      ②﹣＝1．

4．解方程组

（1）；     （2）；

5．按要求解方程组：

（1）；（代入法）    （2）．（加减法）

6．解下列方程组

（1）             （2）

考点三  含参数的一次方程（组）

1．若关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣1＝6是一元一次方程，则m的值为（　　）

A．±2 B．﹣2 C．2 D．4

2．若方程2x+1＝﹣1的解是关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解，则a的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣ D．﹣

3．若x＝1是方程2x+a＝0的解，则a＝（　　）

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2

4．已知是方程组的解，则a﹣b的值是（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5

5．已知方程，则式子11+2（）的值为（　　）

A． B． C． D．

6．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则a+b的值为（　　）

A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．7

7．若是二元一次方程组的解，则x+2y的算术平方根为（　　）

A．3 B．3，﹣3 C． D．，﹣

8．已知关于x的方程a﹣x＝+3a的解是x＝4，则代数式3a+1的值为 　   　．

9．若（k﹣1）x|k|+3＝﹣1是关于x的一元一次方程，则k＝　   　．

10．已知方程4x+4＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同，则m的值为 　   　．

11．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是　 　．

12．已知x，y满足方程组，则9x2﹣4y2的值为　     　．

13．关于x的不等式组的解为﹣3＜x＜3，则a，b的值分别为　     　．

14．已知关于x，y的二元一次方程组的解x与y的值互为相反数，试求m的值．

15．解关于x，y的方程组时，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙因为看错了方程②中的b，得到方程组的解为，计算a+b的平方根．

考点四  一元一次方程的应用

1．一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做8天完成．若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工作的．若设甲一共做了x天，则所列方程为（　　）

A． B． C． D．

2．一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要60天完成，甲先单独做4天，然后甲乙两人合作x天完成这项工程，则可以列的方程是（　　）

A． B． 

C． D．

3．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是x元，则可列方程为（　　）

A．8x+3＝7x+4 B．8x﹣3＝7x+4 C．＝ D．＝

4．某品牌服装店一次同时售出两件上衣，每件售价都是135元，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则这家商店在这次销售过程中（　　）

A．盈利为0 B．盈利为9元 C．亏损为8元 D．亏损为18元

二．填空题（共2小题）

5．2019年义乌客运站行车时刻表如下，假设客车运行全程保持匀速行驶，则当快车出发 　                　小时后，两车相距25km．

6．如图，在数轴上原点为O，点P表示的数为30，点Q表示的数为120，甲、乙两只小虫分别从O、P两点出发，沿直线匀速爬向点Q，最终到达点Q．已知甲每分钟爬行60个单位长度，乙每分钟爬行30个单位长度，则在此过程中，甲、乙两只小虫相距10个单位长度时的爬行时间为　                　分钟．

三．解答题（共6小题）

7．某商场从厂家购进了A、B两种品牌足球共100个，已知购买A品牌足球比购买B品牌足球少花2800元，其中A品牌足球每个进价是50元，B品牌足球每个进价是80元．

（1）求购进A、B两种品牌足球各多少个？

（2）在销售过程中，A品牌足球每个售价是80元，很快全部售出；B品牌足球每个按进价加价25%销售，售出一部分后，出现滞销，商场决定打九折出售剩余的B品牌足球，两种品牌足球全部售出后共获利2200元，有多少个B品牌足球打九折出售？

8．一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是60千米/小时，卡车的行驶速度是40千米/小时，客车比卡车早2小时经过B地，A、B两地间的路程是多少千米？

9．列方程解应用题：如图，现有两条乡村公路AB、BC，AB长为1200米，BC长为1600米，一个人骑摩托车从A处以20m/s的速度匀速沿公路AB、BC向C处行驶；另一人骑自行车从B处以5m/s的速度从B向C行驶，并且两人同时出发．

（1）求经过多少秒摩托车追上自行车？

（2）求两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米？

10．某小区建完之后，需要做内墙粉刷装饰，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷160个房间，乙工程队每天能粉刷240个房间．且单独粉刷这些墙面甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷的过程中，该开发商要付甲工程队每天费用1600元，付乙工程队每天费用2600元．

（1）求这个小区共有多少间房间？

（2）为了尽快完成这项工程，若先由甲、乙两个工程队按原粉刷速度合作一段时间后，甲工程队停工了，而乙工程队每天的粉刷速度提高25%，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多4天，求乙工程队共粉刷多少天？

（3）经开发商研究制定如下方案：

方案一：由甲工程队单独完成；

方案二：由乙工程队单独完成；

方案三：按（2）问方式完成：

请你通过计算帮开发商选择一种既省时又省钱的粉刷方案．

11．某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？（提示：商品售价＝商品进价+商品利润）

12．为实施乡村振兴战略，解决山区水果销售难问题，当地政府积极在互联网上建立产销云平台，让商家远程看货，云端订货，解决了销售渠道不畅的问题．某商家用5000元在云平台上订购了甲、乙两种水果共800千克，这两种水果的进价、售价如表：

（1）这两种水果各订购了多少千克？

（2）如果将这批水果全部卖完，商家共盈利多少元？

考点五  二元一次方程组的应用

1．某船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时，若设船在静水中的速度为x千米时，水流速度为y千米时，则根据题意，可列方程组（　　）

A． B． 

C． D．

2．某中学组织全区优秀九年级毕业生参加学校冬令营，一共有x名学生，分成y个学习小组．若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人．若求冬令营学生的人数，所列的方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

二．解答题（共7小题）

3．某商场新进一批A，B两种型号的节能防近视台灯，每台进价分别为200元、170元，近两周的销售情况如表．

（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）

（1）求A，B两种型号的台灯的销售单价；

（2）若该商场准备用不多于7250元的金额再购进这两种型号的台灯共40台，求A种型号的台灯最多能购进多少台？

（3）在（2）的条件下，能否求出该商场销售完这40台台灯所获得的最大利润，若能，求出最大利润；若不能，请说明理由．

4．某大型蔬菜超市从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如表：

请解答下列问题：

（1）第一天，该蔬菜超市批发青椒和豆角两种蔬菜共480kg，用去了2472元钱，问该蔬菜超市批发青椒和豆角两种蔬菜各多少千克？

（2）在（1）的条件，这两种蔬菜当天全部售完一共能盈利多少？

（3）第二天，蔬菜超市用2580元钱批发青椒和西兰花，要想当天全部售完后所盈利不少于1600元，则该经营户最多能批发青椒多少？（结果取整数）

5．某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费120元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋4个共花费88元．

（1）求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；

（2）若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为w元．

①求w关于x的函数关系式；

②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．

6．新冠肺炎发生后，社会各界非常关心和支持，全国人民积极捐助，共克时艰．作为好客之乡的山东更是鼎力相助，除了医护用品以外，作为全国蔬菜第一大省，蔬菜更是一车车往湖北发送．其中兰陵向武汉无偿捐助新鲜蔬菜120吨运往重灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）

（1）全部蔬菜可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车　 　辆来运送．

（2）若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？

（3）为了节省运费，该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？

7．小明从甲地步行到乙地要走一段上坡路与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地步行到乙地需54min，从乙地步行到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少km？

8．糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？

9．李家和王家共养了521头牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中仅有的母牛，问李家和王家各养了多少头牛？