第6讲 分式方程（讲通）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

【2022讲通练透】二轮第六讲  分式方程一、4个必备知识点考点一  解分式方程考点二  含参分式方程考点三  分式方程的应用             
   一、4个必备知识点1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．  考点一  解分式方程 1．解方程：（1）﹣＝；（2）﹣＝1．【解答】解：（1）去分母得：3（3x﹣1）﹣2＝5，去括号得：9x﹣3﹣2＝5，移项合并得：9x＝10，解得：x＝，检验：把x＝代入得：2（3x﹣1）≠0，∴x＝是分式方程的解；（2）去分母得：x（x+2）﹣3＝（x﹣1）（x+2），整理得：x2+2x﹣3＝x2+x﹣2，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：（x﹣1）（x+2）＝0，∴x＝1是增根，分式方程无解．2．解分式方程（1）；（2）．【解答】解：（1）方程两边同乘以（x﹣2），得1﹣3（x﹣2）＝1﹣x，解这个整式方程得x＝3，检验：把x＝3代入（x﹣2），得3﹣2≠0，所以，x＝3是原方程的解．（2）方程两边同乘以（x2﹣9），得3（x+3）﹣（x﹣3）＝18，解这个整式方程得x＝3，检验：把x＝3代入（x2﹣9），得9﹣9＝0，所以，原方程无解．3．解分式方程：（1）．（2）．【解答】解：（1）方程两边同乘（x﹣5），得3﹣x+5＝2x﹣1，解得x＝3，经检验，x＝3是原方程的解；（2）方程两边同乘（x﹣2）（x+2），得12﹣（x﹣1）（x﹣2）＝（6﹣x）（x+2），解得x＝﹣2，经检验，x＝﹣2是增根，原方程无解．4．以下是小明同学解方程的过程：解：方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣第一步解得：x＝5﹣﹣﹣﹣第二步检验：当x＝5时，x﹣3＝5﹣3＝2≠0﹣﹣﹣﹣第三步所以x＝5是原方程的根﹣﹣﹣﹣第四步（1）小明的解法从第 　一　步开始出现错误．（2）写出正确的解方程的过程．【解答】解：（1）小明的解法从第一步开始出现错误，故答案为：一；（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣3x+9，解得：，经检验是分式方程的解．5．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，﹣这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：﹣＝．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：．（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：＝　　；＝　　．（2）解分式方程：；（3）当x取什么整数值时，分式的值为整数．（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的三位数m．【解答】（1）＝＝，，故答案为：，； （2）原方程化为：，得，∴，∴x2﹣x﹣6＝x2﹣4x+4，∴3x＝10，∴，经检验：是原方程的解；（3），＝，∴x＝0时，原式为整数；（4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，则个位数字为2x，n＝10x+y，m＝100x+10y+2x，∵2x＜10，∴x＜5，＝＝＝，∴10x＜4x2，∴，当x＝3时，∵为正整数，∴y＝6，当x＝4时，∵0＜y＜10且y为正整数，∴不可能为整数，∴m＝366．  考点二  含参分式方程 1．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（　　）A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．2．若关于x的方程＝0的解为正数，则m的取值范围是（　　）A．m＜2 B．m＜2且m≠0 C．m＞2 D．m＞2且m≠4【解答】解：∵解方程，去分母得：mx﹣2（x+1）＝0，整理得：（m﹣2）x＝2，∵方程有解，∴，∵分式方程的解为正数，∴，解得：m＞2，∴m的取值范围是：m＞2．故选：C．3．关于x的分式方程＝﹣1的解是正数，则m的取值范围是（　　）A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞﹣2且m≠2 D．m＜﹣2且m≠﹣2【解答】解：去分母，得x+m﹣2m＝2﹣x，移项，得2x＝2+m，∴x＝1+．由于方程的解是正数，∴1+＞0且1+≠2．解得m＞﹣2且m≠2．故选：C．4．已知点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x的分式方程＝2的解是（　　）A．5 B．1 C．3 D．不能确定【解答】解：∵点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，∴，解得：＜a＜2，即a＝1，当a＝1时，所求方程化为＝2，去分母得：x+1＝2x﹣2，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解，则方程的解为3．故选：C．5．已知关于x的分式方程﹣4＝的解为非正数，则k的取值范围是（　　）A．k≤﹣12 B．k≥﹣12 C．k＞﹣12 D．k＜﹣12【解答】解：方程﹣4＝两边同时乘以（x﹣3）得：x﹣4（x﹣3）＝﹣k，∴x﹣4x+12＝﹣k，∴﹣3x＝﹣k﹣12，∴x＝+4，∵解为非正数，∴+4≤0，∴k≤﹣12．故选：A．6．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则它的增根是（　　）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝1或x＝﹣1 D．x＝3【解答】解：去分母得 6﹣m（x+1）＝（x+1）（x﹣1），∵分式方程有增根，最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0，∴解得 x1＝1，x2＝﹣1．当x＝﹣1时，得 6＝0，此式不成立．故x＝﹣1不是原分式方程的增根．∴原分式方程的增根为1．故选：A．7．若关于x的方程+＝3a有增根，则a的值为（　　）A．﹣1 B． C． D．1【解答】解：去分母，得：x﹣3a＝3a（x﹣3），由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程，可得：a＝1．故选：D．二．填空题（共2小题）8．关于x的分式方程+＝1的解为非正数，则k的取值范围是 　k≥1且k≠3　．【解答】解：去分母得：x+k+2x＝x+1，解得：x＝，由分式方程的解为非正数，得到≤0，且≠﹣1，解得：k≥1且k≠3，故答案为：k≥1且k≠39．若关于x的分式方程+＝会产生增根，则m的值为 　﹣4或6　．【解答】解：去分母得：2（x+2）+mx＝3（x﹣2），∵分式方程会产生增根，∴（x+2）（x﹣2）＝0，解得：x＝﹣2或x＝2，把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2m＝﹣12，解得：m＝6；把x＝2代入整式方程得：8+2m＝0，解得：m＝﹣4，则m的值是﹣4或6．故答案为：﹣4或6．三．解答题（共2小题）10．已知关于x的分式方程．（1）若分式方程有增根，求m的值；（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．【解答】解：去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣4，（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m＝0；（2）解得：x＝，根据分式方程的解为正数，得到＞0，且≠2，解得：m＜6且m≠0．11．已知关于x的分式方程+＝．（1）若方程有增根，求k的值．（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．【解答】解：（1）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，由这个方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，将x＝1代入整式方程得：k＝6，将x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8，则k的值为6或﹣8．（2）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，去括号合并得：7x﹣1＝k，即x＝，根据题意得：＜0，且≠1且≠﹣1，解得：k＜﹣1，且k≠﹣8．  考点三  分式方程的应用 1．A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1000kg所用的时间与B型机器人搬运800kg所用的时间相等，设B型机器人每小时搬运xkg，所列的方程式正确的是（　　）A． B． C． D．【解答】解：设B型机器人每小时搬运xkg，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg，由题意可得，故选：A．2．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（　　）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，＝2，故选：A．3．某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的a元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买口罩x包，则依题意列方程为（　　）A． B． C． D．【解答】解：设原计划购买口罩x包，则实际购买口罩（x+5）包，依题意得：＝+2．故选：B．4．在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少10%．设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（　　）A． B． C． D．【解答】解：设甲队每小时检测x人，根据题意得，，故选：A．二．解答题（共3小题）5．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．晋商又以“万里茶道”著称．晋商古街某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，又用8400元购进B种茶叶若干盒，若所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍；（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A、B两种茶叶共100盒（A、B进价不变，A种茶叶不少于20盒），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元，怎样进货才能获得最大利润？【解答】解：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种叶每盒进价为1.4x元，依题意得：，解得x＝200，经检验：x＝200是原方程的解，且符合题意，∴1.4x＝280（元），答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元；（2）设第二次购进A种茶叶a（20≤a＜100）盒，B种茶叶（100﹣a）盒，所获利润为w元，可得：w＝（300﹣200）a+（400﹣280）（100﹣a）＝﹣20a+12000，∵﹣20＜0，w随a的增大而减小，∴当a＝20时，所获利润最大，100﹣20＝80（盒），答：第二次应购进A种茶叶20盒，B种茶叶80盒才能获得最大利润．6．某中学初三学生在开学前去商场购进A，B两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买A款书包共花费6000元，购买B款书包共花费3200元，且购买A款书包数量是购买B款书包数量的3倍，已知购买一个B款书包比购买一个A款书包多花30元．（1）求购买一个A款书包、一个B款书包各需多少元？（2）为了调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了A，B两款书包，每款书包不少于14个，总花费恰好为2268元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，A款书包销售单价比第一次购买时提高了8%，B款书包按第一次购买时销售单价的九折出售．求此次A款书包有几种购买方案？（3）在（2）的条件下，商场这次销售两款书包，单价调整后利润比调整前减少72元，直接写出两款书包的购买方案．【解答】解：（1）设购买一个A款书包需要x元，则购买一个B款书包需要（x+30）元，依题意得：＝3×，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴x+30＝50+30＝80（元）．答：购买一个A款书包需要50元，购买一个B款书包需要80元．（2）设购买m个B款书包，则购买＝（42﹣m）个A款书包，依题意得：，解得：14≤m≤21．又∵（42﹣m）为整数，∴m为3的倍数，∴m可以取15，18，21，∴此次A款书包有3种购买方案．（3）依题意得：80×（1﹣0.9）m﹣50×8%（42﹣m）＝72，解得：m＝18，∴42﹣m＝42﹣×18＝18（个）．答：购买18个A款书包，18个B款书包．7．为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？【解答】解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为（x+12）元/个．由题意得：，即，∴96（x+12）＝120x，∴x＝48．经检验，x＝48是原分式方程的解且符合题意．∴A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个．设今年购进B足球的个数为a个，则有：．∴50.4×50﹣50.4a+54a≤2640．∴3.6a≤120，∴．∴最多可购进33个B足球．