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第7讲 一元一次不等式（组）（练透）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）
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【2022讲通练透】二轮
第七讲 一元一次不等式（组）
考点一 不等式的基本性质 2
考点二 解一元一次不等式（组） 2
考点三 含参不等式（组） 3
考点四 不等式（组）与一次函数 5
考点五 不等式（组）与方程（组） 8
考点一 不等式的基本性质
1．已知0≤x﹣y≤1且1≤x+y≤4，则x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤2 B．2≤x≤3 C．≤x≤ D．≤x≤
【解答】解：∵0≤x﹣y≤1且1≤x+y≤4，
∴0+1≤2x≤1+4，
即1≤2x≤5，
解得．
故选：C．
2．若a＞b＞0，c＞d＞0，则下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣d B． C．ac＞bc D．ac＞bd
【解答】解：A．当a＝2，b＝1，c＝4，d＝3时，a﹣c＝b﹣d，故本选项符合题意；
B．若a＞b＞0，c＞d＞0，则，故本选项不合题意；
C．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bc，故本选项不合题意；
D．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，故本选项不合题意；
故选：A．
3．已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，则＜，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：a＞b，
∴当a＞0时，a2＞ab，
当a＝0时，a2＝ab，
当a＜0时，a2＜ab，故①结论错误
∵a＞b，
∴当|a|＞|b|时，a2＞b2，
当|a|＝|b|时，a2＝b2，
当|a|＜|b|时，a2＜b2，故②结论错误；
∵a＞b，b＜0，
∴a+b＞2b，故③结论错误；
∵a＞b，b＞0，
∴a＞b＞0，
∴，故④结论正确；
∴正确的个数是1个．
故选：A．
考点二 解一元一次不等式（组）
4．解不等式+1≥，并把它的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：去分母，得2（1+2x）+6≥3（1+x）
去括号得，2+4x+6≥3+3x，
再移项、合并同类项得，x≥﹣5．
在数轴上表示为：
．
5．解不等式：1+≥．
【解答】解：两边都乘以12，得：12+2（2x﹣5）≥3（3﹣x），
去括号，得：12+4x﹣10≥9﹣3x，
移项、合并，得：7x≥7，
系数化为1得，x≥1．
6．解不等式组：．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞1；
解不等式②，得 x＜5；
∴原不等式组的解集为1＜x＜5．
7．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，
由①得，x＜1，
由②得，x≥﹣3，
故此不等式组的解集为：﹣3≤x＜1．
在数轴上表示为：
．
8．已知方程组的解x、y满足求m、x，y的取值范围．
【解答】解：由方程组，得，
∵x、y满足，
∴，
解得，﹣4≤m≤﹣1，
∵x＝m+5，y＝﹣m﹣7，
∴m＝x﹣5，m＝﹣y﹣7，
∴﹣4≤x﹣5≤﹣1，﹣4≤﹣y﹣7≤﹣1，
解得，1≤x≤4，﹣6≤y≤﹣3，
由上可得，m、x，y的取值范围分别为﹣4≤m≤﹣1，1≤x≤4，﹣6≤y≤﹣3．
考点三 含参不等式（组）
1．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式k（x+1）+b＜2的解集为（ ）
A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x＞﹣3 D．x＜0
【解答】解：∵函数y＝kx+b图像向左平移1个单位得到平移后的解析式为y＝k（x+1）+b，
∴A（﹣3，2）向左平移1个单位得到对应点为（﹣4，2），
关于x的不等式k（x+1）+b＜2的解集为x＞﹣4，
故选：A．
2．如图，已知直线y1＝k1x过点A（﹣3，﹣6），过点A的直线y2＝k2x+b交x轴于点B（﹣6，0），则不等式k1x＜k2x+b＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜﹣3 C．﹣3＜x＜0 D．x＞0
【解答】解：当x＞﹣6时，y2＝k2x+b＜0；当x＜﹣3时，y1＜y2，
所以不等式k1x＜k2x+b＜0的解集为﹣6＜x＜﹣3．
故选：B．
3．若整数a使得关于x的不等式组的解集为x＞2，且一次函数y＝3x+a+1的图象不经过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：解不等式3（x﹣1）+3＞2（x+1）得x＞2，
∵整数a使得关于x的不等式组的解集为x＞2，
∴a≤2，
∵一次函数y＝3x+a+1的图象不经过第四象限，
∴a+1≥0，
解得：a≥﹣1，
∴﹣1≤a≤2且a为整数，
∴整数a的值为：﹣1，0、1、2，
故符合条件的所有整数a的和为：﹣1+0+1+2＝2．
故选：B．
4．如图，直线y＝kx+b分别交x轴、y轴于点A、C，直线y＝mx+n分别交x轴、y轴于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，2），则不等式kx+b≤mx+n的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≥2 D．x≤2
【解答】解：根据函数图象，当x≤﹣1时，kx+b≤mx+n，
所以不等式kx+b≤mx+n的解集为x≤﹣1．
故选：B．
5．如图，函数y＝3x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式3x＜ax+4的解集为（ ）
A．x＜ B．x＜1 C．x＞ D．x＞1
【解答】解：把A（m，3）代入y＝3x，得：3m＝3，解得：m＝1；
根据图象可得：不等式3x＜ax+4的解集是：x＜1．
故选：B．
二．填空题（共1小题）
6．如图，直线y＝ax+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（2.8，0）．则的解集为 x＞2.8 ．
【解答】解：由图象可得，
y＝ax+b中y随x的增大而增大，与x轴交于点A（﹣2，0），
y＝kx+2中y随x的增大而减小，与x轴交于点B（2.8，0），
∴ax+b＞0的解集是x＞﹣2，kx+2＜0的解集是x＞2.8，
∴的解集为x＞2.8，
故答案为：x＞2.8．
三．解答题（共4小题）
7．某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．
（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？
（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设工艺厂购买A类原木x根，则购买B类原木（150﹣x）根，
根据题意，得，
可解得50≤x≤55，
∵x为整数，
∴x＝50，51，52，53，54，55；
答：工艺厂购买A类原木根数可以是：50，51，52，53，54，55；
（2）设获得利润为y元，
由题意，得y＝50[4x+2（150﹣x）]+80[2x+6（150﹣x）]，
即y＝﹣220x+87000，
∵﹣220＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＝50时，y取最大值，最大值为：﹣220×50+87000＝76000（元），
答：该工艺厂购买A、B两类原木分别为50和100根时，所获得利润最大，最大利润是76000元．
8．某水果生产基地销售苹果，提供两种购买方式供客户选择
方式1：若客户缴纳1200元会费加盟为生产基地合作单位，则苹果成交价为3元/千克．
方式2：若客户购买数量达到或超过1500千克，则成交价为3.5元/千克；若客户购买数量不足1500千克，则成交价为4元/千克．
设客户购买苹果数量为x（千克），所需费用为y（元）．
（1）若客户按方式1购买，请写出y（元）与x（千克）之间的函数表达式；
（备注：按方式购买苹果所需费用＝生产基地合作单位会费+苹果成交总价）
（2）如果购买数量超过1500千克，请说明客户选择哪种购买方式更省钱；
（3）若客户甲采用方式1购买，客户乙采用方式2购买，甲、乙共购买苹果5000千克，总费用共计18000元，则客户甲购买了多少千克苹果？
【解答】解：（1）y＝3x+1200．
（2）按方式1购买时所需费用记作y1元，按方式2购买时所需费用记作y2元，
当x＞1500时，y2＝3.5x
若y1＜y2，则3x+1200＜3.5x，解得x＞2400．
若y1＝y2，则3x+1200＝3.5x，解得x＝2400．
若y1＞y2，则3x+1200＞3.5x，解得x＜2400．
答：当x＞2400时，客户按方式1购买更省钱；当x＝2400时，按两种方式购买花钱一样多；
当1500＜x＜2400时，客户按方式2购买更省钱．
（3）设客户甲购买了x千克苹果．
①若5000﹣x＜1500，即x＞3500，则由题意得（3x+1200）+4（5000﹣x）＝18000，
解得x＝3200．经检验，不合题意，舍去．
②若5000﹣x≥1500，即x≤3500，则由题意得（3x+1200）+3.5（5000﹣x）＝18000，
解得x＝1400．经检验，符合题意．
答：客户甲购买了1400千克苹果．
9．某早餐机开机后，自动启动程序：先匀速加热，当机内温度升高到220℃时，自动停止加热，同时机内温度匀速下降，当机内温度降至140℃时，早餐机又自动启动上述程序，直至关机．已知早餐机的机内初始温度为20℃，降温温度是加热速度的2倍．早餐机的机内温度w（℃）与开机之后的时间t（s）之间的函数关系部分图象如图所示．
（1）早餐机的加热速度为 4 ℃/s；
（2）求线段AB所表示的w与t之间的函数表达式；
（3）将食物放入该早餐机，自开机之后，要使机内温度不低于180℃的累计时间不少于45s，至少需要 s．
【解答】解：（1）早餐机的加热速度为：（220﹣20）÷50＝4（℃/s），
故答案为：4；
（2）设线段AB所表示的w与t之间的函数表达式为w＝kt+b，
由降温温度是加热速度的2倍，所以降温速度为8℃/s，即k＝﹣8，
∵图象经过（50，220），
∴220＝﹣8×50+b，
解得b＝620，
∴w＝﹣8t+620；
（3）由题意可知，机内温度由220℃降至180℃所需时间为：（220﹣180）÷8＝5（s）；
机内温度由180℃升高到220℃所需时间为（220﹣180）÷4＝10（s），
机内温度由140℃升高到220℃所需时间为：（220﹣140）÷4＝20（s），
∵10+5+10+5+10+5＝45（s），
∴需升高到220℃时再降温3次，
∴自开机之后，要使机内温度不低于180℃的累计时间不少于45s，至少需要：50+10+20+10+20+5＝115（s）．
故答案为：115．
10．A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台．已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元．设B市运往C市机器x台，总运费为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
【解答】解：（1）由题意可知：w＝300x+400×（10﹣x）+500×（6﹣x）+800×（2+x）
由此w＝200x+8600．
（2）由题意得200x+8600≤9000，
∴x≤2．
又∵B市可支援外地6台，
∴0≤x≤6．
综上0≤x≤2且x为整数，
∴x可取0，1，2，
∴有三种调运方案；
（3）∵0≤x≤6，且w随x的值增大而增大，
当x＝0时，w的值最小，最小值是8600元．
此时的调运方案是：
B市运往C市0台，运往D市6台；A市运往C市10台，运往D市2台，最低运费是8600元．
考点四 不等式（组）与一次函数
1．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式k（x+1）+b＜2的解集为（ ）
A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x＞﹣3 D．x＜0
2．如图，已知直线y1＝k1x过点A（﹣3，﹣6），过点A的直线y2＝k2x+b交x轴于点B（﹣6，0），则不等式k1x＜k2x+b＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜﹣3 C．﹣3＜x＜0 D．x＞0
3．若整数a使得关于x的不等式组的解集为x＞2，且一次函数y＝3x+a+1的图象不经过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．如图，直线y＝kx+b分别交x轴、y轴于点A、C，直线y＝mx+n分别交x轴、y轴于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，2），则不等式kx+b≤mx+n的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≥2 D．x≤2
5．如图，函数y＝3x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式3x＜ax+4的解集为（ ）
A．x＜ B．x＜1 C．x＞ D．x＞1
6．如图，直线y＝ax+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（2.8，0）．则的解集为 ．
7．某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．
（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？
（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？
8．某水果生产基地销售苹果，提供两种购买方式供客户选择
方式1：若客户缴纳1200元会费加盟为生产基地合作单位，则苹果成交价为3元/千克．
方式2：若客户购买数量达到或超过1500千克，则成交价为3.5元/千克；若客户购买数量不足1500千克，则成交价为4元/千克．
设客户购买苹果数量为x（千克），所需费用为y（元）．
（1）若客户按方式1购买，请写出y（元）与x（千克）之间的函数表达式；
（备注：按方式购买苹果所需费用＝生产基地合作单位会费+苹果成交总价）
（2）如果购买数量超过1500千克，请说明客户选择哪种购买方式更省钱；
（3）若客户甲采用方式1购买，客户乙采用方式2购买，甲、乙共购买苹果5000千克，总费用共计18000元，则客户甲购买了多少千克苹果？
9．某早餐机开机后，自动启动程序：先匀速加热，当机内温度升高到220℃时，自动停止加热，同时机内温度匀速下降，当机内温度降至140℃时，早餐机又自动启动上述程序，直至关机．已知早餐机的机内初始温度为20℃，降温温度是加热速度的2倍．早餐机的机内温度w（℃）与开机之后的时间t（s）之间的函数关系部分图象如图所示．
（1）早餐机的加热速度为 ℃/s；
（2）求线段AB所表示的w与t之间的函数表达式；
（3）将食物放入该早餐机，自开机之后，要使机内温度不低于180℃的累计时间不少于45s，至少需要 s．
10．A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台．已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元．设B市运往C市机器x台，总运费为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
考点五 不等式（组）与方程（组）
1．如图，一次函数y＝x+1与y＝kx+b的图象交于点P，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵一次函数y＝x+1与y＝kx+b的图象交于点P（1，2），则关于x，y的方程组的解是，
故选：A．
二．填空题（共3小题）
2．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交点坐标为 （﹣4，2） ．
【解答】解：根据题意可知：
x＝﹣4，y＝2同时满足两个一次函数的解析式．
则一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交点坐标为（﹣4，2）．
故答案为：（﹣4，2）．
3．已知函数y＝k1x+b与函数y＝k2x的图象交点如图所示，则方程组的解是 ．
【解答】解：∵函数y＝k1x+b1与函数y＝k2x+b2的交点坐标是（﹣1，3），
∴方程组的解为．
故答案为．
4．如图，已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2为y轴交于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②△BCD为直角三角形；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是 ①②④ ．（填序号）
【解答】解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：y＝﹣x+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确，符合题意；
③把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③错误，不符合题意；
④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
三．解答题（共5小题）
5．疫情期间为了满足测温的需求，某学校决定购进一批额温枪．经了解市场，购买A种品牌的额温枪每支300元，B种品牌的额温枪每支350元．经与商家协商，A种品牌的额温枪降价15%，B种品牌的额温枪打八折销售．若购买两种品牌的额温枪共50支且总费用不超过13000元，则至少要购买A种品牌的额温枪多少支？
【解答】解：设要购买A种品牌的额温枪x支，则购买B种品牌的额温枪（50﹣x）支，
依题意得：300×（1﹣15%）x+350×80%×（50﹣x）≤13000，
解得：x≥40．
答：A种品牌的额温枪至少购买40支．
6．某公司为了响应国家号召，疫情之后尽快复工复产，需购买一批普通医用防护口罩和N95口罩，已知购买80个普通医用防护口罩和10个N95口罩共需420元，购买60个普通医用防护口罩和10个N95口罩共需360元．
（1）求普通医用防护口罩和N95口罩的价格．
（2）如果购买普通医用防护口罩的数量不超过购买N95口罩数量的10倍，求购买两种口罩共2200个，最低需要多少元？
【解答】解：（1）设普通医用防护口罩每个x元，N95口罩每个y元，由题意得，
，
解得，
答：普通医用防护口罩每个3元，N95口罩每个18元；
（2）设购买普通医用防护口罩a个，购买N95口罩（2200﹣a）个，由题意得，
a≤10（2200﹣a），
解得a≤2000，
购买口罩的总费用W＝3a+18（2200﹣a）＝﹣15a+39600，
当a取2000时，W有最小值，最低费用为﹣15×2000+39600＝9600（元），
答：最低需要9600元．
7．永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树2棵，B种树3棵，需要2700元；购买A种树4棵，B种树5棵，需要4800元．
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于52500元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
【解答】解：（1）设购买A种树每棵需要x元，B种树每棵需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买A种树每棵需要450元，B种树每棵需要600元．
（2）设购进A种树m棵，则购进B种树（100﹣m）棵，
依题意，得：，
解得：48≤m≤50．
∵m为整数，
∴m为48，49，50．
当m＝48时，100﹣m＝100﹣48＝52；
当m＝49时，100﹣m＝100﹣49＝51；
当m＝50时，100﹣m＝100﹣50＝50．
答：有三种购买方案，第一种：A种树购买48棵，B种树购买52棵；第二种：A种树购买49棵，B种树购买51棵；第三种：A种树购买50棵，B种树购买50棵．
8．为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．
（1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？
【解答】解：（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种工具每件16元，乙种工具每件4元．
（2）设甲种工具购买了m件，则乙种工具购买了（100﹣m）件，
依题意得：16m+4（100﹣m）≤1000，
解得：m≤50．
答：甲种工具最多购买50件．
9．某服装店去年10月以每套1200元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额28000元，进入11月份搞促销活动，每件让利100元，这样销售额比10月份增加了11000元，销售量是10月份的1.5倍．
（1）求每件羽绒服的标价是多少元；
（2）进入l2月份，服装店决定把剩余羽绒服按标价的九折甩货，若全部售出后这批羽绒服总获利不少于9940元，则这批羽绒服至少购进多少件？
【解答】解：（1）设每件羽绒服的标价为x元，则10月份售出件，
根据题意得：＝×1.5，
解得：x＝1400，
经检验x＝1400是原方程的解，
答：每件羽绒服的标价为1400元．
（2）设这批羽绒服购进a件，
10月份售出28000÷1400＝20（件），11月份售出20×1.5＝30（件）
根据题意得：28000+（11000+28000）+1400×0.9（a﹣20﹣30）﹣1200a≥9940
解得：a≥99，
所以a至少是99，
答：这批羽绒服至少购进99件．
【2022讲通练透】二轮
第七讲 一元一次不等式（组）
考点一 不等式的基本性质 2
考点二 解一元一次不等式（组） 2
考点三 含参不等式（组） 3
考点四 不等式（组）与一次函数 5
考点五 不等式（组）与方程（组） 8
考点一 不等式的基本性质
1．已知0≤x﹣y≤1且1≤x+y≤4，则x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤2 B．2≤x≤3 C．≤x≤ D．≤x≤
【解答】解：∵0≤x﹣y≤1且1≤x+y≤4，
∴0+1≤2x≤1+4，
即1≤2x≤5，
解得．
故选：C．
2．若a＞b＞0，c＞d＞0，则下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣d B． C．ac＞bc D．ac＞bd
【解答】解：A．当a＝2，b＝1，c＝4，d＝3时，a﹣c＝b﹣d，故本选项符合题意；
B．若a＞b＞0，c＞d＞0，则，故本选项不合题意；
C．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bc，故本选项不合题意；
D．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，故本选项不合题意；
故选：A．
3．已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，则＜，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：a＞b，
∴当a＞0时，a2＞ab，
当a＝0时，a2＝ab，
当a＜0时，a2＜ab，故①结论错误
∵a＞b，
∴当|a|＞|b|时，a2＞b2，
当|a|＝|b|时，a2＝b2，
当|a|＜|b|时，a2＜b2，故②结论错误；
∵a＞b，b＜0，
∴a+b＞2b，故③结论错误；
∵a＞b，b＞0，
∴a＞b＞0，
∴，故④结论正确；
∴正确的个数是1个．
故选：A．
考点二 解一元一次不等式（组）
4．解不等式+1≥，并把它的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：去分母，得2（1+2x）+6≥3（1+x）
去括号得，2+4x+6≥3+3x，
再移项、合并同类项得，x≥﹣5．
在数轴上表示为：
．
5．解不等式：1+≥．
【解答】解：两边都乘以12，得：12+2（2x﹣5）≥3（3﹣x），
去括号，得：12+4x﹣10≥9﹣3x，
移项、合并，得：7x≥7，
系数化为1得，x≥1．
6．解不等式组：．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞1；
解不等式②，得 x＜5；
∴原不等式组的解集为1＜x＜5．
7．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，
由①得，x＜1，
由②得，x≥﹣3，
故此不等式组的解集为：﹣3≤x＜1．
在数轴上表示为：
．
8．已知方程组的解x、y满足求m、x，y的取值范围．
【解答】解：由方程组，得，
∵x、y满足，
∴，
解得，﹣4≤m≤﹣1，
∵x＝m+5，y＝﹣m﹣7，
∴m＝x﹣5，m＝﹣y﹣7，
∴﹣4≤x﹣5≤﹣1，﹣4≤﹣y﹣7≤﹣1，
解得，1≤x≤4，﹣6≤y≤﹣3，
由上可得，m、x，y的取值范围分别为﹣4≤m≤﹣1，1≤x≤4，﹣6≤y≤﹣3．
考点三 含参不等式（组）
1．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式k（x+1）+b＜2的解集为（ ）
A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x＞﹣3 D．x＜0
【解答】解：∵函数y＝kx+b图像向左平移1个单位得到平移后的解析式为y＝k（x+1）+b，
∴A（﹣3，2）向左平移1个单位得到对应点为（﹣4，2），
关于x的不等式k（x+1）+b＜2的解集为x＞﹣4，
故选：A．
2．如图，已知直线y1＝k1x过点A（﹣3，﹣6），过点A的直线y2＝k2x+b交x轴于点B（﹣6，0），则不等式k1x＜k2x+b＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜﹣3 C．﹣3＜x＜0 D．x＞0
【解答】解：当x＞﹣6时，y2＝k2x+b＜0；当x＜﹣3时，y1＜y2，
所以不等式k1x＜k2x+b＜0的解集为﹣6＜x＜﹣3．
故选：B．
3．若整数a使得关于x的不等式组的解集为x＞2，且一次函数y＝3x+a+1的图象不经过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：解不等式3（x﹣1）+3＞2（x+1）得x＞2，
∵整数a使得关于x的不等式组的解集为x＞2，
∴a≤2，
∵一次函数y＝3x+a+1的图象不经过第四象限，
∴a+1≥0，
解得：a≥﹣1，
∴﹣1≤a≤2且a为整数，
∴整数a的值为：﹣1，0、1、2，
故符合条件的所有整数a的和为：﹣1+0+1+2＝2．
故选：B．
4．如图，直线y＝kx+b分别交x轴、y轴于点A、C，直线y＝mx+n分别交x轴、y轴于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，2），则不等式kx+b≤mx+n的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≥2 D．x≤2
【解答】解：根据函数图象，当x≤﹣1时，kx+b≤mx+n，
所以不等式kx+b≤mx+n的解集为x≤﹣1．
故选：B．
5．如图，函数y＝3x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式3x＜ax+4的解集为（ ）
A．x＜ B．x＜1 C．x＞ D．x＞1
【解答】解：把A（m，3）代入y＝3x，得：3m＝3，解得：m＝1；
根据图象可得：不等式3x＜ax+4的解集是：x＜1．
故选：B．
二．填空题（共1小题）
6．如图，直线y＝ax+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（2.8，0）．则的解集为 x＞2.8 ．
【解答】解：由图象可得，
y＝ax+b中y随x的增大而增大，与x轴交于点A（﹣2，0），
y＝kx+2中y随x的增大而减小，与x轴交于点B（2.8，0），
∴ax+b＞0的解集是x＞﹣2，kx+2＜0的解集是x＞2.8，
∴的解集为x＞2.8，
故答案为：x＞2.8．
三．解答题（共4小题）
7．某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．
（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？
（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设工艺厂购买A类原木x根，则购买B类原木（150﹣x）根，
根据题意，得，
可解得50≤x≤55，
∵x为整数，
∴x＝50，51，52，53，54，55；
答：工艺厂购买A类原木根数可以是：50，51，52，53，54，55；
（2）设获得利润为y元，
由题意，得y＝50[4x+2（150﹣x）]+80[2x+6（150﹣x）]，
即y＝﹣220x+87000，
∵﹣220＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＝50时，y取最大值，最大值为：﹣220×50+87000＝76000（元），
答：该工艺厂购买A、B两类原木分别为50和100根时，所获得利润最大，最大利润是76000元．
8．某水果生产基地销售苹果，提供两种购买方式供客户选择
方式1：若客户缴纳1200元会费加盟为生产基地合作单位，则苹果成交价为3元/千克．
方式2：若客户购买数量达到或超过1500千克，则成交价为3.5元/千克；若客户购买数量不足1500千克，则成交价为4元/千克．
设客户购买苹果数量为x（千克），所需费用为y（元）．
（1）若客户按方式1购买，请写出y（元）与x（千克）之间的函数表达式；
（备注：按方式购买苹果所需费用＝生产基地合作单位会费+苹果成交总价）
（2）如果购买数量超过1500千克，请说明客户选择哪种购买方式更省钱；
（3）若客户甲采用方式1购买，客户乙采用方式2购买，甲、乙共购买苹果5000千克，总费用共计18000元，则客户甲购买了多少千克苹果？
【解答】解：（1）y＝3x+1200．
（2）按方式1购买时所需费用记作y1元，按方式2购买时所需费用记作y2元，
当x＞1500时，y2＝3.5x
若y1＜y2，则3x+1200＜3.5x，解得x＞2400．
若y1＝y2，则3x+1200＝3.5x，解得x＝2400．
若y1＞y2，则3x+1200＞3.5x，解得x＜2400．
答：当x＞2400时，客户按方式1购买更省钱；当x＝2400时，按两种方式购买花钱一样多；
当1500＜x＜2400时，客户按方式2购买更省钱．
（3）设客户甲购买了x千克苹果．
①若5000﹣x＜1500，即x＞3500，则由题意得（3x+1200）+4（5000﹣x）＝18000，
解得x＝3200．经检验，不合题意，舍去．
②若5000﹣x≥1500，即x≤3500，则由题意得（3x+1200）+3.5（5000﹣x）＝18000，
解得x＝1400．经检验，符合题意．
答：客户甲购买了1400千克苹果．
9．某早餐机开机后，自动启动程序：先匀速加热，当机内温度升高到220℃时，自动停止加热，同时机内温度匀速下降，当机内温度降至140℃时，早餐机又自动启动上述程序，直至关机．已知早餐机的机内初始温度为20℃，降温温度是加热速度的2倍．早餐机的机内温度w（℃）与开机之后的时间t（s）之间的函数关系部分图象如图所示．
（1）早餐机的加热速度为 4 ℃/s；
（2）求线段AB所表示的w与t之间的函数表达式；
（3）将食物放入该早餐机，自开机之后，要使机内温度不低于180℃的累计时间不少于45s，至少需要 s．
【解答】解：（1）早餐机的加热速度为：（220﹣20）÷50＝4（℃/s），
故答案为：4；
（2）设线段AB所表示的w与t之间的函数表达式为w＝kt+b，
由降温温度是加热速度的2倍，所以降温速度为8℃/s，即k＝﹣8，
∵图象经过（50，220），
∴220＝﹣8×50+b，
解得b＝620，
∴w＝﹣8t+620；
（3）由题意可知，机内温度由220℃降至180℃所需时间为：（220﹣180）÷8＝5（s）；
机内温度由180℃升高到220℃所需时间为（220﹣180）÷4＝10（s），
机内温度由140℃升高到220℃所需时间为：（220﹣140）÷4＝20（s），
∵10+5+10+5+10+5＝45（s），
∴需升高到220℃时再降温3次，
∴自开机之后，要使机内温度不低于180℃的累计时间不少于45s，至少需要：50+10+20+10+20+5＝115（s）．
故答案为：115．
10．A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台．已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元．设B市运往C市机器x台，总运费为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
【解答】解：（1）由题意可知：w＝300x+400×（10﹣x）+500×（6﹣x）+800×（2+x）
由此w＝200x+8600．
（2）由题意得200x+8600≤9000，
∴x≤2．
又∵B市可支援外地6台，
∴0≤x≤6．
综上0≤x≤2且x为整数，
∴x可取0，1，2，
∴有三种调运方案；
（3）∵0≤x≤6，且w随x的值增大而增大，
当x＝0时，w的值最小，最小值是8600元．
此时的调运方案是：
B市运往C市0台，运往D市6台；A市运往C市10台，运往D市2台，最低运费是8600元．
考点四 不等式（组）与一次函数
1．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式k（x+1）+b＜2的解集为（ ）
A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x＞﹣3 D．x＜0
2．如图，已知直线y1＝k1x过点A（﹣3，﹣6），过点A的直线y2＝k2x+b交x轴于点B（﹣6，0），则不等式k1x＜k2x+b＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜﹣3 C．﹣3＜x＜0 D．x＞0
3．若整数a使得关于x的不等式组的解集为x＞2，且一次函数y＝3x+a+1的图象不经过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．如图，直线y＝kx+b分别交x轴、y轴于点A、C，直线y＝mx+n分别交x轴、y轴于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，2），则不等式kx+b≤mx+n的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≥2 D．x≤2
5．如图，函数y＝3x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式3x＜ax+4的解集为（ ）
A．x＜ B．x＜1 C．x＞ D．x＞1
6．如图，直线y＝ax+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（2.8，0）．则的解集为 ．
7．某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．
（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？
（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？
8．某水果生产基地销售苹果，提供两种购买方式供客户选择
方式1：若客户缴纳1200元会费加盟为生产基地合作单位，则苹果成交价为3元/千克．
方式2：若客户购买数量达到或超过1500千克，则成交价为3.5元/千克；若客户购买数量不足1500千克，则成交价为4元/千克．
设客户购买苹果数量为x（千克），所需费用为y（元）．
（1）若客户按方式1购买，请写出y（元）与x（千克）之间的函数表达式；
（备注：按方式购买苹果所需费用＝生产基地合作单位会费+苹果成交总价）
（2）如果购买数量超过1500千克，请说明客户选择哪种购买方式更省钱；
（3）若客户甲采用方式1购买，客户乙采用方式2购买，甲、乙共购买苹果5000千克，总费用共计18000元，则客户甲购买了多少千克苹果？
9．某早餐机开机后，自动启动程序：先匀速加热，当机内温度升高到220℃时，自动停止加热，同时机内温度匀速下降，当机内温度降至140℃时，早餐机又自动启动上述程序，直至关机．已知早餐机的机内初始温度为20℃，降温温度是加热速度的2倍．早餐机的机内温度w（℃）与开机之后的时间t（s）之间的函数关系部分图象如图所示．
（1）早餐机的加热速度为 ℃/s；
（2）求线段AB所表示的w与t之间的函数表达式；
（3）将食物放入该早餐机，自开机之后，要使机内温度不低于180℃的累计时间不少于45s，至少需要 s．
10．A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台．已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元．设B市运往C市机器x台，总运费为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
考点五 不等式（组）与方程（组）
1．如图，一次函数y＝x+1与y＝kx+b的图象交于点P，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵一次函数y＝x+1与y＝kx+b的图象交于点P（1，2），则关于x，y的方程组的解是，
故选：A．
二．填空题（共3小题）
2．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交点坐标为 （﹣4，2） ．
【解答】解：根据题意可知：
x＝﹣4，y＝2同时满足两个一次函数的解析式．
则一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交点坐标为（﹣4，2）．
故答案为：（﹣4，2）．
3．已知函数y＝k1x+b与函数y＝k2x的图象交点如图所示，则方程组的解是 ．
【解答】解：∵函数y＝k1x+b1与函数y＝k2x+b2的交点坐标是（﹣1，3），
∴方程组的解为．
故答案为．
4．如图，已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2为y轴交于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②△BCD为直角三角形；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是 ①②④ ．（填序号）
【解答】解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：y＝﹣x+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确，符合题意；
③把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③错误，不符合题意；
④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
三．解答题（共5小题）
5．疫情期间为了满足测温的需求，某学校决定购进一批额温枪．经了解市场，购买A种品牌的额温枪每支300元，B种品牌的额温枪每支350元．经与商家协商，A种品牌的额温枪降价15%，B种品牌的额温枪打八折销售．若购买两种品牌的额温枪共50支且总费用不超过13000元，则至少要购买A种品牌的额温枪多少支？
【解答】解：设要购买A种品牌的额温枪x支，则购买B种品牌的额温枪（50﹣x）支，
依题意得：300×（1﹣15%）x+350×80%×（50﹣x）≤13000，
解得：x≥40．
答：A种品牌的额温枪至少购买40支．
6．某公司为了响应国家号召，疫情之后尽快复工复产，需购买一批普通医用防护口罩和N95口罩，已知购买80个普通医用防护口罩和10个N95口罩共需420元，购买60个普通医用防护口罩和10个N95口罩共需360元．
（1）求普通医用防护口罩和N95口罩的价格．
（2）如果购买普通医用防护口罩的数量不超过购买N95口罩数量的10倍，求购买两种口罩共2200个，最低需要多少元？
【解答】解：（1）设普通医用防护口罩每个x元，N95口罩每个y元，由题意得，
，
解得，
答：普通医用防护口罩每个3元，N95口罩每个18元；
（2）设购买普通医用防护口罩a个，购买N95口罩（2200﹣a）个，由题意得，
a≤10（2200﹣a），
解得a≤2000，
购买口罩的总费用W＝3a+18（2200﹣a）＝﹣15a+39600，
当a取2000时，W有最小值，最低费用为﹣15×2000+39600＝9600（元），
答：最低需要9600元．
7．永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树2棵，B种树3棵，需要2700元；购买A种树4棵，B种树5棵，需要4800元．
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于52500元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
【解答】解：（1）设购买A种树每棵需要x元，B种树每棵需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买A种树每棵需要450元，B种树每棵需要600元．
（2）设购进A种树m棵，则购进B种树（100﹣m）棵，
依题意，得：，
解得：48≤m≤50．
∵m为整数，
∴m为48，49，50．
当m＝48时，100﹣m＝100﹣48＝52；
当m＝49时，100﹣m＝100﹣49＝51；
当m＝50时，100﹣m＝100﹣50＝50．
答：有三种购买方案，第一种：A种树购买48棵，B种树购买52棵；第二种：A种树购买49棵，B种树购买51棵；第三种：A种树购买50棵，B种树购买50棵．
8．为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．
（1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？
【解答】解：（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种工具每件16元，乙种工具每件4元．
（2）设甲种工具购买了m件，则乙种工具购买了（100﹣m）件，
依题意得：16m+4（100﹣m）≤1000，
解得：m≤50．
答：甲种工具最多购买50件．
9．某服装店去年10月以每套1200元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额28000元，进入11月份搞促销活动，每件让利100元，这样销售额比10月份增加了11000元，销售量是10月份的1.5倍．
（1）求每件羽绒服的标价是多少元；
（2）进入l2月份，服装店决定把剩余羽绒服按标价的九折甩货，若全部售出后这批羽绒服总获利不少于9940元，则这批羽绒服至少购进多少件？
【解答】解：（1）设每件羽绒服的标价为x元，则10月份售出件，
根据题意得：＝×1.5，
解得：x＝1400，
经检验x＝1400是原方程的解，
答：每件羽绒服的标价为1400元．
（2）设这批羽绒服购进a件，
10月份售出28000÷1400＝20（件），11月份售出20×1.5＝30（件）
根据题意得：28000+（11000+28000）+1400×0.9（a﹣20﹣30）﹣1200a≥9940
解得：a≥99，
所以a至少是99，
答：这批羽绒服至少购进99件．
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