高考数学真题专项练习 专题35 不等式选讲（解析版）

专题35  不等式选讲

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考点120  绝对值不等式的求解

1．（2020全国Ⅰ文理22）已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

【解析】（1）∵，作出图像，如图所示：

（2）将函数的图像向左平移个单位，可得函数的图像，如图所示：

由，解得，∴不等式的解集为．

2．（2020江苏23）设，解不等式．

【答案】

【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．

【解析】或或，

或或，∴解集为．

3．（2016全国I文理）已知函数．

（I）在图中画出的图像；

（II）求不等式的解集．

【解析】(1)如图所示：

(2) ，．

当，，解得或，；

当，，解得或，或；

当，，解得或，或．

综上，或或，，解集为．

4．（2014全国II文理）设函数=

（Ⅰ）证明：2；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

【解析】（I）由，有，∴≥2．

（Ⅱ）．

当时＞3时，=，由＜5得3＜＜；

当0＜≤3时，=，由＜5得＜≤3．

综上：的取值范围是（，）．

5．（2011新课标文理）设函数，其中．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值．

【解析】（Ⅰ）当时，可化为，由此可得  或．

故不等式的解集为或．

( Ⅱ) 由 得，此不等式化为不等式组  或，

即或，因为，∴不等式组的解集为，由题设可得=，故．

考点121  含绝对值不等式的恒成立问题

6．（2020全国Ⅱ文理22）已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）或；（2）．

【思路导引】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果．

【解析】（1）当时，．

当时，，解得：；

当时，，无解；

当时，，解得：；

综上所述：的解集为或．

（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为．

7．（2019全国II文理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围．

【解析】（1）当a=1时，．

当时，；当时，，∴不等式的解集为．

（2）因为，∴．

当，时，

∴的取值范围是．

8．（2018全国Ⅰ文理）已知．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若时不等式成立，求的取值范围．

【解析】(1)当时，，即

故不等式的解集为．

(2)当时成立等价于当时成立．

若，则当时；

若，的解集为，∴，故．

综上，的取值范围为．

9．（2018全国Ⅱ文理）设函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围．

【解析】(1)当时，

可得的解集为．

(2)等价于．

而，且当时等号成立．故等价于．

由可得或，∴的取值范围是．

10．（2018全国Ⅲ文理）设函数．

(1)画出的图像；

(2)当时，，求的最小值．

【解析】(1)

的图像如图所示．

(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5．

11．（2018江苏）若，，为实数，且，求的最小值．

【解析】由柯西不等式，得．

因为，∴，当且仅当时，不等式取等号，此时，

∴的最小值为4．

12．（2017全国Ⅰ文理）已知函数，．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集包含，求的取值范围．

【解析】（1）当时，不等式等价于．①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而，∴的解集为．

（2）当时，，∴的解集包含，等价于当时．

又在的最小值必为与之一，∴且，得，∴的取值范围为．

13．（2017全国Ⅲ文理）已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．

【解析】（1），

当时，无解；

当时，由得，，解得；

当时，由解得．

∴的解集为．

（2）由得，而

，

且当时，，故m的取值范围为．

14．（2016全国III文理）已知函数

（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；

（Ⅱ）设函数，当时，，求a的取值范围．

【解析】（Ⅰ）当时，．

解不等式，得，因此的解集为．

（Ⅱ）当时，

，当时等号成立，

∴当时，等价于．  ①

当时，①等价于，无解．

当时，①等价于，解得．

∴的取值范围是．

15．（2015全国I文理）已知函数，．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围．

【解析】（Ⅰ）当时，不等式化为，

当时，不等式化为，无解；

当时，不等式化为，解得；

当时，不等式化为，解得．

∴的解集为．

（Ⅱ）有题设可得，，∴函数图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，的面积为．有题设得，故．∴的取值范围为．

16．（2014全国I文理）若，且．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由．

【解析】（I）由，得，且当时取等号．

故，且当时取等号．

∴的最小值为．

（II）由（I）知，．由于，从而不存在，

使得．

16．（2013全国I文理）已知函数=，=．

（Ⅰ）当=-2时，求不等式＜的解集；

（Ⅱ）设＞-1，且当∈[，)时，≤，求的取值范围．

【解析】(Ⅰ)当=2时，不等式＜化为，

设函数=，=，

其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，

∴原不等式解集是．

（Ⅱ）当∈[，)时，=，不等式≤化为，

∴对∈[，)都成立，故，即≤，

∴的取值范围为(1，]．

17．（2012新课标文理）已知函数．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围．

【解析】(1)当时，

或或

或．

(2)原命题在上恒成立

在上恒成立

在上恒成立

．

考点122  不等式的证明

18．（2020全国Ⅲ文理23）设．

（1）证明：；

（2）用表示的最大值，证明：．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．

【思路导引】（1）根据题设条件两边平方，再利用均值不等式证明即可；

（2）思路一：不妨设，由题意得出，

由，结合基本不等式，即可得出证明．

思路二：假设出中最大值，根据反证法与基本不等式推出矛盾，即可得出结论．

【解析】（1）证明：

即

（2）证法一：不妨设，由可知，，

，，

当且仅当时，取等号，，即．

证法二：不妨设，则而

矛盾，∴命题得证．

19．（2019全国I文理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

【解析】（1）因为，又，

故有，∴．

（2）因为为正数且，故有

=24．

∴．

20．（2019全国III文理23）设，且．

（1）求的最小值；

（2）若成立，证明：或．

【解析】（1）由于，

故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立．

∴的最小值为．

（2）由于

，

故由已知，当且仅当，，时等号成立，因此的最小值为．

由题设知，解得或．

21．（2017全国Ⅱ文理）已知，，，证明：

(1)；

(2) ．

【解析】（1）．

（2）∵，

∴，因此．

22．（2017江苏）已知，，，为实数，且，，证明．

【解析】证明：由柯西不等式可得：，

因为∴，因此．

23．（2016全国II文理）已知函数，M为不等式的解集．

（I）求M；

（II）证明：当a，时，．

【解析】（I）当时，，若；

当时，恒成立；

当时，，若，．

综上可得，．

（Ⅱ）当时，有，即， 

则，则，即，证毕．

24．（2015全国II文理）设均为正数，且，证明：

（Ⅰ）若>，则；

（Ⅱ）是 的充要条件．

【解析】（Ⅰ）∵，，

由题设，得，因此．

（Ⅱ）（ⅰ）若，则，即．

因为，∴，由（Ⅰ）得．

（ⅱ）若， 则，即．

因为，∴，于是．

因此．

综上是的充要条件．

25．（2013全国II文理）设均为正数，且，证明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ）得，

由题设得，即，

∴，即．

（Ⅱ）∵，∴，

即，∴．