高中数学高考专题07 平面向量（解析版）

专题07 平面向量

1．（2021·浙江高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】若，则，推不出；若，则必成立，

故“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

2．（2021·全国高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：，，所以，，故，正确；

B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；

C：由题意得：，，正确；

D：由题意得：，

，故一般来说故错误；

故选：AC

3．（2021·浙江高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.

【详解】由题意，设，

则，即，

又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，

所以在方向上的投影，

即,

所以，

当且仅当即时，等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.

4．（2021·全国高考真题（理））已知向量．若，则________．

【答案】.

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值

【详解】,

，解得,

故答案为：.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.

5．（2021·全国高考真题）已知向量，，，_______．

【答案】

【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.

【详解】由已知可得，

因此，.

故答案为：.

6．（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．

【答案】

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．

【详解】因为，所以由可得，

，解得．

故答案为：．

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，

，注意与平面向量平行的坐标表示区分．

7．（2021·北京高考真题），，，则_______；_______．

【答案】0    3   

【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.

【详解】，

，，

.

故答案为：0；3.

1．（2021·全国高三二模）已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（    ）

A．3 B．2 C．1 D．

【答案】A

【详解】∵､､三点共线，∴，解得.故选A.

2．（2021·青海西宁市·高三三模（理））已知向量满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】，

3．（2021·全国高三其他模拟（理））在中，，D是上的点，若，则实数x的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由得到，然后带入，进而得到，然后根据B，D，E三点共线，即可求出结果.

【详解】解：∵，∴，

∵，

∴，

∵B，D，E三点共线，∴，∴．

故选：D．

4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若单位向量满足，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由已知条件求出，再由即可求出答案.

【详解】解：因为为单位向量，

所以，所以,

所以，

故选：C.

5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知，是两个夹角为的单位向量，，，则（    ）

A．7 B．9 C．11 D．13

【答案】C

【分析】直接利用数量积的定义和运算律求解即可

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））在直角梯形中，，，，为边上中点，的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题首先可根据题意得出以及，然后根据为边上中点得出，最后将转化为，通过计算即可得出结果.

【详解】因为，，所以，

因为，所以，，

因为为边上中点，所以，

则

，

故选：D.

7．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在中，，是上的一点，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】解：因为，所以，因为，所以，所以，

又，所以，

故选B．

8．（2021·安徽安庆市·安庆一中高三三模（理））中，，，，点为的外心，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】在中，利用余弦定理求出，再在两边同时乘以向量和，利用投影的定义计算出和的值，代入方程中计算，解出和，可得出答案．

【详解】中，，，，

则，

，，

又，同理可得：，代入上式，

，解得：，

故选：A.

9．（2021·河南高三其他模拟（理））已知圆是的外接圆，半径为1，且，则___________.

【答案】

【分析】将变形为，平方化简可得，故，结合数量积公式求解即可

【详解】将变形为，再两边平方，得，

所以

.

故答案为：.

10．（2021·岐山高级中学高三其他模拟（理））在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则_____________．

【答案】

【分析】利用和作为基底表示向量和，然后计算数量积即可．

【详解】解：∵，，，

∴在等腰三角形中，，

又，∴，

∴，

∵，∴

又，

∴

故答案为：．

11．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知向量，，且与垂直，则______．

【答案】

【分析】求得坐标，根据垂直关系列出式子即可求解.

【详解】，，，

与垂直，，解得.

故答案为：.

12．（2021·安徽师范大学附属中学高三其他模拟（理））已知向量，，若⊥，则______．

【答案】1

【分析】解方程即得解.

【详解】因为⊥，

所以.

故答案为：1

13．（2021·河北保定市·高三二模）已知O为角平分线AM上一点，，，且，则___________；___________.

【答案】       

【分析】利用向量的加、减法运算以及向量数量积的几何意义即可求解.

【详解】如图，

作，

由是角平分线，可得，，

由可知为的中点，故，

,

设，则，解得，

故，

.

故答案为：；.