人教版数学八年级下册：数据的分析 知识讲解 (含答案)

数据的分析

【学习目标】

1. 了解加权平均数的意义和求法，会求实际问题中一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．

2. 了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法．进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特征．

3. 了解极差和方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征．体会用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．

4. 从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度.

【要点梳理】

要点一、算术平均数和加权平均数

一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.

要点诠释：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.

（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.

（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.

     若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.

    要点诠释：（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.

（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.

要点二、中位数和众数

1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.

      要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.

（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.

2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.

     要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.

（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.

要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别

联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.

区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.

要点四、极差、方差和标准差

用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值.

要点诠释：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定.

方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是：

　　要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.

             （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.

             （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.

    方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即：

　　；标准差的数量单位与原数据一致.

要点五、极差、方差和标准差的联系与区别

联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．

区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.

要点六、用样本估计总体

在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.

要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.

         （2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.

【典型例题】

类型一、利用概念求平均数、中位数、众数

1、某电冰箱专卖店出售容积为182L、185L、228L、268L四种型号的同一品牌的冰箱，每出售一台，售货员就作一个记录，月底得到一组由15个268，66个228，18个185和11个182组成的数据．

    (1)这组数据的平均数有实际意义吗?

    (2)这组数据的中位数、众数分别是多少?

    (3)专卖店总经理关心的是中位数还是众数?

【答案与解析】

解：(1)这组数据的平均数没有实际意义，对专卖店经营没有任何参考价值．

    (2)这组数据共有110个，中位数为228，众数为228．

(3)专卖店经理最关心的是众数，众数是228，说明容积为228L型号的冰箱销售量最大，它能为专卖店带来较多的利润，所以这种型号的冰箱要多进些．

【总结升华】一组数据中出现次数最多的数据是众数，它是我们关心的一种集中趋势，通常选择众数进行决策．

举一反三：

【变式】若数据3.2，3.4，3.2，，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________．

【答案】3.2；3.5；

解：由题意，所以众数是3.2，平均数是3.5  .    

类型二、利用三数——平均数、众数、中位数解决问题 

2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：

    (1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；

    (2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．

【思路点拨】（1）运用求平均数公式即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.

【答案与解析】

解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，

乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，

丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，

∴  候选人丙将被录用．

    (2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，

乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，

丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，

       ∴  候选人甲将被录用．

【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用．

举一反三：

【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?

【答案】

解：小王平时测试的平均成绩（分）．

所以（分）．

答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．

3、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损)．

    已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分．

    (1)求该班80分和90分的人数分别是多少?

    (2)设此班30名学生成绩的众数为，中位数为，求的值．

【答案与解析】

解：(1)设该班得80分的有人，得90分的有人．

根据题意和平均数的定义，得

整理得  解得

    即该班得80分的有8人，得90分的有5人．

    (2)因为80分出现8次且出现次数最多．所以＝80，第15、16两个数均为80分，所以＝80，则＝80＋80＝160．

【总结升华】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．解题的关键是准确理解题意，建立等量关系.

举一反三：

【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．

请根据图表中的信息，回答以下问题.

    (1)求的值；

    (2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数．

【答案】

解：(1) ＝50－15－20－5＝10．

(2)众数是15．

平均数为(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．

类型三、极差、方差与标准差

4、（2020•河北）某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．

         甲、乙两人射箭成绩统计表

（1）＝_____；＝_______；

（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；

（3）①观察图，可看出______的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断．②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．

【思路点拨】（1）根据他们的总成绩相同，得出＝30－7－7－5－7＝4，进而得出＝30÷5＝6；（2）根据（1）中所求得出的值进而得出折线图即可；（3）①观察图，即可得出乙的成绩比较稳定；②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．

【答案与解析】

解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，

则＝30－7－7－5－7＝4， ＝30÷5＝6，

故答案为：4，6；

（2）如图所示：

；

（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，

故答案为：乙；

由于＜，所以上述判断正确．

②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．

【总结升华】此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出的值进而利用方差的意义比较稳定性即可．

举一反三：

【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)

    (1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；

    (2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由．

【答案】

解：(分)，

    (分)．

    甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．

    (2)由(1)知分，所以

，

．

①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；

②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；

③从方差来看，因为，，所以甲的成绩较稳定；

④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；

⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．

综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．

类型四、统计思想

5、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图．

    (1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；

(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有多少户．

【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t的用户所占的百分比，再进一步估计总体．

【答案与解析】

 解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是

．

∴  这组样本数据的平均数为6.8．

∴  在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多．

∴  这组数据的众数是6.5．

∵  将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，有．

    ∴  这组数据的中位数是6.5．

(2)∵  10户中月均用水量不超过7t的有7户，有．

∴  根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有35户．

【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．