高中数学高考考点54 二项分布与超几何分布、正态分布-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

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考点54二项分布与超几何分布、正态分布【命题解读】   二项分布与超几何分布、正态分布是高考出题的知识点之一，其中二项分布和超几何分布是离散型随机变量分布列，正态分布是连续型随机变量分布列，主要考查对分布列的认识和理解，在选择、填空中主要考正态分布，解答题中二项分布和超几何分布的比较多一些。【命题预测】预计2021年的高考对于二项分布与超几何分布、正态分布的出题比较灵活，难于掌握出题方向，重点还是要掌握基础知识。【复习建议】  1.掌握二项分布和超几何分布；2.了解正态分布的含义及其均值、方差。考向一　二项分布与超几何分布1. 二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成功概率在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，n)2. 超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率P(X=k)=，k=0，1，2，…，m，即X01…mP…其中m= min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.1. 【2020江苏苏州市高二期中】某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】记投篮命中的次数为随机变量，由题意，，则投篮命中次的概率为，由得，即，即，解得，又，因此时，取最大值.即该运动员10次投篮中，最有可能投中的次数为次.故选：D.2. 【2019黄梅国际育才高级中学高二期中（理）】在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为，故选：D考向二  正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)=，x∈(-∞，+∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称函数φμ，σ(x)的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线. (2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交; ②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称; ③曲线在x=μ处达到峰值; ④曲线与x轴之间的面积为1; ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图10-58-1①所示; ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中;σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(如图10-58-1②所示) ①②图10-58-1(3)正态分布的定义及表示一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)=则称随机变量X服从正态分布，记作X~N(μ，σ2). 正态分布的三个常用数据：①     P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7; ②     P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5; ③     P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3. 1. 【2020全国高三专题练习】重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚､脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果､中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径(单位：)服从正态分布，则果实横径在的概率为（    ）附：若，则；.A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545【答案】C【解析】由题得，，所以，，所以，所以，所以果实横径在的概率为.故选：C.2. 【2018广东高二期末（理）】已知随机变量服从正态分布，若，则的值为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】随机变量服从正态分布，曲线关于对称，，，，故选：. 题组一（真题模拟在线）1. 【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．2. 【2020浙江宁波市高二期末】从一副不含大小王的52张扑克牌（即不同花色的各4张）中任意抽出5张，恰有3张A的概率是（    ）A． B． C． D．3. 【2020江苏省海头高级中学高二月考】若随机变量，则等于（    ）A． B． C． D．4. 【2020湖北随州市高二期末】某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于或等于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（    ）A．100 B．200 C．300 D．4005. 【2020山西省夏县第二中学高二期末】已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 7，则P(X>4)＝（    ）A．0.158 8 B．0.158 65 C．0.158 6 D．0.158 56. 【2020全国高三月考（理）】山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱．现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如下表所示：采购数量（单位：箱）采购人数1001005020050（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图；（2）求近一周内采购量在286箱以下（含286箱）的人数以及采购数量的平均值；（3）以频率估计概率，若从所有采购者中随机抽取4人，记采购量不低于260箱的采购人数为，求的分布列以及数学期望．7. 【2020湖南高三开学考试】 “全国文明城市”已成为一块在国内含金量最高､综合性最强､影响力最大的“金字招牌”.为提升城市管理水平和区域竞争力，提升市民素养和群众幸福指数，某市决定参与创建“全国文明城市”.为确保创建工作各项指标顺利完成，市“创建办”拟通过网络对市民进行一次“文明创建知识”问卷调查(一位市民只参加一次).通过随机抽样，得到参加调查的100人的得分统计如下表：组别频数112222525114（1）由频数分布表可以大致认为：此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的均值.求得分在区间的概率；(注：同一组的数据用该组区间的中点值作代表)（2）在（1）的条件下，市“创建办”为鼓励市民积极参与创建问卷调查，制定了如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率如表所示：赠送话费的金额(元)3050概率现有市民甲参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望.附：参考数据：①；②；③若，则，.8. 【2020全国高三其他模拟】为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了10个这类工程，得到如下数据（单位：天）：17，23，19，21，22，21，19，17，22，19．（1）若该类工程的工期服从正态分布，用样本的平均数和标准差分别作为和的估计值．（ⅰ）求和的值；（ⅱ）由于疫情需要，要求在22天之内完成一项此类工程，估计能够在规定时间内完成该工程的概率（精确到0.01）．（2）在上述10个这类工程的工期中任取2个工期，设这2个工期的差的绝对值为，求的分布列和数字期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，．题组一1.见解析【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且．由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（1）知．2.C【解析】设为抽出的5张牌中含的张数，可知服从超几何分布，其中，则.故选：C.3. A【解析】由二项分布的概率公式得.故选：A4. D【解析】由正态分布的特点知，正态密度曲线对称轴为，所以，因为，所以，由对称性知：，所以考试成绩在90分到105分之间的人数约为，故选：D5. B【解析】随机变量X服从正态分布N(3，1)，其图象的对称轴为X = 3.所以所以 故选：B6.  见解析【解析】（1）依题意，转化频率分布表如下所示：采购数量（单位：箱）采购人数1001005020050频率0.20.20.10.40.1频率/组距0.0100.0100.0050.0200.005完善频率分布直方图如图所示：（2）采购量在286箱以下（含286）的频率为；故采购量在286箱以下（含286）的人数为；所求平均值为；（3）依题意，，则，，，，，故的分布列为：01234故．7. 见解析【解析】（1）根据表格中的数据，可得：，，所以.（2）由题意，可得，则获赠话费的可能取值为30，50，60，80，100，，，，，，则的分布列为：30506080100故期望值(元).8. 见解析【解析】（1）（ⅰ）样本的平均数为，样本的标准差为．因此，．（ⅱ）22天之内完成该工程的概率所以估计能够在规定时间内完成该工程的概率为0.84．（2）把这10个工期从小到大排列，为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23，则的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，．所以的分布列是0123456的数学期望是．