高中数学高考考点33 圆的方程-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

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【命题解读】
圆的方程是高中数学中必学知识点，在高考中圆的知识也是每年都出现，但单独考察圆的方程的题目比较少，至少近几年几乎没有出现，在圆的方程的考察方面主要是与直线相结合来出题，以基础题目为主。
【命题预测】
预计2021年的高考圆的方程还是以基础为主，注重课本基础知识，注重几何与代数转化思想的应用。
【复习建议】
1.掌握圆的标准方程与圆的一般方程；
2.会计算与圆有关的最值等问题。
考向一 圆的标准方程与一般方程
1. 圆的定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹).
2.圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0)圆心为(a,b)半径为r
3.圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)圆心为-D2,-E2 半径为12D2+E2-4F
1. 【2020广东实验中学高一期中】已知圆C经过A（0，0），B（2，0），且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为( )
A．（x–1）2+（y–1）2=4B．
C．（x–1）2+（y–1）2=2D．（x–1）2+（y–2）2=5
【答案】C
【解析】因为圆心在弦的中垂线上，所有可设，由于为等腰直角三角形，所以圆心坐标为 ，圆的半径为，所以圆的方程为，故选C.
2. 【2020兴安县第三中学开学考试】若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为( )
A．2或1B．－2或－1
C．2D．1
【答案】C
【解析】若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，
则有且.
解得.故选C.
考向二 与圆有关的计算问题
1.与圆有关的最值问题的计算（主要是距离最值、对称性求最值）
2.与园有关的轨迹问题的计算
1. 【2019黑龙江高二月考】已知M，N分别是曲线上的两个动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】圆的圆心，半径为 ，圆，圆心，半径为，
圆心关于的对称点为，
解得故
．
故选．
2. 【2020全国高二课时练习】方程所确定的圆中，最大面积是( )
A．B．C．3πD．不存在
【答案】B
【解析】所给圆的半径.
所以当时，半径r取最大值，此时最大面积是.
故选B
3. 【2020浙江柯城衢州二中高三其他】已知直线与圆有公共点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】因为表示圆，
所以，解得，
因为直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离，
即 ，
解得，
此时，
因为，在递增，
所以的最大值.
故选:C
题组一（真题在线）
1. 【2019年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．
2. 【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为
A． 4B． 5
C． 6D． 7
3. 【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
4. 【2020年高考天津】已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
5. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为
A．B．
C．D．
6. 【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│−│MP│为定值？并说明理由．
题组二
1. 【2020重庆市广益中学校期末】过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）
A．B．
C．D．
2. 【2020武汉市钢城第四中学月考】圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3. 【2020福建厦门一中开学考试】已知圆M与直线和都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4. 【2018江西省信丰中学月考】已知圆，若直线m过且与圆交于两点，则弦长的最小值是（ ）
A．B．4C．D．
5. 【2020全国高三课时练习（理）】已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是（ ）
A．9B．8
C．4D．2
6. 【2020北京市延庆区教委其他】圆上一点到原点的距离的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7. 【2020安徽庐阳合肥一中期中】已知圆，是轴上的动点，，分别切圆于，两点，则动弦的中点的轨迹方程为__________.
8. 【2020江西期末】已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是 ．
9. 【2020四川省珙县中学月考】已知直线：（）与圆：相交于、两点，当面积最大时，__________.
10. 【2020山西大同一模】已知圆的圆心坐标为，直线被圆C截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）若过点作斜率为的直线交圆于，两点，为坐标原点，且直线，的斜率乘积满足，求直线的方程.
题组一
1. ，
【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.
2.A
【解析】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A．
3. A
【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A．
4. 5
【解析】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
故答案为：．
5. B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B．
6. C
【解析】（1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设.
因为与直线x+2=0相切，所以的半径为.
由已知得，又，故可得，解得或.
故的半径或.
（2）存在定点，使得为定值.
理由如下：
设，由已知得的半径为.
由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.
因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以.
因为，所以存在满足条件的定点P.
题组二
1.C
【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，点在圆上，排除A
故选C
2.A
【解析】圆的圆心坐标为，半径为．
设点关于直线对称的点，
则，解得，．
对称的圆的方程为．
故选：A
3.C
【解析】到两直线及的距离都相等的直线方程为，联立方程组，解得.两平行线之间的距离为，所以，半径为，从而圆的方程为. 选.
4. D
【解析】由圆的圆心坐标，半径，
因为直线m过，
所以圆心到直线的最大距离就是圆心到点的距离
可得，
由圆的弦长公式，可得，此时弦长的最小，
即弦长的最小值为，
故选：D.
5.A
【解析】圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0，1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5.
因为b，c>0，所以＋≥2＝4.
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，
c＝时，＋取得最小值9.
故选：A
6.C
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆心到原点的距离为，
所以圆上一点到原点的距离的最大值为.
故选：C
7.
【解析】 由圆的方程可知圆心，半径为.
设点，，点、、三点共线，
可得，
由相似可得即
，
联立消去并由图可知，可得
.
故答案为：
8.
【解析】设点的坐标为，，且坐标原点为的中点，
所以，，则点的轨迹方程为，
由题意可知，圆与圆有公共点，且圆心，
则，即，
，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
9. 或
【解析】由三角形的面积公式：，
所以当面积最大时，，
此时圆心到直线的距离为，
因为圆的方程为，所以圆心，，
又因为直线：（），所以
所以：，解得或
故答案为：或
10. 【答案】见解析
【解析】（1）圆心到直线的距离，
直线被圆C截得的弦长为，
则圆的半径r满足.
圆C的方程为；
（2）直线的方程为，
联立，
得，
直线与圆交于，两点，
则恒成立.
设，
根据韦达定理：，
则，
，
则
，
解得，即.
直线的方程为：.