考向40二项式定理（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向40  二项式定理

1.（2022年北京卷T8）若，则

（A） （B） （C） （D）

【答案】B

【解析】当时，①；当时，时，②；①+②得原式

2.（2022·新高考1卷T13）的展开式中的系数为____________（用数字作答）．

【答案】

【解析】原式等于，由二项式定理，其展开式中的系数为．

3.（2022·天津卷T11）展开式中的常数项为____________

【答案】

【解析】

4．（2022·浙江卷T12）已知多项式，则         ，         ．

【答案】

【解析】由题．

令，则．

又，所以．

1.求二项展开式中的特定项的方法：

①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．

②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．

③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．

2.求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路

(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．

(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.

(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．

3.求三项展开式中某些特定项的系数的方法

(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．

(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．

(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．

4.系数和问题常用“赋值法”求解

赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：

①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等．

②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．

③求值，根据题意，得出指定项的系数和．

5.二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n.

6.二项展开式系数最大项的求法

如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用 从而解出k来，即得．

(a＋b)n的展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式系数从C，C，一直到C，C.

1.混淆通项公式与展开式中的第r项

2.混淆二项式展开式中a,b排列顺序设置陷阱

3.混淆二项式系数和项的系数

4.混淆二项式最大项与展开式系数最大项

一、单选题

1．的展开式中，的系数为（    ）

A． B． C． D．

2．已知的二项展开式中，第三项与第项的二项式系数和为84，则第四项的系数为（    ）

A．280 B．448 C．692 D．960

3．的展开式中，的系数等于（    ）

A． B． C．10 D．45

4．已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（    ）

A．90 B．10 C．10 D．90

5．若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．的展开式中，一次项的系数与常数项之和为（    ）

A．33 B．34 C．35 D．36

7．在的展开式中，常数项为（    ）

A．-60 B．60 C．-240 D．240

8．若，则（    ）

A．270 B．135 C．135 D．270

9．的展开式中的常数项为（    ）

A．40 B．60 C．80 D．120

10．若，则（    ）

A．244 B．243

C．242 D．241

11．的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（    ）

A．540 B．135 C．18 D．1215

12．的展开式中常数项为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．的展开式中的系数为__________（用数字作答）．

14．已知二项式展开式中含有常数项，则n的最小值为____________．

15．展开式中的系数为________.

16．，则_________.

一、单选题

1．（2021·浙江省杭州第二中学模拟预测）小猫在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，小猫决定采用精确到的近似值，则这个近似值是（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）的展开式中的系数为（    ）

A．80 B．24 C． D．

3．（2022·山东聊城·三模）的展开式中项的系数为（    ）

A． B． C． D．

4．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知，则（    ）

A．280 B．35 C． D．

5．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）的展开式中的系数为（    ）

A． B．25 C． D．5

6．（2022·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（    ）

A．1009 B．1010 C．1011 D．1012

7．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知，则关于的展开式，以下命题错误的是（    ）

A．展开式中系数为负数的项共有3项

B．展开式中系数为正数的项共有4项

C．含的项的系数是

D．各项的系数之和为

8．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））对于的展开式，下列说法不正确的是（    ）

A．有理项共5项 B．二项式系数和为512

C．二项式系数最大的项是第4项和第5项 D．各项系数和为

9．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的常数项为（       ）

A． B．32 C．−64 D．64

10．（2022·北京·人大附中模拟预测）展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（    ）

A． B． C．15 D．375

11．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数（k，n为正奇数），是的导函数，则（    ）

A． B．

C． D．

12．（2022·山西吕梁·模拟预测（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））下面四个命题：

①已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则；

②存在负数，使得恰有3个零点；

③已知多项式，则；

④设一组样本数据的方差为，则数据的方差为

其中真命题的序号为___________.

14．（2021·湖北湖北·模拟预测）代数式的展开式的常数项是__________(用数字作答)

15．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）在的展开式中只有第5项二项式系数最大，则常数项为__________．

16．（2023·全国·模拟预测）若的展开式中的系数为9，则a的值为______．

1．(2018全国Ⅲ理)的展开式中的系数为（  ）

A．10   B．20   C．40   D．80

2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））的展开式中x3y3的系数为（    ）

A．5      B．10      C．15     D．20

3．【2020全国Ⅲ理14】的展开式中常数项是　  　　  　（用数字作答）．

4．【2020天津卷11】在的展开式中，的系数是_________．

5．（2021·浙江卷T13）已知多项式，则　  　；

　  　．

6. （2021·天津卷2）在展开式中，的系数是__________．

7．（2021·上海卷T6）若代数式的展开式中，的系数为，则________．

1．【答案】B

【解析】的展开式的通项是，（）

由题意，，因此，的系数是.

故选：B.

2．【答案】B

【解析】由题，，

因为第三项与第项的二项式系数和为84，所以，即，

所以，解得，

所以第四项的系数为，

故选：B

3．【答案】D

【解析】的通项为，

令，解得，所以项的系数为：.

故选：D

4．【答案】A

【解析】因为（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，

所以，得，所以，

则其展开式的通项公式为，

令，得，

所以该展开式中的常数项为，

故选：A

5．【答案】B

【解析】∵，

故展开式中的系数.

故选：B.

6．【答案】D

【解析】因为的通项公式为，

所以的展开式中，一次项的系数为，

常数项为，

所以一次项的系数与常数项之和为，

故选：D

7．【答案】D

【解析】由题知，展开式中第项，

令，得，所以展开式中常数项为.

故选：D

8．【答案】B

【解析】，

以代替，得，

所以其通项公式为，

令，所以，

故选：B

9．【答案】A

【解析】的展开式的通项公式为，

而，

令，得，令，得，

所以的展开式中的常数项为．

故选：A．

10．【答案】C

【解析】显然，，

令得，

故.

故选：C.

11．【答案】B

【解析】由题意得，所以，所以展开式的通项，

令，得，

所以展开式中的常数项为．

故选：B．

12．【答案】B

【解析】将原式看成6个相同的因子相乘，按x的选取个数分类，

得展开式中常数项为．

故选：B.

13．【答案】7

【解析】二项式的通项公式为：，

令，所以的系数为，

故答案为：

14．【答案】6

【解析】二项式展开式的通项为：

，

二项式展开式中含有常数项，

有解，

则当时，最小，且最小值为6.

故答案为：6.

15．【答案】

【解析】因为

且展开式的通项公式为

故的系数为

故答案为:.

16．【答案】－20

【解析】由，要得，则，所以，

故答案为：

1．【答案】B

【解析】

故选：B.

2．【答案】A

【解析】依题意，，显然展开式中没有项，

展开式的项为，

所以的展开式中的系数为80.

故选：A

3．【答案】B

【解析】的展开式通项为，

因为，

在中，令可得，

在中，令可得，

因此，展开式中项的系数为.

故选：B.

4．【答案】A

【解析】，

令，则

，

展开式的通项为：，

令，可得，所以.

故选：A.

5．【答案】A

【解析】∵

的展开式为，

令，得，则，

令，得，则，

令，得，

∴的展开式中的系数为.

故选：A．

6．【答案】C

【解析】当时，第斜列各项之和为，

同理，第斜列各项之和为，所以，

所以第斜列与第斜列各项之和最大时，，则.

故选：C．

7．【答案】C

【解析】原式=，所以的系数为1，是正数；的系数为，的系数为，的系数为，的系数为，的系数为，常数项为，所以展开式中系数为负数的项共有3项，展开式中系数为负数的项共有4项，所以选项AB正确，选项C错误.

设，所以.所以各项的系数之和为，所以选项D正确.

故选：C

8．【答案】C

【解析】的展开式的通项公式为

，

当时，展开式的项为有理项，

所以有理项有5项，A正确；

所有项的二项式系数和为，B正确；

因为二项式的展开式共有10项，

所以二项式系数最大的项为第5项和第6项，C错误；

令，所有项的系数和为，D正确.

故选：C

9．【答案】A

【解析】对于的展开式通项为，

所以原式的常数项为.

故选：A

10．【答案】D

【解析】，展开式的通项为

由得，则展开式的常数项为

故选：D

11．【答案】D

【解析】因为，

所以，

所以，

则，

其中，

所以，

所以；

故选：D

12．【答案】A

【解析】由，两边同时除以x，

得，

又

展开式中的系数为，

所以，

所以．

故选：A．

13．【答案】① ③

【解析】对于①：因为为偶函数，即，令，所以，

又因为为奇函数，所以，令，

所以，所以，故①正确；

对于②：存在负数，使得恰有3个零点等价于和，

有三个不同交点，且恒过点，

画出图像如下所示：根据图像判断至多有两个交点，故②不正确；

对于③：，

，

所以的系数为：5，故③正确；

对于④：设的平均数为，

则其方差为：，

则的平均数为，

则其方差为：，

故④不正确.

故答案为：① ③ .

14．【答案】3

【解析】，

的展开式通项为，

所以，的展开式通项为，

由，可得，

因此，的展开式的常数项为.

故答案为：.

15．【答案】1120

【解析】由的展开式中只有第5项二项式系数最大得，

所以展开式通项为，

当时常数项为．

故答案为：1120

16．【答案】1

【解析】，且展开式的通项，

当时，，此时的系数为.

当时，，此时的系数为.

展开式中的系数为，．

故答案为：1

1．【答案】C

【解析】，由，得，所以的系数为．故选C．

2．【答案】C

【解析】展开式的通项公式为（且）

所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：

和

在中，令，可得：，该项中的系数为，

在中，令，可得：，该项中的系数为

所以的系数为。故选：C

3．【答案】

【解析】，其二项式展开通项：

，当，解得，的展开式中常数项是：．故答案为：．

4．【答案】10

【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．

5．【答案】5；10

【解析】根据二项式通项公式：，故，

法一：同理，，

 ，

所以

法二：令x=1,得：，所以

6. 【答案】160

【解析】的展开式的通项为，

令，解得，所以的系数是.故答案为：160.

7．【答案】2

【解析】通项公式为：,因为的系数为，所以令，即

所有，解得