考向41随机事件的概率（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

这是一份考向41随机事件的概率（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版），共29页。试卷主要包含了概率加法公式的推广等内容，欢迎下载使用。

考向39 随机事件的概率

1.（2022·全国甲文T6）从分别写有1，2，3， 4，5， 6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】无放回随机抽取2张方法有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共15种，其中数字之积为4的倍数的是14，24，26，34，45，46共,6种，,故选C。
2．（2021·全国甲文T10）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将3个1和2个0随机排成一行，共有以下10种排法：
11100，11010，11001，10110，10101，10011，01110，01101，01011，00111；
其中2个0不相邻的共有6种情况，所以2个0不相邻的概率为．
15种，其中数字之积为4的倍数的是14，24，26，34，45，46共,6种，,故选C。
3．（2021·全国乙文T7）在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，本题是几何概型，测度为长度．
4.（2022·全国乙文T14）从甲、乙等名同学中随机选名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____.
【答案】
【解析】解法1:设名同学的编号为甲、乙、、、，从中随机取名的所有结果为：甲乙、甲乙、甲乙、甲、甲、甲、乙、乙、乙、共10种，其中甲、乙都入选的情况为：甲乙、甲乙、甲乙共3三种，故所求概率为.
解法2：设“甲、乙都入选”为事件，则
解法3：设“甲、乙不都入选”为事件，则，故所求概率为
5．（2022·新高考1卷T5）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】总事件数共，
第一个数取2时，第二个数可以是；
第一个数取3时，第二个数可以是；
第一个数取4时，第二个数可以是；
第一个数取5时，第二个数可以是；
第一个数取6时，第二个数可以是；
第一个数取7时，第二个数可以是；
所以．

1.古典概型中基本事件的探求方法

2.利用公式法求解古典概型问题的步骤
　
3．判别互斥、对立事件的方法
判别互斥、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
4.求复杂的互斥事件的概率的一般方法
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便．

1.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(A)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
2.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
3.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).

1．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
2．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型．

一、单选题
1．已知、分别表示随机事件A、B发生的概率，那么是下列哪个事件的概率（    ）
A．事件A、B同时发生 B．事件A、B至少有一个发生
C．事件A、B都不发生 D．事件A、B至多有一个发生
2．若，，，则事件与的关系是（    ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
3．某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为（   ）
A． B． C． D．
4．某军事训练模拟软件设定敌机的耐久度为100%，当耐久度降到0%及以下，就判定敌机被击落．对空导弹的威力描述如下：命中机头扣除敌机100%耐久度，命中其他部位扣除敌机60%耐久度．假设训练者使用对空导弹攻击敌人，其命中非机头部位的命中率为50%，命中机头部位的命中率为25%，未命中的概率为25%，则训练者恰能在发出第二发对空导弹之后成功击落敌机的概率为（    ）
A． B． C． D．
5．现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A、B两个封闭的盒子中，甲从盒子A中，乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子A中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中．按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的概率是（    ）
A． B． C． D．
6．某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（    ）
A． B． C． D．
7．2021年5月30日清晨5时01分，天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后，与中国空间站天和核心舱完成自主快速交接．如果下次执行空间站的任务由3名航天员承担，需要在3名女性航天员和3名男性航天员中选择，则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率为（    ）
A． B． C． D．
8．设，为随机事件，为事件出现的概率．下列阴影部分中能够表示的是（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球．记第一次取出的球的数字为，第二次取出的球的数字为．设，其中表示不超过的最大整数，如，，则（    ）
A．
B．
C．事件“”与“”互斥
D．事件“”与“”对立
10．某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中正确的是（    ）
A．
B．事件与事件相互独立
C．与和为
D．事件A与事件B互斥
11．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为
12．在一次歌唱比赛中，以下表格数据是5位评委给甲､乙两名选手评出的成绩（分数），则下列说法正确的是（    ）
甲
乙
87
90
96
91
86
90
86
92
87
95

A．甲选手成绩的极差大于乙选手成绩的极差
B．甲选手成绩的75%分位数小于乙选手成绩的75%分位数
C．从甲的5次成绩中任取2个，均大于甲的平均成绩的概率为
D．从乙的5次成绩中任取3个，事件“至多1个超过平均分”与事件“恰有2个超过平均分”是对立事件

三、填空题
13．为落实国务院提出的“双减”政策，某校在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣小组活动，其中有个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为2022年春节的吉祥物，2个兴趣小组各派一名成员将模型随机拋出，两人都希望能拋出虎的图案朝上，寓意虎虎生威.2人各抛一次，则在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为__________.
14．一个袋子中装有大小与质地均相同的个红球和个白球（），现从中任取两球，若取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率，则满足的所有有序数对为____________．
15．已知随机事件A、互相独立，且，，则_______．
16．古时候“五花”常指金菊花、木棉花、水仙花、火棘花、土牛花比喻的五种职业，“八门”则指巾、皮、彩、挂、平、团、调、聊这八种职业，现从这13种职业中任取两种职业，则这两种职业中至少有一种职业是“五花”的概率是___________

四、解答题
17．随着日益增长的市场需求，某公司最初设计的生产能力已不能满足生产的需求，公司新安装了A，B两条生产线．在生产线试运行阶段，为检测生产线生产的产品的合格率，对两条生产线生产的产品采取不同的方式进行检测．其中A生产线生产的产品分三次随机抽检，经统计，第一次抽取了30件产品，合格率为，第二次抽取了40件，合格率为，第三次抽取了30件产品，合格率为；对B生产线生产的产品随机抽取了100件，并测量了每件产品的某项指标值．经统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知产品的质量以该项指标值为衡量标准，且指标值时为合格产品．两条生产线之间生产的产品及各生产线上生产的产品合格与否相互独立．

(1)估计A，B两条生产线在试运行阶段产品的合格率．
(2)以（1）中的估计值为A，B两条生产线试运行阶段生产的产品的合格率．在A，B两条生产线生产的产品中各随机抽取2件产品，记合格产品的个数和为X．若其中至少有3件产品合格，则可判定两条生产线生产状况安全稳定．
（i）求；
（ii）求可判定两条生产线生产状况稳定的概率．
18．某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲､乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，抢答局获胜的概率为，且各局比赛相互独立.
(1)求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；
(2)已知乙最后晋级决赛，但不知甲､乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率.

一、单选题
1．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））由于发现新冠阳性感染者，2022年4月17日-23日芜湖市主城区实施静态管理，最终控制了疫情.初三、高三学生于27日返校复课，返校前需提供48小时核酸检测阴性证明.为配合核酸检测，我市从3名护士和2名医生中随机选取两位派往某社区检测点工作，则恰好选取一名医生和一名护士的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·模拟预测（理））商标是一种信息资源，具有传递信息的功能，同时是企业形象和信誉的集中表现，也是企业的无形资产，是一项重要的知识产权.如图为某企业的商标，其中正方形的边长等于大圆的半径，以正方形的4个顶点为圆心，以正方形边长的一半为半径分别作圆弧，阴影部分为这4段圆弧围成的封闭区域，现从大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（    ）

A． B． C． D．
3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（    ）.
A． B． C． D．
4．（2019·陕西·安康市教学研究室三模（理））中国古老的传统拼图游戏七巧板被誉为“东方魔板”.如图是一个用七巧板拼成的大正方形，②③④⑤⑦为等腰直角三角形，①是平行四边形，⑥是正方形，⑤的斜边端点为大正方形边的中点，其中有三块被涂了阴影，已知从大正方形内任取一点，该点取自阴影部分的概率为，则三块阴影部分的代号不可能是（    ）

A．①③⑤ B．①⑤⑥ C．②③⑦ D．③④⑦
5．（2022·山西·忻州一中模拟预测（文））齐国的大将田忌很喜欢赛马，他与齐威王进行赛马比赛，他们都各有上、中、下等马各一匹，每次各出一匹马比一场，比赛完三场（每个人的三匹马都出场一次）后至少赢两场的获胜．已知同等次的马，齐威王的要强于田忌的，但是不同等次的马，都是上等强于中等，中等强于下等，如果两人随机出马，比赛结束田忌获胜的概率为（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东潍坊·三模）某省新高考改革方案推行“”模式，要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、思想政治4门科目中任选2门．某学生各门功课均比较优异，因此决定按方案要求任意选择，则该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率为（    ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南·模拟预测（文））2022年2月冬奥会在北京召开，“三亿人参与冰雪运动”的愿景，正在亿万国人逐渐高涨的运动热情中走向现实.小明爱上了冰壶运动，在自己家附近的冰面上和父亲一起制作了简易冰壶场地，得分区是四个半径不等的同心圆，由内而外称为A，B，C，D.小明每次投掷都能使得冰壶进入得分区，若每次投掷后冰壶进入A，B，C，D区的概率分别为0.01，0.1，0.3，0.59，小明投掷两个冰壶，两次投掷互不影响，则有一个冰壶进入A或C区，另一个冰壶进入B或D区的概率为（    ）
A．1 B．0.2139 C．0.4278 D．0.1958
8．（2022·全国·模拟预测）邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，一般由主权国家发行．邮票的方寸空间，常体现一个国家或地区的历史、科技、经济、文化、风土人情、自然风貌等特色，这让邮票除了邮政价值之外还有收藏价值．小王就是一个集邮爱好者，收集了2021年发行的《辛丑年》邮票样式一和样式二各4张．若从中任意抽取3张，则至少有1张样式二的概率为（    ）

A． B． C． D．
9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））下面说法中正确的有（    ）
①在内任取一实数，则使的概率为；
②“类比平面三角形的性质，推测空间四面体的性质”为演绎推理；
③十进制数78转换成二进制数为；
④若一组数据的方差为10，则另一组数据的方差为11.
A．②③ B．②④ C．①③ D．①④
10．（2023·全国·模拟预测）为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
11．（2022·湖北·模拟预测）截止5月6日，全球不明原因儿童肝炎超300例.在对前期169例病例的研究发现，74例腺病毒检测阳性.其中20例新冠病毒检测阳性，19例腺病毒和新冠病毒均呈阳性，现从前期病例中随机抽取2例，记事件为“恰有1例新冠病毒阳性”，事件为“恰有1例腺病毒和新冠病毒均呈阳性”，下列说法错误的有：（    ）
A．事件的对立事件为“至多有1例新冠病毒阳性”
B．
C．事件与事件为互斥事件
D．事件与事件为独立事件
12．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）高中提倡学生假期培养阅读习惯，提高阅读能力，某班级统计了假期阅读中英两本书籍的时长，其频率分布如下：则下列说法正确的是（    ）
阅读时长天
7
6
5
4
中文书籍
0.5
0.3
0.1
0.1
英文书籍
0.4
0.3
0.2
0.1

A．从阅读的的平均时长来看，中文书籍比外文书籍更受欢迎
B．中、英文书籍阅读时长的第40百分位数都是6天
C．若将频率视为概率，小华阅读中文和英文两本书籍，则阅读总时长少于10天的概率为0.04
D．任选一本书籍，“阅读时长低于5天”与“阅读时长为高于6天”是对立事件

三、填空题
13．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快.若田忌事先打探到齐王第一场比赛会派出上等马，田忌为使自己获胜的概率最大，采取了相应的策略，则其获胜的概率最大为_________.
14．（2022·上海徐汇·二模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是______________．（结果用最简分数表示）
15．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）A､B两辆货车计划于同一时刻达到某一港口.已知在货车B准点的情况下，货车A晚点的概率为；而在货车A晚点的情况下，货车B准点的概率为.若货车A､B准点的概率相同，且货车到达该港口只有准点与晚点两种情况，则货车B晚点的概率为___________.
16．（2022·全国·模拟预测）2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.

四、解答题
17．（2022·云南师大附中模拟预测（理））某校组织“生物多样性”知识竞赛，甲、乙两名同学参加比赛，每一轮比赛，甲、乙各回答一道题，已知每道题得分为1~100的任意整数，60分及以上判定为合格.规定：在一轮比赛中，若两名参赛选手，一名合格一名不合格，记合格者为，不合格者为；若两名参赛选手，同时合格或同时不合格，记两名选手都是.在比赛前，甲、乙分别进行模拟练习.已知某次练习中，甲、乙分别回答了15道题，答题分数的茎叶图如图所示，甲、乙回答每道题得分不相互影响，并以该次练习甲、乙每道题的合格概率估计比赛时每道题的合格概率.

(1)分别求甲、乙两名同学比赛时每道题合格的概率；
(2)设2轮比赛中甲获得的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)若甲、乙两名同学共进行了10轮比赛，甲同学获得（，）个的概率为，当最大时，求.
18．（2022·全国·模拟预测（理））第六届遵义冬至羊肉粉旅游文化美食节于2021年12月18日至23日在凤凰山文化广场举办，本次活动旨在从地本产业特色，历史文化、消费习惯出发，打造商旅文体、吃住行娱尝试融合的消费场景，活动组委会随机邀请100位市民，均分为A、B两个评委组，分别对甲、乙两店羊肉粉进行品尝评分（满分100分，分数越高表示越受欢迎），A、B两组的评分结果如下：

(1)若以50名市民评分的平均值为作评判依据，甲、乙两店羊肉粉哪家更受欢迎？
(2)采用分层抽样的方法，从A组评分在区间[80，84）和[96，100]的市民中抽取5人，再从这5人中抽取2人对甲店羊肉粉的优缺点进行总结，求这两人的评分在同一区间的概率.


1．(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为 (　　)
A． B． C． D．
2.（2020•全国2卷）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
3．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 (　　)
A． B． C． D．
4．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．
5．（2021年全国高考乙卷数学（文））在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．(2021年高考全国乙卷理科)在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为 (　　)
A． B． C． D．
7．(2018全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则

A． B． C． D．

8．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 (　　)
(　　)
A． B． C． D．


1．【答案】D
【解析】表示随机事件、同时发生，所以就是事件、至多有一个发生.
故选：D
2．【答案】C
【解析】∵，∴，
∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.
故选：C
3．【答案】A
【解析】因为每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，
所以连续射击3次，至少命中两次的概率，
故选：A.
4．【答案】D
【解析】用分别表示命中机头，命中非头部位和未命中三个事件，则
又训练者每次是否击中敌机相互独立，利用独立事件乘法公式及互斥事件加法可得训练者恰能在发出第二发对空导弹之后成功击落敌机的概率：.
故选：D.
5．【答案】A
【解析】若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．
若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为，
则第一次取球后盒子A中有4个红球和3个白球，盒子B中有2个红球和3个白球，
第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为，
故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后，
盒子A有8个球的概率为，
同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，
盒子A中有8个球的概率为，所以两次取球后，
盒子A中恰有8个球的概率是．
故选:A．
6．【答案】D
【解析】没有买到中国疫苗的概率为，所以买到中国疫苗的概率为．
故选：D．
7．【答案】B
【解析】设“选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员”为事件M，则.
故选：B.
8．【答案】C
【解析】对于A，阴影部分表示，故A错误；
对于B，阴影部分表示，故B错误；
对于C，阴影部分表示，故C正确；
对于D，阴影部分表示，故D错误.
故选：C
9．【答案】AC
【解析】因为从中有放回的随机取两次，所以有种可能，有6种情况，
所以的情况共有，所以，因此选项A正确；
两次取球数字和为5有以下4种情况：，
所以，因此选项B正确；
当时，，所以事件“”与“”互斥，因此选项C正确；
当时，，但是当时，，所以事件“”与“”不是对立事件，
故选：AC
10．【答案】ABC
【解析】，
在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确
，故A正确

，故C正确
事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误.
故选：ABC
11．【答案】ACD
【解析】2个球都是红球的概率为，A正确；
“2个球不都是红球”与“2个球都是红球”为对立事件，
故2个球不都是红球的概率为，B错误；
2个球都不是红球的概率为，
所以至少有1个红球的概率为，C正确；
2个球中恰有1个红球的概率为，D正确.
故选：ACD
12．【答案】ABD
【解析】对于A选项，根据极差的概念，可知甲选手成绩的极差为，乙选手成绩的极差为.故A正确；
对于B选项，，则甲成绩的75%分位数是91，乙成绩的75%分位数是92.故B正确；
对于C选项，甲的平均成绩为，从甲的5次成绩中任取2次成绩样本空间
有，共10个样本点，
其中均大于甲的平均成绩的样本点只有1个为，故所求概率为，故C错误.
对于D选项，乙的平均成绩为，抽到不超过平均分的个数为0，1，2，
所以事件“至多1个超过平均分”与事件“恰有2个超过平均分”是对立事件，故D正确；
故选：ABD.
13．【答案】
【解析】设第一人抛出虎的图案的事件为A事件，第二人抛出虎的图案的事件为事件，
则，，
所以，
即在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为.
故答案为：
14．【答案】
【解析】由题意，取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率等于，即，即，
所以，整理得，即为平方数.
又，，故，或.
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得不合题意，
故或
故答案为：
15．【答案】0.42
【解析】因为，所以，所以.
故答案为：0.42
16．【答案】
【解析】从这13种职业中任取两种职业有种不同的选法.
这两种职业都是“八门”的，所以这两种职业中至少有一种职业是“五花”的概率是
故答案为：
17．【答案】(1)，；(2)（i）；（ii）.
【解析】（1）设A，B两条生产线在试运行阶段产品的合格率分别为，，
，
由直方图得：，解得，
．
（2）由题意知，试运行阶段A，B两条生产线生产的产品的合格率分别为，，
（i）．
（ii）记事件C表示：可判定两条生产线生产状况稳定．
．
18．【答案】(1)(2)
【解析】(1)设甲至多经过两局比赛晋级决赛为事件A，则甲第一局获胜或第一局平局第二局获胜，
则.
(2)记乙恰好经过一局、两局、三局比赛晋级决赛分别为事件B、C、D，
则，
，
，
故在乙最后晋级决赛的前提下，
乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率为.


1．【答案】D
【解析】记3名护士为cde，2名医生为AB，两个检测点分别为：AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de共10个基本事件，其中恰好选取一名医生和一名护士有Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be 共6种，所以概率为
故选：D
2．【答案】A
【解析】由题意，设大圆的半径为2，则正方形的边长为，可得以正方形的顶点为圆心的圆的半径为，
可得阴影部分的面积为，大圆的面积为，
根据面积比的几何概型，可得该点取自阴影部分的概率为.
故选：A.
3．【答案】B
【解析】从早上7点开始计时，设甲经过十分钟到达，乙经过十分钟到达，
则、满足，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形，
若甲乙能够见面，则、满足，
该不等式对应的平面区域是图中的四边形，
，
因此，甲乙能见面的概率
故选：B．

4．【答案】A
【解析】设大正方形的边长为2，其面积，设①②③④⑤⑥⑦的面积分别为，，，，，，，其中易得，，，
，则①③⑤的面积和为，①⑤⑥、②③⑦、③④⑦的面积和均为，
故选：A.
5．【答案】D
【解析】将齐威王的上、中、下等马分别记为，，，田忌的上、中、下等马分别记为，，，则他们比赛的情况如下：
齐威王的马



胜者
田忌的马



齐威王
田忌的马



齐威王
田忌的马



齐威王
田忌的马



齐威王
田忌的马



田忌
田忌的马



齐威王

由上表可知，只有齐威王的马对田忌的马这种情况，田忌获胜，所以田忌获胜的概率．
故选：D
6．【答案】D
【解析】由题设，该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率.
故选：D
7．【答案】C
【解析】投掷一个冰壶进入A或C区的概率为
投掷一个冰壶进入B或D区的概率为
小明投掷两个冰壶，则有一个冰壶进入A或C区，另一个冰壶进入B或D区的概率为
故选：C
8．【答案】C
【解析】法一：任意抽取3张，
其中有1张样式二的概率，
其中有2张样式二的概率，
其中有3张样式二的概率，
所以至少有1张样式二的概率．
法二：任意抽取3张，
全部都是样式一的概率为，
所以至少有1张样式二的概率为．
故选：C．
9．【答案】C
【解析】对于①：在内，解不等式得：，所以在内任取一实数，则使的概率为.故①正确；
对于②：“类比平面三角形的性质，推测空间四面体的性质”为类比推理.故②错误；
对于③：把十进制数78转换成二进制数，利用“除取余法”，

得到.故③正确；
对于④：根据方差的性质，若一组数据的方差为10，则另一组数据的方差也为10.故④错误.
故选：C
10．【答案】D
【解析】因为每所高校至少对接两家用人单位，
所以每所高校共有种选择，
所以甲、乙两所高校共有种选择，
其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有种，
所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为，
故选：D
11．【答案】ACD
【解析】由题可知事件的对立事件为“没有新冠病毒阳性或恰有2例新冠病毒阳性”，故A错误；
由条件概率公式可得，故B正确；
由题可知事件与事件可以同时发生，故C错误；
由题可知事件与事件相互影响，故D错误.
故选：ACD.
12．【答案】ABC
【解析】中文书籍的阅读时长平均值为天，英文书籍的阅读时长平均值为天，所以中文书籍比英文书籍更受欢迎，选项A正确；
因为中文书籍阅读时长小于等于5的频率为0.2，小于等于6的频率为0.5，所以第40百分位数为6天，英文书籍阅读时长小于等于5的频率为0.3，小于等于6的频率为0.6，所以第40百分位数为6天，故中、英文书籍阅读时长的第40百分位数均为6天，选项B正确；
阅读时长少于10天，则中、英文书籍的时间可以为(4，4)，(4，5)和(5，4)三种情况，阅读总时长少于10天的概率，选项C正确；
对于D：“阅读时长低于5天”指阅读时长为4天，“阅读时长为高于6天”指阅读时长为为7天，所以“阅读时长少于5天”与“阅读时长为高于6天”是互斥而不对立事件，选项D错误．
故选：ABC.
13．【答案】
【解析】设齐王有上、中、下三等的三匹马、、，田忌有上、中、下三等的三匹马、、，
所有比赛的方式有：、、；、、；、、；、、；、、；、、，一共种.
若齐王第一场比赛派上等马，则第一场比赛田忌必输，此时他应先派下等马参加.
就会出现两种比赛方式：、、和、、，其中田忌能获胜的为、、，
故此时田忌获胜的概率最大为.
故答案为：.
14．【答案】
【解析】4个人分配到4个学校的情况总数为种，4个人恰好分配到4个学校的情况为种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.
故答案为：.
15．【答案】
【解析】设A晚点为事件X，B准点为事件Y，因为，所以.
由条件概率公式得，，
因此，可以求解得到，因此B晚点的概率为.
故答案为：
16．【答案】
【解析】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率.
同理，丙购买不到冰墩墩的概率.
所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率.
故答案为：.
17．【答案】(1)甲的合格率为，乙的合格率为；(2)分布列见解析，；(3)当时，最大
【解析】（1）根据茎叶图知，15道题中甲同学合格了5个题，乙同学合格了6个题，
所以甲同学合格的概率为，乙同学合格的概率为.
（2）设一轮比赛中，甲同学获得的个数为，则的可能取值为0，1，
则
由于甲同学2轮比赛可能获得的个数为0，1，2，
故的可能取值为0，1，2，
所以


的分布列为

0
1
2






（3）设10轮比赛中，甲同学获得的个数为，则，
则 (且)．
由于，
因为随着的增大而增大，
所以时，，则有；
时，，则有，
故当时，最大．
18．【答案】(1)甲店羊肉粉受欢迎；(2).
【解析】（1）组的平均得分，
B组的平均得分，
由平均分可知，甲店羊肉粉受欢迎.
（2）A组评分在区间[80，84）和[96，100]的市民分别为人，人，
故由分层抽样抽取评分在区间[80，84）的有2人，分别记为，评分在区间[96，100]的有3人，分别记为,随机抽取2人的基本事件为，，,共10个基本事件，其中两人的评分在同一区间的有4个，故这两人的评分在同一区间的概率.




1．【答案】C
【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为．故选：C．
2.【答案】36
【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
3．【答案】C
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种选法，故概率，故选C．
4．【答案】
【解析】因为甲队以4：1获胜，故一共进行5场比赛，且第5场为甲胜，前面4场比赛甲输一场，
若第1场或第2场输1场，则，
若第3场或第4场输1场，则，
所以甲以4：1获胜的概率是．
5．【答案】B
【解析】设“区间随机取1个数” ，
“取到的数小于”，所以．
6．【解析】如图所示：
设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．
设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．
7．【答案】C
【解析】解法一： 设直角三角形的内角，，所对的边分别为，，，则区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积
，所以，由几何概型的知识知，故选A．
解法二：不妨设为等腰直角三角形，，则，所以区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积
，区域Ⅲ的面积．
根据几何概型的概率计算公式，得，，所以，
，，故选A．

8．【答案】 B
【解析】设正方形边长为,则圆的半径为,则正方形的面积为,圆的面积为．由图形的对称性可知,太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得,此点取自黑色部分的概率是,选B．
秒杀解析:由题意可知,此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例,由图可知其概率,故选B．