考向21数列综合运用（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

这是一份考向21数列综合运用（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版），共24页。试卷主要包含了已知数列满足，，则，数列与不等式的综合问题等内容，欢迎下载使用。

考向21 数列综合运用

1.（2022年乙卷理科第4题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列:
，，，，以此类推，其中
其中 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】：由已知，，，，故；同理可得,
，又因为，故；于是得，排除A，
，故，排除C，而，排除B.故选择D.
方法二：（取特殊值）取，于是有，，，，，
分子分母分别构成斐波那契数列，于是有，，，.
于是得，，.对比选项，选D.
2.（2022浙江卷第10题）已知数列满足，，则
A． B．
C． 　　D．
【答案】B
【解析】，则数列单调递减，.由，，累加得，得，得又根据得，所以，累加得，
得，
.
3．（2021年上海卷第12题）已知函数对于任意，和中有且只有一个成立，求的最小值 .
【答案】31
【解析】由题意得，①当时，若，则.
若想前9项和最小，则可取，，，，，，
满足题意，此时；
②当时，若成立，
若想前9项和最小，则可取，，，，，，，
此时.
综上可得：的最小值为
4．（2021年浙江卷第120题）已知数列满足，记数列的前项和为，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】显然，由知，
又由得：，
，

．故选A．
5.（2021年新高考1卷第17题）17．（10分）
已知数列满足，.
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前项和．
【答案】（1），，；（2）．
【解析】（1）由已知，，，，，
数列的奇数项构成以为首项，为公差的等差数列，
所以当为奇数时，，
数列的偶数项构成以为首项，为公差的等差数列，
所以，而，所以，，
，所以.
（2）由（1）知：的前项和

，所以的前项和为.


1.公式法求和中的常用公式有
(1)等差、等比数列的前n项和
①等差数列：Sn＝na1＋d(d为公差)或Sn＝.
②等比数列：Sn＝其中q为公比．
(2)四类特殊数列的前n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.
2.解决数列与数学文化相交汇问题的关键
一是读懂题意，即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、公差(或公比)、项数、通项公式或前n项和等．　

3.数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
4.数列与不等式的综合问题
(1)判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．
(2)以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．
(3)考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可以通过构造函数进行证明．　

1.等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋4S2＝0，则公比q＝(　　)
A．－1　　 B．1 C．－2 D．2
2.中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问丙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人，所分钱数为等差数列，甲、乙两人共分77文，戊、己、庚三人共分75文，则丙、丁两人各分多少文钱？则下列说法正确的是(　　)
A．丙分34文，丁分31文 B．丙分37文，丁分40文
C．丙分40文，丁分37文 D．丙分31文，丁分34文
3.在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为(　　)
A．1　　　　 B．2 C．3 D．5
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，a6和a8是函数f(x)＝ln x＋x2－8x的极值点，则S8＝(　　)
A．－38 B．38 C．－17 D．17
5.已知数列{an}是公比不等于1的正项等比数列，且lg a1＋lg a2 021＝0，若函数f(x)＝，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 021)＝(　　)
A．2 020 B．4 040 C．2 021 D．4 042
6.已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝ 3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　)
A．Sn＝2Tn　　　 B．Tn ＝2bn＋1 C．Tn＞an D．Tn＜bn＋1
7.(多选)已知数列{an}满足2an≤an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则(　　)
A．a5≥4a2－3a1 B．a2＋a7≤a3＋a6 C．3(a7－a6)≥a6－a3 D．a2＋a3≥a6＋a7
8.(多选)已知各项均为正数的等比数列{an}，a1＞1，0＜q＜1，其前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　)
A．数列{ln an}为等差数列 B．若Sn＝Aqn＋B，则A＋B＝0
C．SnS3n＝S D．记Tn＝a1a2·…·an，则数列{Tn}有最大值
9．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝________．
10.数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则Sn＝________．
11．等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝48，a5＝28，若Sn＋30＞nλ对任意n∈N*恒成立，则λ的取值范围为________．
12．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)等差数列{bn}的各项为正数，其前n项和为Tn且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
13．给定一个数列{an}，在这个数列中，任取m(m≥3，m∈N*)项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3阶子数列．
(1)求a的值；
(2)设等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m(m≥3，m∈N*)阶子数列，且b1＝(k为常数，k∈N*，k≥2)，求证：m≤k＋1.

1．（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（    ）
A． B．7 C．13 D．26
2．（2021·海南海口·模拟预测）随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到（    ）
A．2022年12月 B．2023年2月 C．2023年4月 D．2023年6月
3．（2019·广东江门·一模（理））根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）．据此预测，本年度内，需求量超过万件的月份是
A．5月、6月 B．6月、7月 C．7月、8月 D．8月、9月
4．（2022·四川凉山·二模（文））在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为，则下列结论正确的是（    ）（参考数据：，）
①
②
③2020年小王的年利润约为40000元
④两年后，小王手中现款约达41万
A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③
5．（2022·湖南·一模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（    ）
A．35 B．42 C．49 D．56
6．（2019·浙江·二模）已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是
A． B． C． D．
7．（2019·河南鹤壁·高考模拟（理））设数列的前项和为，，且，若，则的最大值为
A． B． C． D．
8．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004，则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，计算结果取整数）
A．选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息为289200元
B．选择方式②，小张每月还款额为3800元
C．选择方式②，小张总利息为333840元
D．从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①
9．（2020·江苏镇江·三模）中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．意思是把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次排列分绵，每个弟弟都比前面的哥哥多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵的斤数为__________．
10．（2020·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药__________（填“会”或者“不会”）对人体产生副作用.
11．（2021·全国·模拟预测）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数（注：对于的传染病，要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染者）的总人数为______（注：初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）
12．（2021·河南郑州·三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，对任意的正整数n，都有，则a的最小值为__________．
13．（2022·上海·模拟预测）流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
（1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.
14．（2021·上海杨浦·二模）已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：①；②  .记数列的前项积为 .
（1）若，求；
（2）是否存在，使得成等差数列？若存在，请写出一组;若不存在，请说明理由；
（3）若，求的最大值.

1．（2020全国Ⅱ理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板（不含天心石） （ ）
A．块 B．块 C．块 D．块
2．（2017•新课标Ⅱ，理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯　　
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
3．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B． C． D．
4.（2020浙江7）已知等差数列的前项和，公差．
记，下列等式不可能成立的是 （ ）
A． B． C． D．
5．(2018浙江)已知，，，成等比数列，且．若，则
A．， B．，
C．， D．，
6.（2020北京8）在等差数列{}中，，，记，则数列{}（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
7．（2015·江苏高考真题）数列满足，且（），则数列的前10项和为_______．
8．（2013·全国高考真题（理））等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．
9．（2019•新课标Ⅰ，文18）记为等差数列的前项和，已知．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的的取值范围．
10．（2014新课标Ⅱ，理17）已知数列满足=1，．
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）证明：．
11．（2016年天津高考）已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等差中项．
(Ⅰ)设，求证：数列是等差数列；
(Ⅱ)设 ，求证：


1.【答案】C
【解析】选C.方法一：因为a3＋4S2＝0，所以a1q2＋4a1＋4a1q＝0，因为a1≠0，所以q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2，故选C.
方法二：因为a3＋4S2＝0，所以a2q＋＋4a2＝0，因为a2≠0，所以q＋＋4＝0，即(q＋2)2＝0，所以q＝－2，故选C.
2.【答案】A
【解析】(1)方法一：设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数依次是a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，且成等差数列，设公差为d，根据题意可得即解得所以丙分得a3＝a1＋2d＝34(文)，丁分得a4＝a1＋3d＝31(文)，故选A.
方法二：依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a－3d，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，a＋3d，则解得所以丙分得a－d＝34(文)，丁分得a＝31(文)，故选A.
3.【答案】C
【解析】　(1)方法一：因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)·(a9＋a11)，故a9＋a11＝＝＝2.
同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，
所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，故a13＋a15＝＝＝1.
所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.
方法二：设等比数列{an}的公比为q，
则a5＝a1q4，a7＝a3q4，所以q4＝＝＝.又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8×＝2，
a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8×＝1，所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.
4．【答案】A
【解析】因为f(x)＝ln x＋x2－8x，
所以f′(x)＝＋x－8＝＝，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝.
又a6和a8是函数f(x)的极值点，且公差d>0，所以a6＝，a8＝，
所以解得
所以S8＝8a1＋×d＝－38，故选A.
5.【答案】C
【解析】因为数列{an}是公比不等于1的正项等比数列，且lg a1＋lg a2 021＝0，所以lg(a1·a2 021)＝0，即a1·a2 021＝1. 因为函数f(x)＝，所以f(x)＋f＝＋＝＝2，所以f(a1)＋f(a2 021)＝2. 令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 021)．则T＝f(a2 021)＋f(a2 020)＋…＋f(a1)．所以2T＝f(a1)＋f(a2 021)＋f(a2)＋f(a2 020)＋…＋f(a2 021)＋f(a1)＝2×2 021，所以T＝2 021.故选C.
6.【答案】D
【解析】因为点(n，Sn＋3)在函数y＝3×2x的图象上，所以Sn＋3＝3×2n，即Sn＝3×2n－3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3×2n－3－(3×2n－1－3)＝3×2n－1，
又当n＝1时，a1＝S1＝3适合上式，所以an＝3×2n－1.
设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，可得b1＝1，q＝2，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
由等比数列前n项和公式可得Tn＝2n－1.
结合选项可知，只有D正确．
7.【答案】AC
【解析】由2an≤an－1＋an＋1(n≥2)，可得an－an－1≤an＋1－an，所以有a2－a1≤a3－a2≤…≤an＋1－an，所以a5－a4＋a4－a3＋a3－a2≥3(a2－a1)，化简得a5≥4a2－3a1，故选项A正确；由a 7－a 6≥a3－a2可得a7＋a2≥a6＋a3，故选项B错误；由3(a7－a6)≥a6－a5＋a5－a4＋a4－a3＝a6－a3，故可知选项C正确；若an＝n，满足2an ≤an－1＋an＋1(n≥2)，但a2＋a3＝5＜a6＋a7＝13，所以选项D错误．故选AC.
8.【答案】ABD
【解析】由题意可知，an＝a1qn－1，Sn＝.对于A，ln an＝ln a1qn－1＝ln a1＋(n－1)ln q, ln an＋1＝ln a1qn＝ln a1＋nln q，所以ln an＋1－ln an＝ln q，所以{ln an}为等差数列，所以A正确．对于B，Sn＝＝qn＋，又Sn＝Aqn＋B，所以A＋B＝－＋＝0，所以B正确．对于C，由题意，得SnS3n＝·＝，S＝，显然SnS3n≠S，所以C错误．对于D，因为在等比数列{an}中，a1＞0，0＜q＜1，所以数列{an}为单调递减数列，所以存在从某一项开始使得ak＝a1qk－1∈(0，1)，所以在数列{Tn}中，Tk－1＝a1a2·…·ak－1为最大值，所以D正确，故选ABD.
9．【答案】32
【解析】由－＝0可得an＋1＝an，故{an}是公比为的等比数列，故{}是公比为的等比数列，则{bn}是公比为2的等比数列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)25＝32.
10.【答案】
【解析】　由Hn＝＝2n，
得a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，①
当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)2n－1，②
由①－②得2n－1an＝n·2n－(n－1)2n－1＝(n＋1)2n－1，即an＝n＋1(n≥2)，
当n＝1时，a1＝2也满足式子an＝n＋1，
所以数列{an}的通项公式为an＝n＋1，
所以Sn＝＝.
11．【答案】(－∞，30)
【解析】由题意得a2＋a4＝a5＋a1＝48，因为a5＝28，
所以a1＝20，则d＝＝＝2，所以Sn＝20n＋×2＝n(n＋19)，
由n(n＋19)＋30＞nλ得λ＜＝n＋＋19，
由函数f(x)＝x＋＋19的单调性及f(5)＝f(6)＝30知，
当n＝5或n＝6时，n＋＋19取最小值30，故λ ＜30.
12．【解析】(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减，得an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)．
又因为a2＝2S1＋1＝3，
所以a2＝3a1.
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
所以an＝3n－1.
(2)设{bn}的公差为d，
由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，
故可设b1＝5－d，b3＝5＋d.
又a1＝1，a2＝3，a3＝9，
由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2.
解得d1＝2，d2＝－10.
因为等差数列{bn}的各项为正数，
所以d＞0，所以d＝2.
Tn＝3n＋×2＝n2＋2n.
13．【解析】(1)因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2－a3＝a3－a6.
又因为a2＝，a3＝，a6＝，所以－＝－，解得a＝0.
(2)证明：设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d.
因为b1＝，所以b2≤，从而d＝b2－b1≤－＝－.
所以bm＝b1＋(m－1)d≤－.
又因为bm＞0，所以－＞0.即m－1＜k＋1，所以m＜k＋2.
又因为m，k∈N*，所以m≤k＋1.

1．【答案】C
【解析】由题意知：这个人原来持金为斤，
第1关收税金为：斤；第2关收税金为斤；
第3关收税金为斤，
以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤，
所以，
即，解得，
又由，所以.
2．【答案】B
【解析】每个月开通基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，
设预计我国累计开通500万个基站需要个月，则，
化简整理得，，解得或（舍负），
所以预计我国累计开通500万个基站需要25个月，也就是到2023年2月.
3．【答案】C
【解析】日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）,则第个月的需求量为，
4．【答案】A
【解析】对于①选项，元，故①错误
对于②选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故②正确；
对于③选项，由得
所以数列是首项为公比为1.2的等比数列，
所以，即
所以2020年小王的年利润为元，故③正确；
对于④选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故④正确.
5．【答案】B
【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为：，
∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，
由，故得，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，
6．【答案】A
【解析】由单调递增，可得，
由，可得，所以.
时，可得.①
时，可得，即.②
若，②式不成立，不合题意；
若，②式等价为，与①式矛盾，不合题意.
排除B,C,D,故选A.
7．【答案】A
【解析】，，
是以为公比的等比数列，
，

当n为偶数时，无解，当n为奇数时，，
，又，，即，
即，又n为奇数，故n的最大值为
8．【答案】ACD
【解析】对于A，由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，表示数列的前项和，则，，
则，
故小张该笔贷款的总利息为（元），故A正确.
对于B，设小张每月还款额为元，
则，
所以，
即，故B错误.
对于C，小张采取等额本息贷款方式的总利息为（元），故C正确.对于D，因为，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①，故D正确.
9．【答案】184
【解析】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成以第8个儿子分到的绵的斤数为首项，公差为d=-17的等差数列，
其中 n=8，S8=996,
所以，
解得a1=184，
故答案为：184
10．【答案】不会
【解析】由题意第一次服药后，经过12小时后，体内药物含量，经过24小时后，体内药物含量，以此类推，一次服药后体内药物含量构成以为公比的等比数列，即，
所以第次服药后，体内药物的含量为：

，
当时，药在体内的含量无限接近1000，该药在人体内含量不超过1000毫克，不会产生副作用.
11．【答案】1092
【解析】由题意：所以第六轮的传染人数为
所以前六轮被传染的人数为.故答案为：1092
12．【答案】2．
【解析】设第个图形中新出现的等边三角形的边长为，则当时，，
设第个图形中新增加的等边三角形的个数为，则当时，，
故，其中，
由累加法可得
，
时，也符合该式，故，
故对任意的恒成立，故即a的最小值为2.
13．【答案】（1）人；（2）11月13日新感染者人数最多为630人.
【解析】（1）记11月日新感染者人数为，
则数列是等差数列，，公差为，
又，
则11月1日至11月10日新感染者总人数为：
人；
（2）记11月日新感染者人数为，
11月日新感染者人数最多，当时，.
当时，，
因为这30天内的新感染者总人数为11940人，
所以，
得，即
解得或(舍)，
此时
所以11月13日新感染者人数最多为630人.
14．（2021·上海杨浦·二模）已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：①；②  .记数列的前项积为 .
（1）若，求；
（2）是否存在，使得成等差数列？若存在，请写出一组;若不存在，请说明理由；
（3）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）.
【解析】（1），，
                
∴                                 
（2）不存在，假设存在，设公差为    
若，则，公差，矛盾；
若，则，公差，矛盾.
∴假设不成立，故不存在.
（3）由题意， 且   
设，，
得，进一步得
显然的值从大到小依次为       
（ⅰ）若，则，则不可能     
（ⅱ）若，则或，
则或不可能             
（ⅲ）若，则，则不可能    
∴（当或取得）
从而，
∴.
∴    

（当：取得）                        
  又 ，∴


1．【答案】C
【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即，即，解得，所以，故选C．
2．【答案】B
【解析】设塔顶的盏灯，由题意是公比为2的等比数列，，解得，故选．
3．【答案】D
【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率为，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为，公比为的等比数列，记为，则第八个单音频率为，故选D．
4.【答案】B
【解析】A．由等差数列的性质可知，成立；
B．，，，
若，则，
即，这与已知矛盾，故B不成立；
C． ，整理为：，故C成立；
D．，当时，即，整理为，即，，方程有解，故D成立．综上可知，等式不可能成立的是B，故选B．
5．【答案】B
【解析】 因为()，所以
，所以，又，所以等比数列的公比．
若，则，
而，所以，
与矛盾，
所以，所以，，
所以，，故选B．
6.【答案】A
【解析】设公差为d，a5-a1=4d，即d=2，an=2n-11，1≤n≤5使，an＜0，n≥6时，an＞0，所以n=4时，Tn＞0，并且取最大值；n=5时，Tn＜0；n≥6时，Tn＜0，并且当n越来越大时，Tn越来越小，所以Tn无最小项．故选A．
7．【答案】
【解析】∵数列满足，且（），
∴当n≥2时，．
当n=1时，上式也成立，∴．∴．
∴数列的前n项的和
∴数列的前10项的和为
8．【答案】－49
【解析】由条件得nSn＝，对f(x)＝求导可得f(x)在上递减，在上递增，分别计算n＝6和n＝7可得，当n＝7时nSn＝最小为－49.
9．【解析】（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，
若，则，变形可得，即，
若，则，则，
（2）若，则，
当时，不等式成立，
当时，有，变形可得，
又由，即，则有，即，则有，
又由，则有，
则有，
综合可得：，．
10．【解析】（Ⅰ）∵，∴，即：
又，∴是以为首项，3为公比的等比数列．
∴，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴
∴
故：
11．【解析】(Ⅰ)由题意得，有，
因此，所以数列是等差数列．
(Ⅱ)
．
所以．