考向10函数与导数（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

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考向10 函数与导数

1.【2022年全国甲卷第6题】6．当时，函数取得最大值，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，由条件，得，所以，即，
所以．故选B.
2.【2022年乙卷文科第11题】11.函数在区间的最小值、最大值分别为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，当时，；当时，；当时，.所以，;.又，所以;.故选.
3.【2022年新高考1卷第10题】10. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，
故D错误.
故选：AC
4．【2022年新高考1卷第12题】12. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
5. 【2022年新高考2卷第14题】写出曲线过坐标原点的切线方程：____________，____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】 因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
6.【2022年新高考1卷第15题】若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】易得曲线不过原点，设切点为，则切线斜率为：
．可得切线方程为，又切线过原点，可得，化简得（※），又切线有两条，即※方程有两不等实根，由判别式，得，或．
7.【2022年乙卷理科第16题】已知和分别是函数的极小值点和极大值点，若，则的取值范围是___________
【答案】
【解析】至少要有两个零点和，我们对其求导，，
（1） 若，则在R上单调递增，此时若，则在上单调
递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数的极小值点和极大值点，则，不符合题意。
（2） 若，则在R上单调递减，此时若，则在上
单调递增，在上单调递减，且。此时若有和分别是函数的极小值点和极大值点，且，则需满足，即，可解得或，由于，取交集即得。

1.求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法
（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；
（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．
（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.
②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．
2．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求f ′(x)；
（2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号；
（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
5．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法
（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
6．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.

易错点1：导数与函数的单调性
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
易错点2：导数与函数的极（最）值
求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
易错点3：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚

讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论．



一、单选题
1．曲线在处的切线方程是（       ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的导函数为，且满足，则（       ）
A． B． C．1 D．
3．曲线在处的切线方程为（       ）
A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0
C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0
4．函数的单调递减区间为（       ）
A． B． C． D．
5．已知函数，设，，，则（       ）
A． B． C． D．
6．已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（       ）
A． B．
C． D．
7．若函数，g(x)=对任意的，不等式恒成立，则整数m的最小值为（       ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
8．已知函数，若有且仅有两个正整数，使得成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知抛物线在处的切线过点，则该抛物线的焦点坐标为________．
10．已知，函数的图象在处的切线方程为 _____．
11．若函数有两个零点，则的取值范围为______．
12．关于函数，有下列4个结论：
①函数的图象关于点中心对称；             ②函数无零点；
③曲线的切线斜率的取值范围为       ④曲线的切线都不过点
其中错误结论为______．


一、单选题
1．（2022·海南海口·二模）在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（       ）（参考数据：，）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．（2022·全国·模拟预测（理））血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．当人体长时间处于高原、高空或深海环境中，容易引发血氧饱和度降低，产生缺氧症状，此时就需要增加氧气吸入量．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度（单位：%）随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为76．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（       ）（结果精确到0.1，，，）
A．0.4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.7小时
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数（k，n为正奇数），是的导函数，则（       ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江苏苏州·模拟预测）若x，，，则（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数，，若，则下列说法正确的是（       ）
A．当时，有2个零点
B．当时，恒在的上方
C．若在上单调递增，则
D．若在有2个极值点，则

6．（2022·全国·模拟预测）已知，则（       ）
A．的定义域是
B．若直线和的图像有交点，则
C．
D．
三、填空题
7．（2022·山东·烟台二中模拟预测）请写出一个定义在R上的函数，其图象关于y轴对称，无最小值，且最大值为2．其解析式可以为______．
8．（2022·河北邯郸·二模）已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝___．
9．已知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数a的取值范围是________．
10．（2022·上海·模拟预测）设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为___________.
四、解答题
11．（2022·全国·模拟预测（理））对于区间，，，，其中，统一将称为这四类区间的长度．已知函数（e为自然对数的底数）．
(1)当时，求在区间上的值域的区间长度；
(2)若在区间上单调递增，那么时，值域的区间的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
12．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知定义域为的函数.当时，若（，）是增函数，则称是一个“函数”.
(1)判断函数（）是否为函数，并说明理由；
(2)若定义域为的函数满足，解关于的不等式；
(3)设是满足下列条件的定义域为的函数组成的集合：①对任意，都是函数；②，. 若对一切和所有成立，求实数的最大值.


一、选择题
1．(2021年高考全国乙卷理科)设，若为函数的极大值点，则 (　　)
AB．C．D．
2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数的图像在点处的切线方程为 (　　)
A． B． C． D．
3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为 (　　)
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线在点处的切线方程为，则(　　)
A． B． C． D．
5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 (　　)
A． B． C． D．
6．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若是函数的极值点，则的极小值为 (　　)
A． B． C． D．1
7．(2015高考数学新课标2理科)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 (　　)
A． B．
C． D．
8．(2015高考数学新课标1理科)设函数,其中，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是 (　　)
A．B．C．D．
9．(2014高考数学课标2理科)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
A．0 B．1 C．2 D．3
10．(2014高考数学课标1理科)已知函数=,若存在唯一的零点,且>0,则的取值范围为(　　)
A．(2,+∞) B．(-∞,-2) C．(1,+∞) D．(-∞,-1)
11．(2013高考数学新课标2理科)已知函数，下列结论中错误的是(　　)
A．
B．函数的图象是中心对称图形
C．若是的极小值点，则在区间上单调递减
D．若是的极值点，则
12．(2013高考数学新课标1理科)已知函数=，若||≥，则的取值范围是 (　　)
A． B． C．[-2,1] D．[-2,0]
二、填空题
13．(2021年高考全国甲卷理科)曲线在点处的切线方程为__________．
14．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)曲线在点处的切线方程为 ．
15．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)曲线在点处的切线的斜率为，则 ．
16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)曲线在点处的切线方程为__________．
17．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数,则的最小值是 ．
18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点,,,分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后,分别以为折痕折起,,,使得重合,得到三棱锥．当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为__________．

19．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为偶函数,当时,,,则曲线在点处的切线方程是_______________.
20．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．




1．【答案】D
【解析】，则，当时，，，
所以切线方程为，即．
故选：D．
2．【答案】B
【解析】由题意，函数，可得，
所以，则．故选：B.
3．【答案】B
【解析】因为，所以，所以．
又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．
故选：B.
4．【答案】B
【解析】的定义域为
解不等式，可得，
故函数的递减区间为.故选：B．
5．【答案】A
【解析】，定义域为，
，所以是偶函数，
，令，则，
所以在上单调递增，，
即在上，单调递增，
因为，，
所以，即，
故选：A
6．【答案】C
【解析】，则，则函数为奇函数，排除BD；
，排除A；
故选：C.
7．【答案】A
【解析】因为单调递增，，所以，即，
原不等式恒成立可化为恒成立，
即时，恒成立，
即函数在上为增函数，
所以在上恒成立，
即，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，函数的最大值为，
即恒成立，由知，整数m的最小值为2.
故选：A
8．【解析】由且，得，设，，
，已知函数在（0，2）上单调递增，在上单调递减，
函数的图象过点，，，，结合图象，因为，所以．

故选：C
9．【答案】
【解析】由题意得：由可得，求导可得，故切线斜率为
故切线方程为
又因为该切线过点，所以，解得
抛物线方程为，焦点坐标为．
故答案为：
10．【答案】
【解析】由得， 所以在处的切线的斜率为，
又，故切点坐标，所以所求的切线方程为，即，
故答案为：．
11．【答案】
【解析】因为有两个零点，即有两个零点⇒有两个解，即y＝与y＝的图象有两个交点，令（x∈R），则，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以，又因当时，＝＜0，
当时，＝＞0，当时，＝＝0，


要使y＝与y＝的图象有两个交点，所以0＜＜，即的取值范围为．
故答案为：．
12．【答案】②③
【解析】由已知： ，故①正确；
由，（或）知函数在内有零点，故②不正确；
由且当且仅当取等号知：的值域为，故③错误；
若曲线存在过点的切线，设切点为，则由导数的几何意义与斜率公式得：，化简得：，令，则，当时，，当时，，故，所以函数无零点，因此方程无实数解，假设不成立，故④正确.
综上，错误结论为：②③.
故答案为： ②③.


1．【答案】B
【解析】由题意知，，令，得，取以10为底的对数得，所以．
故选：B.
2．【答案】D
【解析】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选： D
3．【解析】因为，
所以，
所以，
则，
其中，
所以，所以；故选：D
4．【答案】C
【解析】设，则（不恒为零），
故在上为增函数，故，
所以，故在上恒成立，
所以，
但为上为增函数，故即，
所以C成立，D错误.
取，考虑的解，
若，则，矛盾，
故即，此时，故B错误.
取，考虑，
若，则，矛盾，
故，此时，此时，故A错误，故选：C.
5．【答案】BC
【解析】对于选项A，当时，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，即没有零点，所以A选项错误；
对于选项B，当时，，则，所以在上单调递增，且，即，所以B选项正确；
对于选项C，易知，当时，因为，，则，所以在上单调递增，符合要求；当时，则当时，，此时，所以在上单调递减，不符合要求，所以C选项正确；
对于选项D，当时，在上恒成立，所以函数在单调递增，所以函数在不存在极值点，
当时，在上恒成立，所以函数在单调递增，所以函数在不存在极值点，时单调递增，即函数在至多存在一个极值点，所以D选项错误.故选：BC．
6．【答案】AC
【解析】A：，所以的定义域为，故A正确；
B：，设，
则，
有在上恒成立，故在上单调递减，
且，所以当时，当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，若直线与的图像有交点，则，故B错误；
C：由B中的分析，，代入得，故C正确；
D：由B中的分析，，代入得，故D错误．
故选：AC
7．【答案】或（，等）（答案不唯一）
【解析】根据题中的条件可知函数是偶函数，最大值为2，所以满足题中的条件，再如，再如等等（答案不唯一）.
故答案为：或（，等）（答案不唯一）.
8．【答案】
【解析】设，所以，
设，，
当时，，，所以单调递增，
当时，，，
所以单调递减，
当时，函数有最小值，即有最小值，所以，
此时直线OP的方程为，设直线与曲线相切于点，
由，显然在直线上，
则，因此有，故答案为：
9．【答案】
【解析】由于函数不单调，则函数在定义域内有极值点，，，令函数，，所以函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，时，，，所以 .
10．【答案】，，
【解析】令得，或（舍去）；
当时，，故对任意，
都存在，，，故，
故，，，而当时，，
故当，，时，参数的最小值为，
故参数的取值范围为，，故答案为：，．
11．【答案】(1)；(2)存在，最小值为
【解析】(1)当时，函数，，
∴，
∵是增函数，
∴，
∴在区间是增函数，
∴函数在区间上的值域为，
∴值域区间的长度为．
(2)∵函数在区间上单调递增，∴在区间上，即，∴．
①若，则，且递增．
∴在区间上，从而在上递增，∴函数的值域为，
∴，
∵，∴．
②若，则，且递增．
∴在区间上；在区间上，
∴在区间上递减，在区间上递增，
∴，，
∴．
③若，则，，且递增．
∴在区间内存在，使得，
当上，，在区间上，，
∴在区间上递减，在区间上递增
∴，，
∵，∴，
∴，
∵隐零点t满足：，∴消a可得：，
∴不妨记，，∴，
∴，递减，∴，
∴，∴．
综上，当时，；
当时，；
当时，，
∵，
∴当时，取得最小值，
∴函数在的值域区间的长度的最小值为．
12．【答案】(1)是，理由见解析(2)(3)
【解析】(1)是，理由：由题，（，）为增函数，
故（）是函数.
(2)因为是函数，且，所以是上的增函数，
因为有意义，所以，显然，时不等式不成立，下设，
此时等价于，
由的单调性得，，即所求不等式的解集为.
(3)由题意，是函数，故是增函数，从而当时，，即；而是函数，故是增函数，从而当时，，即，
当时，同理可得，且，故且，故.
因此 ，当时，对一切成立.
下证，任意均不满足要求，由条件②知，.
另一方面，对任意，定义函数，容易验证条件②成立.
对条件①，任取，有，
注意到是增函数，
而对，当时，；当时，，均单调不减.
因为，
所以条件①成立.从而.此时，，
故，从而为所求最大值.


1．【答案】D
【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故．
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的．依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的．
当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故．
当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故．
综上所述，成立．
故选：D
2．【答案】B
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即．
故选：B．
3．【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即．
故选：D．
4．【答案】D
【解析】由，根据导数的几何意义易得，解得，从而得到切点坐标为，将其代入切线方程，得，解得，故选D．
5．【答案】D
【解析】函数，若为奇函数，可得，所以函数，可得，曲线在点处的切线的斜率为：1，则曲线在点处的切线方程为：，故选D．
6．【答案】A
【解析】解法一：常规解法
∵ ∴ 导函数
∵ ∴
∴ 导函数
令，∴ ，
当变化时，，随变化情况如下表：







+
0
-
0
+


极大值

极小值

从上表可知：极小值为．
7．【答案】A
【解析】记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A．
8．【答案】D
【解析】设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方．
因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，
当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D．

9．【答案】D
【解析】因为，所以切线的斜率为，解得，选D
10．【答案】B
解析1:由已知,,令,得或,
当时,;
且,有小于零的零点,不符合题意．
当时,
要使有唯一的零点且>0,只需,即,．选B
解析2:由已知,=有唯一的正零点,等价于
有唯一的正零根,令,则问题又等价于有唯一的正零根,即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记,,由,,,
,要使有唯一的正零根,只需,选B
11．【答案】C
【解析】由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间单调递减是错误的，选C．
12．【答案】Ｄ
【解析】∵||=，∴由||≥得，且，
由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D．
13．【答案】
【解析】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
14．【答案】
【解析】，
所以曲线在点处的切线方程为．
15．【答案】
【解析】记，则
依题意有，即，解得．
16．【答案】
【解析】因为，所以，切线方程为，即．
17．【答案】
解法一：先求的最大值，设

，
即，
故根据奇函数知，
解法二：导数法+周期函数

当；；

解法三：均值不等式法



当且仅当时，
此时，
18．【答案】
【解析】如下图,设正三角形的边长为x,则．
,
三棱锥的体积 ．
令,则,
令, ,,
．

19．【答案】
【解析】当时,,则.又因为是偶函数,所以,所以,则切线斜率为,所以切线方程为,即.
20．【答案】
【解析】设直线与曲线的切点为 ，与曲线的切点为 则 ，所以
所以，所以，所以．