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    考向16 解三角形(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版)
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    考向16 解三角形(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版)

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    这是一份考向16 解三角形(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版),共25页。试卷主要包含了求三角形面积的方法,判定三角形形状的两种常用途径等内容,欢迎下载使用。

    考向16 解三角形

    1.【2022年甲卷理科卷第11题】将函数f的图像向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则的最小值是( )
    A
    【答案】C
    【解析】记为向左平移个单位后得到的曲线,则==由关于Y轴对称,可得:,,故有,所以的最小值为.选C.
    2. 【2022年浙江卷】16.已知中,点在边上,,,.当取得最小值时,______.
    【答案】
    【解析】令,以为坐标原点,为轴建立直角坐标系,则,,,

    当且仅当即时取等号.
    3.【2022年北京卷第16题】在中,sin2C=.
    (1)求
    (2)若,且的面积为,求的周长。
    【答案】(1) (2)
    【解答】(1)sin2C=,,,=。
    (2) ,,,由余弦定理得
    ,所以的周长为.

    4.【2022年乙卷理科第17题】17.(12分)
    记的内角、、的对边分别为、、,已知
    .
    (1)证明:;
    (2)若,,求的周长.
    【答案】(1)见证明过程;(2);
    【解析】1.已知可化简为

    由正弦定理可得,即,由余弦定理可得,即证,
    (2)由(1)可知,,,,,,的周长为14
    5.【2022年乙卷文科第17题】记的内角,,的对边分别为,,,已知.
    (1)若,求;
    (2)证明:.
    【答案】(1);(2)略.
    【解析】(1)解:因为,
    所以,,
    所以,,
    代入中得
    又,所以,所以,所以
    (2)证明:因为
    所以
    所以
    所以,又
    所以
    由正弦定理得①
    又由余弦定理得,所以②
    由①②得,所以.
    证法2:因为
    所以


    同理,所以
    由正弦定理得所以
    6.【2022年新高考1卷第18题】 记的内角,,的对边分别为,,,已知.
    (1)若,求;
    (2)求的最小值.
    【答案】(1)(2)
    【解析】(1)由已知条件得:



    所以,即,
    由已知条件:,则,可得,
    所以,.
    (2)由(1)知,则,,

    由正弦定理


    当且仅当时等号成立,所以的最小值为.
    7.【2022年新高考2卷第18题】记的三个内角分别为、、,其对边分别为,,,分别以,,为边长的三个正三角形的面积依次为,,,已知,.
    (1)求的面积;
    (2)若,求.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)边长为的正三角形的面积为,
    ,即,
    由得:,,
    故.
    (2) 由正弦定理得:,故.
    8.【2022年浙江卷第18题】在中,角的对边分别为a,b,c,已知,.
    (I)求的值;
    (II)若,求的面积.
    【答案】(I);(II).
    【解析】(I)由于 ,且是三角形的内角,则.
    由正弦定理知 , 则 .
    (II) 由余弦定理,得,
    即,解得.
    所以 的面积 .


    1.解三角形的常见题型及求解方法
    (1)已知两角A,B与一边a,由A+B+C=π及==,可先求出角C及b,再求出c.
    (2)已知两边b,c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccos A,先求出a,再求出角B,C.
    (3)已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.
    (4)已知两边a,b及其中一边的对角A,由正弦定理=可求出另一边b的对角B,由C=π-(A+B),可求出角C,再由=可求出c,而通过=求角B时,可能有一解或两解或无解的情况.
    2.求三角形面积的方法
    (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.
    (2)若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.
    3.已知三角形面积求边、角的方法
    (1)若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解.
    (2)若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解.
    4.判定三角形形状的两种常用途径

    5.判定三角形的形状的注意点
    在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响,在等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.

    1.三角形内角和定理
    在△ABC中,A+B+C=π;变形:=-.
    2.三角形中的三角函数关系
    (1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;
    (3)sin =cos ;(4)cos =sin .
    3.三角形中的射影定理
    在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.
    4.三角形中的大角对大边
    在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
    5.三角形常用面积公式
    (1)S=a·ha(ha表示边a上的高);
    (2)S=absin C=acsin B=bcsin A;
    (3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).


    易错点1:解三角函数的定义
    此类题主要考查三角函数的符号,二倍角公式,特殊角的三角函数值等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.所以要求考生要熟记公式,并懂得灵活应用。
    易错点2:三角函数图象变换
    函数图象的平移变换解题策略:
    (1)对函数y=sin x,y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的图象,无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位,都是相应的解析式中的x变为x±|φ|,而不是ωx变为ωx±|φ|.
    (2)注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.
    易错点3:由三角函数图像求解析式
    结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的方法
    (1)求A,B,已知函数的最大值M和最小值m,则.
    (2)求ω,已知函数的周期T,则.
    (3)求φ,常用方法有:
    ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时,A,ω,B已知).
    ②确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口,具体如下:
    “第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx+φ=0;
    “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=;
    “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;
    “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=;
    “第五点”为ωx+φ=2π.
    易错点4: 给值(式)求角(值)
    解三角函数的给值求值问题的基本步骤
    (1)先化简所求式子或所给条件;
    (2)观察已知条件与所求式子之间的联系;
    (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
    易错点5:三角形中边角关系
    此类题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题;求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中,结合基本不等式构造不等关系求得最值.

    1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为(  )
    A.锐角三角形  B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
    2.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,B=,a=1,则b=(  )
    A.2   B.1   C.   D.
    3.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=(  )
    A. B. C. D.
    4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状是(  )
    A.直角三角形 B.等腰非等边三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形
    5.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a=2,B=45°,C=75°,则b=(  )
    A.2 B. C.2 D.3
    6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足b2+c2-a2=bc,a=,则b+c的取值范围是(  )
    A.(1,) B.(,2] C.(,3) D.
    7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=4,c=6,C=2A,则cos A=________,b=________.
    8.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,(3b-a)cos C=ccos A,c是a,b的等比中项,且△ABC的面积为3,则a+b=________.
    9.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2+b2-c2=ab,且acsin B=2sin C,则△ABC的面积为________.
    10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若cos A(sin C-cos C)=cos B,a=2,c=,则角C的大小为    .

    1.(2022·全国·长郡中学模拟预测)已知在中,,.
    (1)求的大小;
    (2)在下列三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,并求出边上的中线的长度.①;②周长为;③面积为.
    2.(2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测)如图,已知在中,M为BC上一点,,且.

    (1)若,求的值;
    (2)若AM为的平分线,且,求的面积.
    3.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)在中,已知角,,的对边分别为,,,且
    (1)求角的大小
    (2)若为锐角三角形,且,,求的面积.
    4.(2022·河南·模拟预测(文))在中,角所对的边为,已知.
    (1)求;
    (2)设的平分线与交于点,求的长.
    5.(2022·安徽·芜湖一中模拟预测)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其外接圆的半径为,且满足.
    (1)求角B.
    (2)若边上的中线长为,求的面积和周长.
    6.(2022·安徽蚌埠·一模)记内角的对边为,已知于.
    (1)证明:;
    (2)若,求的值.
    7.(2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测)已知,的内角的对边分别为,,对,都有成立,从条件①,条件②,条件③中选择一个作为已知,
    (1)求角;
    (2)求周长的取值范围.
    条件①
    条件②
    条件③
    (注:如果选择多个条件解答,按第一个解答计分.)
    8.(2022·北京·首都师范大学附属中学三模)已知的内角的对边分别为,且
    (1)求的值;
    (2)给出以下三个条件:
    条件①:;条件②;条件③.这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题:
    (i)求的值;
    (ii)求的角平分线的长.
    9.(2022·四川成都·模拟预测(理))设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,在以下①、②、③中选择一个作为条件,并加以解答,如果①、②、③都做,则按①给分.
    ①向量与向量平行.


    (1)确定角A和角B之间的关系;
    (2)若D为线段BC上一点,且满足BD=AD=4,若2a=3b,求b.
    10.(2022·北京育才学校模拟预测)在中,,______,______,求和的值.
    从以下三个条件中选两个,补充在上面的问题中使得三角形存在,并回答问题.
    条件①;条件②;③.
    11.(2022·上海市光明中学模拟预测)已知在三角形中,,三角形的面积.
    (1)若,求;
    (2)若,求.
    12.(2023·安徽省宣城中学模拟预测)中,已知.边上的中线为.
    (1)求;
    (2)从以下三个条件中选择两个,使存在且唯一确定,并求和的长度.
    条件①:;条件②;条件③.


    1(2020•全国3卷)在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,则cosB=( )
    A. B. C. D.
    2.(2021·全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(  )
    A.1 B. C. D.3
    3.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则=(  )
    A.6   B.5    C.4   D.3
    4.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理))的内角的对边分别为,若的面积为,则 (  )
    A. B. C. D.

    5.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=    .
    6.(2021年上海卷第18题)在中,已知
    (1)若,求的面积;
    (2)若,求的周长.
    7.(2021年天津卷)在,角所对的边分别为,已知,.
    (1)求a的值;
    (2)求的值;
    (3)求的值.

    8.(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.
    (1)若a=c,b=2,求△ABC的面积;
    (2)若sin A+sin C=,求C.
    9.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
    (1)求A;
    (2)若a+b=2c,求sin C.


    1.【答案】B 
    【解析】由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,
    ∴sin(B+C)=sin2A,即sin(π-A)=sin2A,sin A=sin2A.
    ∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴sin A=1,即A=,∴△ABC为直角三角形.
    2.【答案】D 
    【解析】由=得b===×2=.
    3.【答案】C 
    【解析】由题意知,a=BC=7,b=AC=3,c=AB=5,
    由余弦定理得cos∠BAC===-.
    又因为∠BAC是△ABC的内角,所以∠BAC=,故选C.
    4.【答案】C 
    【解析】因为=,所以=.所以b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以b2+c2-a2=bc,所以cos A===.因为A∈(0,π),所以A=.所以△ABC是等边三角形.
    5.【答案】C 
    【解析】由题意A=180°-45°-75°=60°,由正弦定理=,
    得b===2,故选C.
    6.【答案】B 
    【解析】依题意得b2+c2-bc=3,即(b+c)2=3bc+3≤3+3,(b+c)2≤12,b+c≤2,当且仅当b=c=时取等号,又b+c>a=,因此b+c的取值范围是(,2],选B
    7.【答案】 4或5
    【解析】在△ABC中,由正弦定理得===,∴4=,∴cos A=.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,得16=b2+36-2b×6×,b2-9b+20=0,解得b=4或b=5.
    8.【答案】 
    【解析】 由(3b-a)cos C=ccos A,得3sin Bcos C-sin Acos C=sin Ccos A,即3sin Bcos C=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B,又sin B≠0,所以cos C=,得sin C=.由S△ABC=absin C=3,得ab×=3,得ab=9.又c是a,b的等比中项,所以c2=ab.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得ab=a2+b2-ab.
    ∴a2+b2=ab=×9=15,即a2+b2=15,则(a+b)2=a2+b2+2ab=15+18=33,即a+b=.
    9.【答案】 
    【解析】因为a2+b2-c2=ab,
    所以由余弦定理得cos C===,又0<C<π,所以C=.因为acsin B=2sin C,所以结合正弦定理可得abc=2c,所以ab=2.故S△ABC=absin C=×2sin =.
    10.【答案】 
    【解析】因为cos A(sin C-cos C)=cos B,所以cos A(sin C-cos C)=-cos (A+C),所以cos Asin C=sin A sin C,所以sin C(cos A-sin A)=0,因为C∈(0,π),所以sin C≠0,cos A=sin A,则tan A=1,又A∈(0,π),所以A=,又=,即=,所以sin C=,因为c
    1.【答案】(1)(2)答案见解析
    【解析】(1),由正弦定理可得,
    ,,,,
    ,解得;故答案为:
    (2)若选择①:由正弦定理结合(1)可得,
    与矛盾,故这样的不存在;
    若选择②:由(1)可得,设的外接圆半径为,
    则由正弦定理可得,,
    则周长,解得,则,
    由余弦定理可得边上的中线的长度为:;
    若选择③:由(1)可得,即,则,
    解得,
    则由余弦定理可得边上的中线的长度为:
    .
    2.【答案】(1)(2)
    【解析】(1)因为,,所以,
    因为,所以由正弦定理知,即,
    因为,所以,,
    在中,.
    (2)由题意知,设,
    由余弦定理得,解得或.
    因为,所以,
    因为AM为的平分线,
    所以(h为底边BC的高)
    所以,故,
    而由(1)知,
    所以.
    3.【答案】(1)或(2)
    【解析】(1)因为,
    所以由正弦定理得
    因为,所以
    所以,所以,
    因为,所以或.
    (2)因为三角形为锐角三角形,所以,
    由余弦定理得,,
    因为,,所以,所以,,
    所以三角形的面积为.
    4.【答案】(1)(2)2
    【解析】(1)由得 ,
    再由正弦定理和余弦定理得
    把代入得所以;
    (2)由余弦定理可得 ,
    因为是角的平分线, ,,
    所以,所以.
    在中,,
    所以.
    5.【答案】(1)(2),周长为.
    【解析】(1)由外接圆半径为得,
    由,得,
    利用正弦定理得:,即,
    化简得,由C为的内角,得,可得,
    又B为的内角,所以.
    (2)由正弦定理得:,
    设D为边上的中点,则,

    在中,,在中,,
    因为,所以,可得,
    由余弦定理,即,,
    由三角形面积公式得:,
    由,得,得,所以周长为.
    6.【答案】(1)证明见解析(2)
    【解析】(1)根据正弦定理和题设可得,又,所以.
    (2)由三角形的面积公式可得,所以
    又由余弦定理
    因此,得
    其中θ为锐角,且,于是,所以
    7.【答案】(1)(2)
    【解析】(1),
    令代入得,
    从而, 同理 , ,     
    选条件①: ,
    可化为,从而,
    于是,得.        
    选条件②:, 由 得 .     
    选条件③:,
    则,
       =,得,从而.
    (2)由正弦定理知:,
    得,
    所以周长=,
    ==,
    由,知,从而,   
    于是,所以,
    周长的取值范围为
    8.【答案】(1);(2)条件②③正确,(i);(ii).
    【解析】(1),,
    ,,得Z,由,得;
    (2)若条件①正确,由,得,
    由余弦定理,得,即,
    解得不符合题意,故条件①不正确,则条件②③正确;
    (i)由,,
    得,解得,
    由余弦定理,得,
    因为,所以,由正弦定理,
    得,即;
    (ii)由正弦定理,得,即,
    因为平方,,所以,
    在中,由正弦定理,得,
    在中,由正弦定理,得,
    又,上述两式相除,得,
    解得,所以.

    9.【答案】(1)2B=A (2)
    【解析】(1)若选①:因为向量与向量平行,所以,由正弦定理,可得

    ∵,,,∴或
    ∴(舍)或2B=A,即2B=A
    若选②:,
    所以,由正弦定理,可得



    ∵,,,∴或
    ∴(舍)或2B=A,即2B=A
    若选③:

    ,∵,∴
    所以上式化为
    ∵,,∴,即.
    (2)如图,作出△ABC示意图如下:


    ∵2a=3b,由正弦定理,可得,
    过D向AB作垂线,垂足为H,∴.
    因为BD=AD,所以H是AB中点,AB=c=6.因为BD=AD,所以∠B=∠BAD,
    因为∠BAC=2∠B=∠BAD+∠CAD,所以∠BAD=∠CAD,AD是∠BAC的角平分线,
    即有,解得.
    10.【答案】答案见解析.
    【解析】由,则
    若选①②
    由 ,则,解得
    由,则,与相矛盾,故满足条件的三角形不存在.
    由③,则,则

    所以,
    若选②③
    则由条件②,则
    由正弦定理,得 即,则
    由正弦定理可得,所以
    若选①③
    由上可得,又由,则
    由正弦定理可得, 则

    11.【答案】(1)或(2),或,
    【解析】(1)∵

    分情况讨论,当C为锐角时,,∴
    当C为钝角时,,
    (2),
    因为,所以,
    分情况讨论,当C为锐角时,
    由余弦定理,
    由正弦定理,,
    当C为钝角时,,
    由余弦定理,
    由正弦定理,,
    12.【答案】(1)(2)选择条件②和条件③;.
    【解析】(1)解:因为,则,,又,解得:,故.
    (2)解:由(1)得,又余弦定理得:,所以,而条件①中,所以,显然不符合题意,即条件①错误,由条件②,条件③,解得,由余弦定理可得,所以.在中,由正弦定理可得,解得,又,所以,因为为边上的中线,所以,在中,由余弦定理可得,解得.故.


    1.【答案】A
    【解析】在中,,,
    根据余弦定理:,,
    可得 ,即,由,
    故.故选:A.
    2.【答案】D
    【解析】由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B,得BC2+2BC-15=0,解得BC=3或BC=-5(舍去).故选D.
    3.【答案】A
    【解析】∵asin A-bsin B=4csin C,∴由正弦定理得a2-b2=4c2,即a2=4c2+b2.
    由余弦定理得cos A====-,∴=6.
    故选A.
    4.【答案】C
    【解析】由余弦定理可得,
    所以由
    所以,而,所以,故选C.

    5.【答案】 2
    【解析】由题意得S△ABC=ac sin B=ac=,则ac=4,所以a2+c2=3ac=3×4=12,所以b2=a2+c2-2ac cos B=12-2×4×=8,则b=2.
    6.【答案】(1);(2)
    【解析】(1)由已知得,

    (2)
    因为,,,
    所以
    因为,所以
    所以
    7.【答案】(1);(2);(3)
    【解析】(1)因为,由正弦定理可得,
    ,;
    (2)由余弦定理可得;
    (3),,
    ,,
    所以.

    8.【答案】(1) (2)15°
    【解析】(1)由题设及余弦定理,得28=3c2+c2-2×c2×cos 150°,
    解得c=-2(舍去)或c=2,从而a=2.
    因此△ABC的面积为×2×2×sin 150°=.
    (2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,
    所以sin A+sin C=sin(30°-C)+sin C=sin(30°+C),故sin(30°+C)=.
    而0° 所以30°+C=45°,故C=15°.
    9.【答案】(1)60° (2)
    【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
    由余弦定理得cos A==.
    因为0°<A<180°,所以A=60°.
    (2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得sin A+sin(120°-C)=2sin C,即+cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-.
    由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=,故sin C=sin(C+60°-60°)
    =sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=.



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